LXV (65) OM - I etap.

[beniu]

Wiecie jaki mniej więcej jest próg w okręgu rzeszowskim ? Pierwszy i ostatni raz (3 klasa) startuję w tej olimpiadzie. Niestety z I serii zrobiłem tylko 1 zadanie ;/ z II serii mam już jedno zrobione jeśli zrobię jeszcze 3 to wystarczy ?

[Pinionrzek]

Obawiam się, że nie.

[beniu]

ale już zrobienie w sumie 7 zadań wystarczy ?

[Kartezjusz]

Jakie województwo jesteś?

[bakala12]

ale już zrobienie w sumie 7 zadań wystarczy ?

Powinno starczyć, ale jeżeli jesteś w jakimś mocnym okręgu to może być na styk, albo co gorsze może minimalnie zabraknąć. Ale byłbym optymistą

[creed444]

Cytat Ponewora 1.:    

Po prostej redukcji danego w treści zadania warunku otrzymujemy zależność \(\displaystyle{ 3a+4b-5c=0}\), skąd otrzymujemy \(\displaystyle{ c=\frac{3a+4b}{5}}\). Po wstawieniu tego rezultatu do wyjściowego wyrażenia uzyskamy:
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}-c^{2}=a^{2}+b^{2}-\left(\frac{3a+4b}{5}\right)^{2}=a^{2}+b^{2}-\frac{9a^{2}}{25}-\frac{16b^{2}}{25}-\frac{24ab}{25}=\frac{16a^{2}}{25}+\frac{9b^{2}}{25}-\frac{24ab}{25}=\left(\frac{4a-3b}{5}\right)^{2}}\)
Pozostaje tylko pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{4a-3b}{5}}\) jest liczbą całkowitą, czyli, że \(\displaystyle{ 5\mid 4a-3b}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ 3c}\) jest liczbą całkowitą, czyli \(\displaystyle{ 5 \mid 3\left(3a+4b\right)}\), ponadto \(\displaystyle{ 5\mid 5a}\) i \(\displaystyle{ 5 \mid 15b}\). Biorąc to wszystko po uwagę, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ 5 \mid 3\left(3a+4b\right)-5a-15b=4a-3b}\), co należało udowodnić.

Sądzę, że stwierdzenie: liczba wymierna podniesiona do kwadratu jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba wymierna jest całkowita, jest wystarczające.

Hmm... ale wystarczające do czego?
Mnie się wydaje, że to stwierdzenie nie jest do niczego potrzebne przy rozwiązywaniu tego zadania. Więc najwyraźniej czegoś nie rozumiem w Waszym rozumowaniu.

Przepraszam za wywlekanie tego tematu i drążenie drobiazgów, to niestety chyba moja choroba zawodowa

A przy okazji: to mój pierwszy post tutaj, więc serdecznie się z Wami witam

Chociaż można się zastanawiać, jak bardzo oczywiste będzie to stwierdzenie na tle tak prostego zadania.

No stwierdzenie jest jednak prostsze [choć faktycznie z grupy tych "oczywistych" twierdzeń, których udowodnienie wymaga kilku sekund namysłu]

[Michalinho]

Cytat Ponewora 1.:    

Po prostej redukcji danego w treści zadania warunku otrzymujemy zależność \(\displaystyle{ 3a+4b-5c=0}\), skąd otrzymujemy \(\displaystyle{ c=\frac{3a+4b}{5}}\). Po wstawieniu tego rezultatu do wyjściowego wyrażenia uzyskamy:
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}-c^{2}=a^{2}+b^{2}-\left(\frac{3a+4b}{5}\right)^{2}=a^{2}+b^{2}-\frac{9a^{2}}{25}-\frac{16b^{2}}{25}-\frac{24ab}{25}=\frac{16a^{2}}{25}+\frac{9b^{2}}{25}-\frac{24ab}{25}=\left(\frac{4a-3b}{5}\right)^{2}}\)
Pozostaje tylko pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{4a-3b}{5}}\) jest liczbą całkowitą, czyli, że \(\displaystyle{ 5\mid 4a-3b}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ 3c}\) jest liczbą całkowitą, czyli \(\displaystyle{ 5 \mid 3\left(3a+4b\right)}\), ponadto \(\displaystyle{ 5\mid 5a}\) i \(\displaystyle{ 5 \mid 15b}\). Biorąc to wszystko po uwagę, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ 5 \mid 3\left(3a+4b\right)-5a-15b=4a-3b}\), co należało udowodnić.

Sądzę, że stwierdzenie: liczba wymierna podniesiona do kwadratu jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba wymierna jest całkowita, jest wystarczające.

Hmm... ale wystarczające do czego?
Mnie się wydaje, że to stwierdzenie nie jest do niczego potrzebne przy rozwiązywaniu tego zadania. Więc najwyraźniej czegoś nie rozumiem w Waszym rozumowaniu.

Chodzi o to, czy takie stwierdzenie bez dowodu jest wystarczające, aby nikt nie odjął za to punktów. Jest ono potrzebne, bo na razie udowodnione jest, że \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}-c^{2}}\) jest kwadratem liczby wymiernej i nie jest oczywiste, czy jest liczbą całkowitą. Można zauważyć, że jeśli liczba \(\displaystyle{ x^{2}= p_{1}^{k_{1}} \cdot p_{2}^{k_{2}} \cdot p_{3}^{k_{3}}\cdot ... \cdot p_{n}^{k_{n}}, x^{2 } \in C}\) to \(\displaystyle{ k_{1}, k_{2}, k_{3}, ..., k_{n}}\) muszą być parzyste bo podnosząc \(\displaystyle{ x}\) do kwadratu, wszytkie dzielniki podwoiły swoją krotność występowania, a nowe pojawić się nie mogły, więc \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}} \in C}\)

[creed444]

Cytat Ponewora 1.:    

Po prostej redukcji danego w treści zadania warunku otrzymujemy zależność \(\displaystyle{ 3a+4b-5c=0}\), skąd otrzymujemy \(\displaystyle{ c=\frac{3a+4b}{5}}\). Po wstawieniu tego rezultatu do wyjściowego wyrażenia uzyskamy:
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}-c^{2}=a^{2}+b^{2}-\left(\frac{3a+4b}{5}\right)^{2}=a^{2}+b^{2}-\frac{9a^{2}}{25}-\frac{16b^{2}}{25}-\frac{24ab}{25}=\frac{16a^{2}}{25}+\frac{9b^{2}}{25}-\frac{24ab}{25}=\left(\frac{4a-3b}{5}\right)^{2}}\)
Pozostaje tylko pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{4a-3b}{5}}\) jest liczbą całkowitą, czyli, że \(\displaystyle{ 5\mid 4a-3b}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ 3c}\) jest liczbą całkowitą, czyli \(\displaystyle{ 5 \mid 3\left(3a+4b\right)}\), ponadto \(\displaystyle{ 5\mid 5a}\) i \(\displaystyle{ 5 \mid 15b}\). Biorąc to wszystko po uwagę, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ 5 \mid 3\left(3a+4b\right)-5a-15b=4a-3b}\), co należało udowodnić.

Sądzę, że stwierdzenie: liczba wymierna podniesiona do kwadratu jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba wymierna jest całkowita, jest wystarczające.

Hmm... ale wystarczające do czego?
Mnie się wydaje, że to stwierdzenie nie jest do niczego potrzebne przy rozwiązywaniu tego zadania. Więc najwyraźniej czegoś nie rozumiem w Waszym rozumowaniu.

Chodzi o to, czy takie stwierdzenie bez dowodu jest wystarczające, aby nikt nie odjął za to punktów. Jest ono potrzebne, bo na razie udowodnione jest, że \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}-c^{2}}\) jest kwadratem liczby wymiernej i nie jest oczywiste, czy jest liczbą całkowitą.

Stop
No właśnie: czyli wystarczy udowodnić, że ta liczba wymierna jest liczbą całkowitą. A w tym celu wystarczy (i trzeba) udowodnić tylko tę podzielność, o której mowa w ostatniej części rozumowania.

Równoważności wspomnianej przez kolegę Marcinka665 do niczego nie potrzeba!

Można zauważyć, że jeśli liczba \(\displaystyle{ x^{2}= p_{1}^{k_{1}} \cdot p_{2}^{k_{2}} \cdot p_{3}^{k_{3}}\cdot ... \cdot p_{n}^{k_{n}}, x^{2 } \in C}\) to \(\displaystyle{ k_{1}, k_{2}, k_{3}, ..., k_{n}}\) muszą być parzyste bo podnosząc \(\displaystyle{ x}\) do kwadratu, wszytkie dzielniki podwoiły swoją krotność występowania, a nowe pojawić się nie mogły, więc \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}} \in C}\)

To akurat nie jest najlepszy dowód, bo implicite zakłada, że x jest liczbą całkowitą (piszesz o dzielnikach, które mają sens tylko dla liczb całkowitych), ale na pewno każdy łatwo znajdzie lepszy

[Michalinho]

Stop
No właśnie: czyli wystarczy udowodnić, że ta liczba wymierna jest liczbą całkowitą. A w tym celu wystarczy (i trzeba) udowodnić tylko tę podzielność, o której mowa w ostatniej części rozumowania.

Równoważności wspomnianej przez kolegę Marcinka665 do niczego nie potrzeba!

Można zauważyć, że jeśli liczba \(\displaystyle{ x^{2}= p_{1}^{k_{1}} \cdot p_{2}^{k_{2}} \cdot p_{3}^{k_{3}}\cdot ... \cdot p_{n}^{k_{n}}, x^{2 } \in C}\) to \(\displaystyle{ k_{1}, k_{2}, k_{3}, ..., k_{n}}\) muszą być parzyste bo podnosząc \(\displaystyle{ x}\) do kwadratu, wszytkie dzielniki podwoiły swoją krotność występowania, a nowe pojawić się nie mogły, więc \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}} \in C}\)

To akurat nie jest najlepszy dowód, bo implicite zakłada, że x jest liczbą całkowitą (piszesz o dzielnikach, które mają sens tylko dla liczb całkowitych), ale na pewno każdy łatwo znajdzie lepszy

Nie do końca mają senstylko dla liczb całkowitych, korzystałem z tego, że \(\displaystyle{ x^{2} \in C}\), a nie \(\displaystyle{ x \in C}\) i oczywistego faktu, że jeśli liczba ma dzielnik i jest kwadratem jakiejś liczby \(\displaystyle{ b \in W}\) to ta liczba \(\displaystyle{ b}\) też musi mieć ten dzielnik, a skoro podnoszenie do kwadratu, z liczby całkowitej robi liczbę całkowitą, a z niecałkowitej niecalkowitą to z \(\displaystyle{ x^{2} \in C}\) wynika \(\displaystyle{ x \in C}\)

[creed444]

oczywistego faktu, że jeśli liczba ma dzielnik i jest kwadratem jakiejś liczby \(\displaystyle{ b \in W}\) to ta liczba \(\displaystyle{ b}\) też musi mieć ten dzielnik

A co to znaczy, że liczba wymierna ma dzielnik? [zakładam, że \(\displaystyle{ W}\) to zbiór liczb wymiernych]

I zanim stworzysz ad hoc definicję takiego dzielnika: czy przypadkiem ten "oczywisty fakt", z którego tutaj korzystasz nie jest równoważny naszej tezie?

Ale, ale: już nam się zrobił potężny off-top... Moderatorzy, ratujcie: czy w związku z tym nie lepiej wydzielić z tej naszej dyskusji osobny wątek?

[Michalinho]

Może rzeczywiście trzebaby sprecyzować ten mój dowód i trochę nad nim popracować, osobiście udowodniłem to w inny sposób. Orientuje się ktoś ile zadań starcza na przejście do II etapu w woj. lubelskim? Myślicie, że 6/8 zadań to dobry wynik?

[creed444]

Może rzeczywiście trzebaby sprecyzować ten mój dowód i trochę nad nim popracować, osobiście udowodniłem to w inny sposób.

No nie dziwię Ci się, bo - tak jak pisałem - moim zdaniem ten fakt jest kompletnie niepotrzebny do tego zadania

Życzę powodzenia na olimpiadzie, 6/8 brzmi zupełnie dobrze (więcej niż "staroregulaminowe" 70% ).

[bakala12]

Orientuje się ktoś ile zadań starcza na przejście do II etapu w woj. lubelskim?

W lubelskim? 5 zadań wystarczało odkąd pamiętam. Doszły mnie nawet niepotwierdzone słuchy, że w zeszłym roku w ogóle nie było progu do drugiego etapu - brali wszystkich którzy wysłali cokolwiek.

[Michalinho]

Wygląda na to, że mam duże szanse na drugi etap Jaka lektura wg Was najbardziej przyda się na drugi etap?

[Ponewor]

brali wszystkich którzy wysłali cokolwiek.

właśnie to uratowało Vaxa.