[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

[mariolawiki1]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ xy+y =5x+2008}\)
\(\displaystyle{ (y-5)(x+1)=2003}\)
Rozwiązujemy 4 układy równań i mamy rozwiązanie.

Nowe:
ile jest par liczb całkowitych \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), zawartych między \(\displaystyle{ 1}\) a \(\displaystyle{ 1000}\) takich, że \(\displaystyle{ x^2+y^2}\) jest podzielne przez 49.

[kaszubki]

Ukryta treść:    

Reszty kwadratowe modulo 7 to \(\displaystyle{ 0,1,2,4}\), więc może być tylko \(\displaystyle{ x,y = 0,0 \ mod 7}\). Tych par jest \(\displaystyle{ \lfloor \frac{1000}{7} \rfloor ^2}\)

Nowe:
Rozstrzygnij, czy liczba \(\displaystyle{ 616^9 + 69^6 +666}\) jest pierwsza.

[laurelandilas]

Ukryta treść:    

Dla miłośników pały:
\(\displaystyle{ 616^{9} + 69^{6} + 666 = )11 \cdot 7 \cdot 8)^{9} + (23 \cdot 3)^{6} + ( 3 \cdot 111 \cdot 2) = 11^{9} \cdot 7^{9} \cdot 4^{9} \cdot 2^{9} + 23^{6} \cdot 3^{6} + 3 \cdot 111 \cdot 2}\) Jak widac mamy sume trzech roznych skladnikow. Aby ta liczba byla liczba zlozona, musialaby miec conajmniej jeden wspolny czynnik w rozkladzie na czynniki powyzszych trzech skladnikow, a jak widać nie ma go, zatem pokazalem, ze ta liczba jest pierwsza.

Udowodnij, że \(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}\) jest niewymierna.

[Vax]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 616^9+69^6+666}\)

podstawiając \(\displaystyle{ x=69}\), można to zapisać, jako:

\(\displaystyle{ (9x-5)^9+x^6+10x-24}\)

Chcemy udowodnić, że ten wielomian jest nierozkładalny w liczbach całkowitych. Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ x=0}\) funkcja przyjmuje wartość ujemną, a dla \(\displaystyle{ x=1}\) przyjmuje wartość dodatnią, tak więc jeden pierwiastek znajduje się w przedziale \(\displaystyle{ (0 ; 1)}\), z pewnością nie jest on całkowity, jakie muszą być dzielniki danej liczby. Pozostało wykazać, że dana funkcja ma tylko 1 miejsce zerowe:

\(\displaystyle{ f(x) = (9x-5)^9+x^6+10x-24}\)

\(\displaystyle{ f'(x) = 6x^5+ 81(5-9x)^8+10}\)

Tak więc dla \(\displaystyle{ x>1}\) funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest rosnąca i nie ma miejsc zerowych. Wobec tego jedyny pierwiastek znajduje się w przedziale \(\displaystyle{ (0 ; 1)}\) a on, nie może być dzielnikiem.

Kolejne:

Udowodnij, że dla dodatnich a,b,c:

\(\displaystyle{ \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \ge \frac{3}{2}}\)

Pozdrawiam.

[Marcinek665]

Aby ta liczba byla liczba zlozona, musialaby miec conajmniej jeden wspolny czynnik w rozkladzie na czynniki powyzszych trzech skladnikow, a jak widać nie ma go, zatem pokazalem, ze ta liczba jest pierwsza.

\(\displaystyle{ NWD(2;3;7)=1}\),

\(\displaystyle{ 2+3+7=12 \Rightarrow 12}\) jest liczbą pierwszą.

[smigol]

laurelandilas, lubię Twoje rozwiązania.
kontrprzykład: 3+7=10.

EDIT: sorry, nie wiem czemu, ale nie zauważyłem, że marcinek665 już odpisał.

[Marcinek665]

Ja też je lubię!

Ukryta treść:    

[kaszubki]

Vax, jeżeli dobrze zrozumiałem, to z twojego rozwiązania wynika, że ten wielomian przyjmuje wartości pierwsze dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich? Jeżeli tak, to blef, bo \(\displaystyle{ 4^9+1-14}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\).

[Vax]

Nigdzie o tym nie pisałem. Dla ułatwienia wprowadziłem zmienną x, i jeżeli dane wyrażenie byłoby liczbą złożoną, dałoby się ten wielomian rozłożyć w liczbach całkowitych (wynika to z Twierdzenia Bezout'a), jednak wykazałem, że posiada on tylko 1 pierwiastek, który znajduje się w przedziale \(\displaystyle{ (0 ; 1)}\) więc jest to liczba pierwsza.

Pozdrawiam.

[laurelandilas]

Moje zadanie jest aktualne, bo spałowałem pierwszy xp

[smigol]

Moje zadanie jest aktualne, bo spałowałem pierwszy xp

Ale spałować to nie znaczy puścić fake'a tygodnia.

[ordyh]

Rozłożyć nie znaczy znaleźć pierwiastek, np. \(\displaystyle{ W(x) = x^4+2x^2+1 = (x^2+1)^2}\), wielomian nie ma miejsc zerowych, ale da się go rozłożyć na czynniki.

[mariolawiki1]

Wrażenia z forum:

Ukryta treść:    

Niedługo prawie nikt nie będzie pisał, aby nie narazić się na kpiny i wyśmiewanie. Poziom bufonizmu niektórych - sięgnął zenitu!
Na pewno zdrowiej jest tu nie zaglądać w ogóle, co też niniejszym z rozkoszą uczynię, przynajmniej na jakiś czas

[laurelandilas]

Ukryta treść:    

Jakoś nikt nikogo nie zmusza, żeby odwiedzał do forum. Od utrzymywania porzadku są moderatorzy, a oni jakoś nie widzą zastrzeżeń.

[Marcinek665]

Mnie np taki smigol kiedyś mocno zmotywował do tego, żeby wziąć się za siebie, bo też puszczałem fejki. Więc to jednak zależy od podejścia. Porażki dla mnie są motywacją.