[LX OM] II etap

[Piotr Rutkowski]

Ja również zrobiłem 2 zadania i sądząc po reakcjach innych uważam, że to dużo
Jak na razie zanosi się na to, że próg będzie niższy niż w zeszłym roku, ale poczekajmy jeszcze na jutrzejszy dzień

W którym okręgu startowałeś? No i które zadania zrobiłeś?
Aha, mile też widziane będą alternatywne rozwiązania. W 1 zaręczam, że się da dużo lepiej niż we wzorcówce zrobić, nie wiem jak z drugim (ponoć też można inaczej), a w 3 jest pewnie wiele dróg do celu (w naszym okręgu jedyne rozwiązanie nie pokrywało się z wzorcówką).

[lukasz_650]

Startowałem w okręgu toruńskim i zrobiłem zadanie pierwsze i drugie, a wzorcówek jeszcze nie widziałem, bo w toruńskim dopiero dają po drugim dniu na tzw. "herbatce"

[Piotr Rutkowski]

Startowałem w okręgu toruńskim i zrobiłem zadanie pierwsze i drugie, a wzorcówek jeszcze nie widziałem, bo w toruńskim dopiero dają po drugim dniu na tzw. "herbatce"

A jak inni? Jeśli będzie trzeba to później wrzucę wzorcówki i jakieś alternatywy do nich... Ilu napinaczy miało 3 zadanka?

[lukasz_650]

Z osób, z którymi rozmawiałem nikt nie miał trzech zadań, ale kilka osób mówiło, że ma 2 zadania. Jutro na "herbatce" zobaczy się, jak ogółem w okręgu poszło

[kasidelvar]

a ja dzisiaj przeżyłem szok na herbatce. Ale ta historia zaraz. Pewien Maciek ze Staszica rozwiązał 6-ste za pomocą przestrzeniu unitarnych. Mnożył sobie chłopak macierze. I rozłożył to zadanie na czynniki pierwsze. No i zrobił 6/6. Mogę powiedzieć, że widziałem prawdziwego geniusza.
Ja mam 5/6. (nie zdążyłem policzyć analitycznie trzeciego) a 4 prostackie mam syntetycznie. No ale pewnie będą cięte punkty za jakieś niedociągnięcia, aczkolwiek próg będzie niski bo zadania były trudniejsze niż z ostatnich paru olimpiad raczej bo żadnego nie dało się rozwiązać z dwóch linijkach.-- 14 lutego 2009, 22:40 --Podobno pisząc ten post zrobiłem z siebie kretyna, ale ja "Cię" Maćku wcześniej nie znałem xD

[andkom]

Co do zadania 2
Stałej \(\displaystyle{ \sqrt3}\) w zadaniu 2 nie dało się poprawić (zmniejszyć).
Rozważmy bowiem ciągi \(\displaystyle{ (a_n)}\) i \(\displaystyle{ (b_n)}\) dane następująco:
\(\displaystyle{ a_1=5\qquad b_1=3\\
a_{n+1}=2a_n+3b_n\qquad b_{n+1}=a_n+2b_n\qquad\text{dla }n\ge1}\)
Wówczas dla każdego n mamy \(\displaystyle{ a_n+b_n|a_nb_n+1}\) oraz \(\displaystyle{ a_n-b_n|a_nb_n-1}\),
a ponadto \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\sqrt3}\).

[pog]

Pewien Maciek ze Staszica rozwiązał 6-ste za pomocą przestrzeniu unitarnych. Mnożył sobie chłopak macierze.

Maciuś, Staszic, macierze - już wiadomo o kogo chodzi

[snm]

Maciek mówił mi, że ma błąd w 5.

[Piotr Rutkowski]

A ja zrobię małego spama. snm, masz fantastyczny podpis Bardzo Ci się chwali znajomość takiej persony jaką był Wittgenstein.

[matex_06]

Tak realnie patrząc wielu z Was uważa że próg w tym roku przekroczy 16 punktów?

I jęsli np ktos w 6 doszedł do układu równań, z którego szło zadanie to chyba 2 punkty powinny być...
no i oczywiście męczy mnie to czy dadzą jakies punkty za 1 zadanie jesli ktoś nie uwzględnił tego modulo...

powodzenia i(mam nadzieję) do zobaczenia na finale:p

[Balnix]

A oto moje rozwiązania :
1.

\(\displaystyle{ Oczywiscie \ dowod \ indukcyjny \\
Teza \ : \ a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n-1} + (2a_{2} - a_{1})\cdot(2a_{3} - a_{2})\cdot ...\cdot
(2a_{n} - a_{n-1}) \ge 2\cdot a_{2} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n} \\ / \cdot \frac{1}{ a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n-1}} \\ \nelline
\nelline \\
1+ \frac{2a_{2} - a_{1}}{a_{1}}
\cdot
\frac{2a_{3} - a_{2}}{a_{2}}
\cdot...
\frac{2a_{n} - a_{n-1}}{a_{n-1}} \ge 2\cdot \frac{a_{n}}{a_{1}} \\
Podstawmy: \\
X= \frac{2a_{2} - a_{1}}{a_{1}}
\cdot
\frac{2a_{3} - a_{2}}{a_{2}}
\cdot...
\frac{2a_{n} - a_{n-1}}{a_{n-1}}
}
\\czyli :\\
(1) \ X \ge 2\cdot \frac{a_{n} - a_{1}}{a_{1}} \\
Dla \ n=2 \ zgadza \ sie \\
Dla \ n+1\\
a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n} + (2a_{2} - a_{1})\cdot(2a_{3} - a_{2})\cdot ...\cdot
(2a_{n+1} - a_{n}) \ge 2\cdot a_{2} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n+1} \\ / \cdot \frac{1}{ a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n}} \\
1+ \frac{2a_{2} - a_{1}}{a_{1}}
\cdot
\frac{2a_{3} - a_{2}}{a_{2}}
\cdot...
\frac{2a_{n+1} - a_{n}}{a_{n}} \ge 2\cdot \frac{a_{n+1}}{a_{1}} \\
X\cdot \frac{2a_{n+1} - a_{n}}{a_{n}}\ge 2\cdot \frac{a_{n+1}}{a_{1}} \\
Zgodnie \ z \ (1) X\cdot \frac{2a_{n+1} - a_{n}}{a_{n}}\ge 2\cdot \frac{a_{n} - a_{1}}{a_{1}} \cdot \frac{2a_{n+1} - a_{n}}{a_{n}}\ge 2\cdot \frac{a_{n+1}}{a_{1}} \\
A \ 2\cdot \frac{a_{n} - a_{1}}{a_{1}} \cdot \frac{2a_{n+1} - a_{n}}{a_{n}}\ge 2\cdot \frac{a_{n+1}}{a_{1}}\ juz \ ktos \ udowodnil\ wczesniej \\}\)

2.
\(\displaystyle{ a+b|ab+1 \Rightarrow \ a+b|ab+a+b+1=(a+1)(b+1)\\
a+b|ab+1 \Rightarrow \ a+b|ab-a-b+1=(a-1)(b-1)\\
a-b|ab-1 \Rightarrow \ a-b|ab+a-b-1=(a-1)(b+1)\\
a-b|ab-1 \Rightarrow \ a-b|ab-a+b-1=(a+1)(b-1)\\
Mnozymy \ stronami \\
(a+b)^{2}\cdot (a-b)^{2}| (a+1)^{2}\cdot (b+1)^{2} \cdot(a-1)^{2}\cdot (b-1)^{2}\\
(a+b)\cdot (a-b)| (a+1)\cdot (b+1) \cdot(a-1)\cdot (b-1)\\
a^{2}-b^{2}|a^{2}b^{2} -a^{2}-b^{2}+1\\
g=a^{2}b^{2} -a^{2}-b^{2}+1\\
a+b|ab+1 \\
a-b|ab-1 \\
Mnozymy \ stronami \\
a^{2}-b^{2}|a^{2}b^{2} -1\\
h=a^{2}b^{2} -1\\
a^{2}-b^{2}|h-g\\
a^{2}-b^{2}|a^{2}+b^{2}-2\\
k\cdot(a^{2}-b^{2})=a^{2}+b^{2}-2\\
(k-1)\cdot a^{2}=(k+1)\cdot b^{2} -2 \ / \cdot \frac{1}{(k-1)\cdot b^{2}}\\
\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{k+1}{k-1} - \frac{2}{(k-1)\cdot b^{2}}\\
\frac{k+1}{k-1} \le 3 \ bo \ maksymalna \ wartosc \ przyjmuje \ dla \ k=2 \ bo \
\frac{k+1}{k-1} \ge \frac{k+2}{k} \\ a \ wiec \ \frac{a^{2}}{b^{2}}<3 \Rightarrow a< 3\sqrt{b} \\ Jeszcze \ trzeba \ bylo \ sprawdzic \ dla \ k=1 \ zeby \ mianownik \neq 0\\}\)

3. Udowodniłem, że tam są kąty proste.

5. Podobnie jak w szkicach, ale sądzę ze będzie 2.

Ogólnie liczę na 566020 i mam nadzieję że się do niczego nie przyczepią.

[Sylwek]

\(\displaystyle{ X\cdot \frac{2a_{n+1} - a_{n}}{a_{n}}\ge 2\cdot \frac{a_{n} - a_{1}}{a_{1}} \cdot \frac{2a_{n+1} - a_{n}}{a_{n}}}\)

Po pierwsze \(\displaystyle{ 2\frac{a_n}{a_1}-1 \ne 2\frac{a_n-a_1}{a_1}}\), po drugie, ważniejsze, a propos cytatu - nie uwzględniłeś przypadku, gdy \(\displaystyle{ \frac{2a_{n+1} - a_{n}}{a_{n}}<0}\) - tu był właśnie haczyk zadania.

[Balnix]

oto errata do 1.
Sorry za błędy, pierwszy raz pisałem w LATEX
A oto moje rozwiązania :
1.

\(\displaystyle{ Oczywiscie \ dowod \ indukcyjny \\
Teza \ : \ a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n-1} + (2a_{2} - a_{1})\cdot(2a_{3} - a_{2})\cdot ...\cdot
(2a_{n} - a_{n-1}) \ge 2\cdot a_{2} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n} \\ / \cdot \frac{1}{ a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n-1}} \\ \nelline
\nelline \\
1+ \frac{2a_{2} - a_{1}}{a_{1}}
\cdot
\frac{2a_{3} - a_{2}}{a_{2}}
\cdot...
\frac{2a_{n} - a_{n-1}}{a_{n-1}} \ge 2\cdot \frac{a_{n}}{a_{1}} \\
\frac{2a_{2} - a_{1}}{a_{1}}
\cdot
\frac{2a_{3} - a_{2}}{a_{2}}
\cdot...
\frac{2a_{n} - a_{n-1}}{a_{n-1}} \ge 2\cdot \frac{a_{n}}{a_{1}} -1\\Podstawmy: \\
X= \frac{2a_{2} - a_{1}}{a_{1}}
\cdot
\frac{2a_{3} - a_{2}}{a_{2}}
\cdot...
\frac{2a_{n} - a_{n-1}}{a_{n-1}}
}\\

\\czyli :\\
(1) \ X \ge \cdot \frac{2a_{n} - a_{1}}{a_{1}} \\
Dla \ n=2 \ zgadza \ sie \\
Dla \ n+1\\
a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n} + (2a_{2} - a_{1})\cdot(2a_{3} - a_{2})\cdot ...\cdot
(2a_{n+1} - a_{n}) \ge 2\cdot a_{2} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n+1} \\ / \cdot \frac{1}{ a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n}} \\
1+ \frac{2a_{2} - a_{1}}{a_{1}}
\cdot
\frac{2a_{3} - a_{2}}{a_{2}}
\cdot...
\frac{2a_{n+1} - a_{n}}{a_{n}} \ge 2\cdot \frac{a_{n+1}}{a_{1}} \\
\frac{2a_{2} - a_{1}}{a_{1}}
\cdot
\frac{2a_{3} - a_{2}}{a_{2}}
\cdot...
\frac{2a_{n+1} - a_{n}}{a_{n}} \ge 2\cdot \frac{a_{n+1}}{a_{1}}-1 \\
X\cdot \frac{2a_{n+1} - a_{n}}{a_{n}}\ge \cdot \frac{2a_{n+1}-a_{1}}{a_{1}} \\
Zgodnie \ z \ (1) X\cdot \frac{2a_{n+1} - a_{n}}{a_{n}}\ge \frac{2a_{n} - a_{1}}{a_{1}} \cdot \frac{2a_{n+1} - a_{n}}{a_{n}}\ge \cdot \frac{2a_{n+1}-a_{1}}{a_{1}} \\
\frac{2a_{n} - a_{1}}{a_{1}} \cdot \frac{2a_{n+1} - a_{n}}{a_{n}}\ge \cdot \frac{2a_{n+1}-a_{1}}{a_{1}} \ / \cdot a_{1}a_{n}\\

(2a_{n} - a_{1})\cdot (2a_{n+1} - a_{n}) \ge 2a_{n+1}a_{n} - a_{n}a_{1}\\
4a_{n+1}a_{n}-2a_{n}^2 -2a_{n+1}a_{1} +a_{n}a_{1}\ge 2a_{n+1}a_{n} - a_{n}a_{1}\\
2a_{n+1}a_{n}-2a_{n}^2 -2a_{n+1}a_{1} +2a_{n}a_{1}\ge0\\
a_{n+1}a_{n}-a_{n}^2 -a_{n+1}a_{1} +a_{n}a_{1}\ge0\\
(a_{n+1}-a_{n})(a_{n}-a_{1})\ge0\\}\)

[Sylwek]

Niestety nie. Z nierówności \(\displaystyle{ 5 \ge 3}\) nie wynika, że: \(\displaystyle{ 5 \cdot (-1) \ge 3 \cdot (-1)}\), podobnie jest z Twoją nierównością w miejscu, w którym użyłeś założenia indukcyjnego.

[qjon]

3. Udowodniłem, że tam są kąty proste.

Możesz rozwinąć nieco?