[LXI OM] I etap

[Dumel]

dwa lata temu w zad. 1. (maksymalna długość ciągu) jedna osoba miała odpowiedź 7 zamiast 5 i brak przykładu i dostała 5 pkt.

Znam tą osobę i potwierdzam .

bo tak się składa że wiem to od Ciebie

[jerzozwierz]

Czy to podkreślone trzeba koniecznie jakoś udowadniać? Ja napisałam, że wynika to po prostu z analogii i przystawania czworościanów.

Nie powinno być problemów.

Ja napisałem, że wynika to z tego, że punkty przechodzą na siebie w obrocie o AA'. Chyba nie będą nic ciąć?
O właśnie.
W pierwszym zadaniu pisałem tylko:
"Rozwiązując układ nr 4, otrzymujemy następujące trójki..."
W firmówce opisywali dokładniej rozwiązywanie tych układzików, ale chyba punkty nie polecą?

[karolina668]

Trcohę z innej beczki. Czy samo zakwalifikowanie się do finału oznacza maturę z metamtyki z głowy?

[xanowron]

Tak. Masz 100% z matury + przywileje na wielu uczelniach i kierunkach (głównie ścisłych)

Tzn. samo zakwalifikowanie chyba nie daje tego, musisz jeszcze wziąć udział w finale lub gdy nie masz możliwości technicznej typu choroba itp. zgłosić to organizatorom i nie powinno być problemu (gdzieś na forum ktoś miał właśnie taką sytuacje z jakąś olimpiadą, ale nie wiem czy to jest prawda, może ktoś ostatecznie zweryfikuje)

[karolina668]

Po prostuchodzilo mi o to czy trzeba jeszcze uciulać jakąś ilość punktów na finale, tak jak to jest w przypadku chociażby geografii. No ale jak nie trzeba, to podoba mi się to bardzo...

[Marcinek665]

Chyba masz błędne informacje, bo by być zwolnionym z matury z jakiegoś przedmiotu, wystarczy dostać się do finału danej Olimpiady. Możliwe, że w przypadku geografii jest inaczej, ale we wszystkich olimpiadach, z jakimi się spotkałem, wystarczy wejście do finału (i udział z nim)

[karolina668]

koleżanka która bierze udział w geo mówiła mi że trzeba mieć na finale 30% (co w zasadzie jest formalnościa). No ale moze i jej sie cos pomyliło Oj zreszta niewazne przecież,...

Jaki próg obstawiacie w tym roku na finał?

[Taarion]

19 pkt.

[Sylwek]

Zadanka już są na stronie OM. Moje próby poniżej. Wszelkie literówki, nieścisłości i blefy niezamierzone

Zad. 5.

Ukryta treść:    

Przypuszczalnymi kandydatami są pewnie \(\displaystyle{ f(x)=ax+b}\) - stąd można przypuszczać, że jedynymi rozwiązaniami będą \(\displaystyle{ f(x)=0}\) lub \(\displaystyle{ f(x)=-x}\). Spróbujemy to udowodnić (bądź obalić ).

\(\displaystyle{ (1) \ \ (x,y)=(0,0) \Rightarrow f(f(0))+f(0)=0 \\
(2) \ \ (x,y)=(x,-x) \Rightarrow f(f(x)+x)+f(0)=0}\)
Kładąc do (2) \(\displaystyle{ x=f(0)}\) i korzystając z (1) dostajemy \(\displaystyle{ 2f(0)=0 \iff f(0)=0}\). Korzystając z tego dostajemy:
\(\displaystyle{ (3) \ \ (x,y)=(x,-x) \Rightarrow f(f(x)+x)=0 \\
(4) \ \ (x,y)=(0,y) \Rightarrow f(-y)+f(y)=0 \\
(5) \ \ (x,y)=(x,0) \Rightarrow f(f(x))+f(x)=0 \\
(6) \ \ (x,y)=(x,x) \Rightarrow f(f(x)-x)+f(2x)=0}\)

Można z tego skorzystać w końcu. Jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ x>0}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(x)>0}\), to: \(\displaystyle{ f(f(x)) \ge f(0)=0}\) (z monotoniczności), czyli z (5): \(\displaystyle{ 0=f(f(x))+f(x) \ge f(x)>0}\) - sprzeczność. Analogicznie przypuszczenie, że istnieje takie x, że: \(\displaystyle{ (x<0 \Rightarrow f(x)<0)}\) prowadzi do sprzeczności. Zatem f jest nierosnąca.

Z (4) otrzymujemy, że f jest nieparzysta, więc skupmy się na argumentach dodatnich.

Przypuśćmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ a>0}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(a)=0}\), z nieparzystości wynika, że \(\displaystyle{ f(-a)=0}\). Korzystając z (6) dostajemy: \(\displaystyle{ 0=f(f(a)-a)+f(2a)=f(-a)+f(2a)=f(2a)}\). Analogicznie dla każdego n naturalnego \(\displaystyle{ f(2^n \cdot a)=0}\) - ale f była niemalejąca oraz \(\displaystyle{ f(0)=0}\), zatem na przedziale \(\displaystyle{ <0,2^n \cdot a>}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(x)=0}\). Ponieważ każdy x dodatni należy do pewnego przedziału \(\displaystyle{ <0,2^n \cdot a>}\) oraz f jest nieparzysta, zatem mamy \(\displaystyle{ f(x)=0}\).

Ostatnia możliwość - \(\displaystyle{ x>0 \Rightarrow f(x)<0}\).

(3) Mówi, że \(\displaystyle{ f(f(x)+x)=0}\), ale gdy argument jest różny od 0, to wartość funkcji od tego argumentu (w rozważanym przypadku + nieparzystość funkcji) jest różna od zera. Zatem \(\displaystyle{ f(f(x)+x)=0 \Rightarrow f(x)+x=0 \Rightarrow f(x)=-x}\)[/latex]

Początkowe przypuszczenie się potwierdziło. Sprawdzamy, że te funkcje rzeczywiście spełniają warunek zadania.

Zad. 4.

Ukryta treść:    

Chyba niektórzy będą sobie pluli w brodę jak tego nie zrobili .

Oczywiście każdy kąt wewnętrzny ma \(\displaystyle{ 108^o}\). Przedłużmy proste \(\displaystyle{ AB \ i \ CD}\) do przecięcia w punkcie X. Oczywiście trójkąt \(\displaystyle{ BCX}\) jest równoramienny (BC jest podstawą), zatem symetralna BC jest zarazem dwusieczną \(\displaystyle{ \angle BXC}\). Analoczinie przedłużamy \(\displaystyle{ AB \ i \ DE}\) do przecięcia w Y - symetralna AE jest zarazem dwusieczną \(\displaystyle{ \angle AYE}\). Ponieważ punkty YABX są współliniowe, XCD też oraz DEY też, zatem dwusieczne trójkąta YXD pokrywają się odpowiednio z symetralną EA, symetralną BC i dwusieczną CDE, a że dwusieczne trójkąta YXD przecinają się w jednym punkcie...

[wizzy]

a czy w zadaniu 5 można było po prostu za podstawić od razu y=0 (skoro dziedziną funkcji f są x,y należące do rzeczywistych), z czego wychodziło nam f(f(x))=-f(x) ?

[Sylwek]

Można było, ale od tego jeszcze daleka droga do rozwiązania.

[wizzy]

możesz rozwinąć?

[Sylwek]

Ja nie mam co rozwijać (swój pomysł przedstawiłem kilka postów wyżej), ewentualnie źle się zrozumieliśmy . Możesz podstawić \(\displaystyle{ (x,y)=(x,0)}\) i rzeczywiście wychodzi to co mówisz. W każdym razie bez co najmniej paru innych mniej lub bardziej sugestywnych podstawień i zauważenia jeszcze kilku innych rzeczy nie widzę szans natychmiastowe dokończenie dowodu za pomocą tylko tej równości: \(\displaystyle{ f(f(x))=-f(x)}\). Oczywiście mogę się mylić

[Manolin]

Mi w drugim dniu udało się 4 i 5 , te dwa zadanka poszły błyskawicznie w jakieś 30 min , nad 6 siedziałem 4 godziny , rozwiązałem je , ale niestety z małą luką , jednego przypadka nie zdołałem rozważyć .
odnośnie 6 :

Ukryta treść:    

założyłem że \(\displaystyle{ a_{1} \ge ... \ge a _{n}}\) następnie udowodniłem \(\displaystyle{ \frac{a _{1} +a _{2} }{2} \ge \frac{a _{1} +a _{2} +a _{3} }{3} \ge ... \ge \frac{a _{1} +a _{2} +...+a _{n} }{n}}\) i próbowałem dla każdego k udowodnić że istnieją takie i i j , że \(\displaystyle{ \frac{a _{i} +a _{j} }{2} \ge \frac{a _{1} +a _{2} +...a _{k} }{k}}\) rozpatrywałem przypadek gdy k jest parzyste i nie parzyste , do końca niestety nie dobrnałem chyba wychodziło że n-2 istnieje a n-1 niekoniecznie

dadzą za takie coś choć 2 pk.?

[kareth]

ja w 6 zrobilem taki myk ze posortowalem od \(\displaystyle{ a_{1}}\) do \(\displaystyle{ a_{n}}\), i znalazlem takie minimalne k dla którego \(\displaystyle{ \frac{a_{k}+a_{n}}{2} \ge X}\) gdzie X to średnia artm all. wiem wtedy ze istnieje poniżej k-1 liczb, czyli istnieje przynajmniej k-1 liczb wiekszych od X. tak wiec otrzymuje juz \(\displaystyle{ n-k+ {k-1 \choose 2} =n +2+ \frac{k(k-5)}{2}}\)
Odejmujemy od tego tylko k-1 powtórzen otrzymując:
\(\displaystyle{ n+3+ \frac{k(k-7)}{2}}\) więc dla \(\displaystyle{ k \ge 6}\) mamy spełnione zadanie
pozostaje rozpatrzyć resztę;D, dla 1 jest oczywiste, i zostało 2,3,4,5 ktore moze tez by sie dało jakos w miare, ale mi juz czasu zabrakło, mylicie ze 2 by było?