[LXI OM] I etap

[KPR]

Nie sądzicie że rozwiązanie zad. 2 na stronie OMu jest trochę.. bezsensu nakomplikowane? Zrobiłam to zadanie, ale jak przeczytałam potem to rozwiązanie, to się zakrztusiłam herbatą Albo ja napisałam coś totalnie głupiego, albo oni po prostu chcieli celowo coś tak powymyślać, żeby "straszniej" wyglądało..

Nie wydaje mi się. Po prostu trzeba było wyprowadzić wszystkie równości, które się dało.

[kareth]

A ja sie załamałem;P bo olałem stereo na wejsciu i wogole nie otykałem go, i jak potem w pociagu w pol godziny zrobiłem to myslałem ze sie zadźgam;/

Kurde 6 pkt w tył to dosyc duzo;/ miejmy nadzieje ze bez tego zadania da rade przejsc...ehh

[nivwusquorum]

No ja tam mogę się pochwalić swoim rozwiązaniem do 3ciego Podoba mi się bo chyba jest łatwiejsze od wzorcowego.

Oznaczmy sobie \(\displaystyle{ x_i=k+i}\). Musimy każdej takiej liczbie przyporządkować jakąś liczbę pierwszą z jej rozkładu na czynniki pierwsze, w taki sposób żeby przyporządkowane liczby były parami różne. Taką liczbę nazwiemy charakterystyczną dla danego \(\displaystyle{ x_i}\).

Teraz tak: jeżeli istnieje w rozkładzie na czynniki pierwsze \(\displaystyle{ x_i}\), jakaś liczba \(\displaystyle{ p>n}\), to możemy bezpiecznie uznać ją za charakterystyczną, bo następna liczba która będzie się dzielić przez \(\displaystyle{ p}\), to \(\displaystyle{ k+i+p>k+n}\). W dalszym rozumowaniu założymy, że w rozkładzie \(\displaystyle{ x_i}\) na czynniki pierwsze są tylko liczby mniejsze bądź równe \(\displaystyle{ n}\).

Dalej jeżeli w rozkładzie na czynniki pierwsze danej liczby \(\displaystyle{ x_i}\) występuje liczba \(\displaystyle{ p^k>n}\). To uznajemy \(\displaystyle{ p}\), za charakterystyczną. Wiemy, że nie uznamy dwa razy tej samej liczby \(\displaystyle{ p}\) za charakterystyczną, ponieważ \(\displaystyle{ p}\) w potędze, takiej że \(\displaystyle{ p^k>n}\) może występować tylko w rozkładzie na czynniki pierwszej co najwyżej jednej z kolejnych \(\displaystyle{ n}\) liczb większych od \(\displaystyle{ n!}\), bo takie się zdarzają też co \(\displaystyle{ p^x}\). Gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest takie że \(\displaystyle{ p^{x-1}\leqslant n < p^x}\).

No i ostatecznie jeżeli nie istnieje taka liczba \(\displaystyle{ p^k>n}\), to znaczy że każda potęga liczby pierwszej w rozkładzie \(\displaystyle{ x_i}\) jest jakimś czynnikiem w \(\displaystyle{ n!}\). Więc musiałoby być \(\displaystyle{ k \leqslant n!}\), co jest sprzeczne z założeniem, więc takie \(\displaystyle{ x_i}\) nie istnieją. Stąd mamy liczby charakterystyczne dla każdego \(\displaystyle{ x_i}\).

Co do pierwszego skopałem. Napisałem układ równań:
\(\displaystyle{ x=yz\\
y=xz\\
z=xy\\}\).
I stwierdziłem, że widać, że jedyne rozwiązania to (1,1,1), przez co pominąłem 3 trójki. Myślicie że obetną mi za to do dwóch?
Drugiego nie mam wcale...
A trzecie pisałem po łebkach 15 minut przed końcem, więc mogłem coś przeoczyć i że mogą mi coś obciąć.
Więc no liczę na od 4 do 11

[kluczyk]

Ja jak zwykle w 1 musiałem pominąć jedno rozwiązanie i pewnie tylko 5 ptk dostanę :/ W 2 za dozę fantazji 2 v 5. W 3 błądziłem wokół prawidłowego rozwiązania. Myślę, że 2 ptk tu dostanę... Ogólnie to po I dniu próg do finału myślę,że wyniósłby 11 ptk. (Pierwsze 2 zadania były niestety dość proste).

[kubus1353]

no brak jednego rozwiązania to jest raczej 0 punktów...

[Swistak]

A to niby czemu? Mały błąd przecież w żadnym wypadku nie dyskwalifikuje zadania jako rozwiązanego.

[kubus1353]

bo bez jednego rozwiązania, zadanie nie jest rozwiązane... Chyba że pokazałeś że wiesz o tym, że istnieje ale przez nie uwage pominąłeś. Zależy od komisji. Moim zdaniem to jest nie mała usterka, ale pół zadania.

[Dumel]

dwa lata temu w zad. 1. (maksymalna długość ciągu) jedna osoba miała odpowiedź 7 zamiast 5 i brak przykładu i dostała 5 pkt.
w II etapie czasem sprawdzający przymykają oko na błędy

[Manolin]

Ja zrobiłem 1 całe drugie całe , ale z durnym błędem , a w trzecim napisałem tylko parę spostrzeżeń , Ile mogą mi dać za drugie jeśli udowodniłem że czworościan ten ma podstawę równoboczną , a ściany są przystającymi trójkątami równoramiennymi? dalej coś zkopałem

[kubek1]

Ja w 1 robilem inaczej niz we wzorcowce, bo odjalem sobie te rownania stronami i chyba przez to nie uzyskalem rozw. z -1. w 2 to lecialem z pitagorasa i ladnie wyszedl ostroslup prawidlowy. potem jeszcze raz pitagoras i ladnie wyszlo. a 3 nie mam

[Sylwek]

Ja zrobiłem 1 całe drugie całe , ale z durnym błędem , a w trzecim napisałem tylko parę spostrzeżeń , Ile mogą mi dać za drugie jeśli udowodniłem że czworościan ten ma podstawę równoboczną , a ściany są przystającymi trójkątami równoramiennymi? dalej coś zkopałem

Pewnie 2 punkty. Napiszę coś od siebie, bo do tego momentu robiłem tak samo. Dalej można było dokończyć w ten sposób, że czworościany BACD i CABD są przystające, a że trójkąty ABD i ACD są przystające, to BB' = CC' . Teraz prosto było z Pitagorasa udowodnić, że skoro punkt C' jest środkiem ciężkości ABD, to B' jest też środkiem ciężkości ACD. A że był też punktem przecięcia środkowych, to stosując tw. o dwusiecznej mamy, że ACD jest równoboczny, dalej wiadomo.

dwa lata temu w zad. 1. (maksymalna długość ciągu) jedna osoba miała odpowiedź 7 zamiast 5 i brak przykładu i dostała 5 pkt.

Znam tą osobę i potwierdzam . Zgubienie rozwiązania typu (a,a,b), podczas gdy się podało (a,b,a) i (b,a,a) akurat w tym układzie równań można uznać za przeoczenie. Ale zgubienie całej partii rozwiązań (nie tylko jednej permutacji) pewnie spowoduje, że za zadanie zostanie przyznane do 2 punktów. Ja to zadanko zrobiłem rozważając 3 przypadki:
1) \(\displaystyle{ x=y=z}\) - 2 rozwiązania
2) \(\displaystyle{ x=y \neq z}\) - 2 rozwiązania + permutacje -> 6 rozwiązań
3) x,y,z parami różne - wychodziło w końcu coś w stylu 2=0 - sprzeczność
A robiłem podobnie jak w zadaniu 1. z I etapu 58. OM. Nie powinni dawać podobnego zadania do zadania sprzed 3 lat...

Powodzenia jutro i dzisiejszy dzień tymczasowo puśćcie w niepamięć, nieważne czy był udany, czy nie

[Manolin]

a w pierwszym wystarczało napisać że równanie jest symetryczne? , czy trzeba było wypisać wszystkie permuntacje rozwiązań?

[davidex]

W pierwszym wszystko ładnie wymyśliłem... Znalazłem rozwiązanie (1, -1, -1) i jego permutacje... Po czym sprawdziłem, pomyliłem się w liczeniu i napisałem, że ta trójka nie spełnia układu, bo nie udało się sprawdzenie. Dostanę 5, czy może raczej 2?...

[*Kasia]

Napiszę coś od siebie, bo do tego momentu robiłem tak samo. Dalej można było dokończyć w ten sposób, że czworościany BACD i CABD są przystające, a że trójkąty ABD i ACD są przystające, to BB' = CC' . Teraz prosto było z Pitagorasa udowodnić, że skoro punkt C' jest środkiem ciężkości ABD, to B' jest też środkiem ciężkości ACD. A że był też punktem przecięcia środkowych, to stosując tw. o dwusiecznej mamy, że ACD jest równoboczny, dalej wiadomo.

A robiłem podobnie jak w zadaniu 1. z I etapu 58. OM. Nie powinni dawać podobnego zadania do zadania sprzed 3 lat...

Czy to podkreślone trzeba koniecznie jakoś udowadniać? Ja napisałam, że wynika to po prostu z analogii i przystawania czworościanów.

A odnośnie układu, to miałam podobne skojarzenie (tym bardziej, że wspomniany układ był moim pierwszym zetknięciem z OM).

[Sylwek]

Czy to podkreślone trzeba koniecznie jakoś udowadniać? Ja napisałam, że wynika to po prostu z analogii i przystawania czworościanów.

Nie powinno być problemów.