MagdaW pisze:Moje odpowiedzi do I kategorii:
g c e e b b f (jak dorze przepisałam z moich karteczek).
Też potwierdzam :]
Ja jako jedyny startuję w Matmix'ie ze szkoły, więc odpowiedzi te są na 100% dobre, ponieważ moja szkoła ma 13pkt (wszystkie moje ).
kolanko - przekształcasz do postaci \(\displaystyle{ \frac{2}{ab} \geqslant t-1}\)
Potem podstawiasz \(\displaystyle{ a=b=0,5}\) (pomyśl dlaczego ) i z tego wychodzi \(\displaystyle{ 9 \geqslant t}\)
PS Oczywiście na konkursie nie napisałbym, że ot tak po prostu podstawiam za a i b te liczby, ale skoro tutaj liczy się sama odpowiedź... Jeśli ktoś nie wie, to podpowiem, że z funkcji kwadratowej można do tego dojść (albo nawet z geo )
Tw. Lagrange'a:
Liczba pierwsza p występuje w rozkładzie liczby n! na czynniki pierwsze w potędze o wykładniku: \(\displaystyle{ \left[ \frac{n}{p} \right]+ \left[ \frac{n}{p^{2}} \right]+...+ \left[ \frac{n}{p^k} \right]}\), gdzie k jest taką liczbą naturalną, że: \(\displaystyle{ p^{k} \leqslant n}\)
W zadaniu oczywiście mieliśmy 10=5*2, a dalej szło z powyższego twierdzenia.
Zaś co do kolejnego, to trzeba było tak naprawdę znaleźć najmniejszą wartość tamtego iloczynu. Wymnożyłem nawiasy i skorzystałem z tego, że b=1-a, wstawiłem i potem wystarczyło wyznaczyć wierzchołek funkcji kwadratowej. Wychodziło 0,5, a z tego t=9
z tą największa wartością t, zrobiłem tak jak kubek1,
można było ewentualnie z nierówności pomiędzy średnia arytmetyczną a geometryczną.
Wtedy: \(\displaystyle{ \sqrt{ab} qslant \frac{a+b}{2}}\) \(\displaystyle{ ab qslant \frac{1}{4}}\)
Kategoria I
zestaw 1
1 - 827 (G)
2 - 2,5 (C)
Zestaw 2
1 - 80* (E)
2- \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\) (E)
3 - \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) (B)
Zestaw 3
1 - B (ja oczywiście nie przecyztałem uważnie treści zadania i zaznaczyłem C)
2 - t=9 (F)
Ostatnio zmieniony 23 gru 2008, o 13:23 przez smigol, łącznie zmieniany 1 raz.
Dla wiwatu napiszę swój sposób na 3.2: \(\displaystyle{ L=(1+\frac{a+b}{a})(1+\frac{a+b}{a})=(2+\frac{a}{b})(2+\frac{b}{a})=5+2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) 5 + 2 2 = 9}\)
Tego mi było trzeba. Jak Sylwek ma tak samo, tzn. że jest dobrze. Mam nadzieję, że konkurs przyspieszy co najmniej dwukrotnie (zestaw/tydzień), bo póki co to się nie przemęczamy...
Całkiem nieźle jak na pierwszy raz chyba bo prawie wszystko dobrze, ale przy tych zerach się sypnęłam... :/
Czy te wyniki szkół wszystkie są aktualne? Bo przy moim liceum nic nie ma...
W zadaniu 2 zestaw 3 w kategorii 2 jak na moje oko ma być: nie istnieje taka liczba t. Jak liczyłem pierwszy raz to też mi wyszło t=9, ale później na szczęście zauważyłem haczyk.
Jeśli chodzi o te grzyby to dałem 2,2, bo susz zinterpretowałem jako coś "innego" od suchych grzybów. Liczę na szczęście, ale nic nie wiadomo...
Przekształciłem to do postaci: \(\displaystyle{ 1+ \frac{-2}{ a^{2}-a } qslant t}\) gdzie \(\displaystyle{ a (0;1)}\).Najpierw obliczyłem najmniejszą wartość wyrażenia znajdującego się w mianowniku. Wyszło 9. Oczywiście nie jest to jednak największa wartość całego tego wyrażenia. Dla a zbiegającego do 0 lub do 1 mamy coraz większe wartości. Zatem nie można także wskazać największej liczby t spełniającej tą nierówność dla tak określonych a i b.
w zadaniu chodzilo o znalezienie najwiekszego \(\displaystyle{ t}\) a nie najwiekszej wartosci wyrazenia. pokazales w ten sposob, ze nie istnieje ograniczenie tego wyrazenia z gory, ale to nie o to chodzilo - chodzilo o ograniczenie z dolu
Gierol pisze:w zadaniu chodzilo o znalezienie najwiekszego \(\displaystyle{ t}\) a nie najwiekszej wartosci wyrazenia. pokazales w ten sposob, ze nie istnieje ograniczenie tego wyrazenia z gory, ale to nie o to chodzilo - chodzilo o ograniczenie z dolu
Nie wiem o co ci chodzi. Największe t będzie właśnie wtedy, gdy wartość tego wyrażenia będzie najwieksza. A być nie może...
).
) i z tego wychodzi \(\displaystyle{ 9 \geqslant t}\)
