Matematyka.pl

Jan Kraszewski pisze: 13 lis 2022, o 20:43

Xenon02 pisze: 13 lis 2022, o 16:41Czyli to że \(\displaystyle{ x^2}\), oraz \(\displaystyle{ y = x^2}\) zwracają ten sam wynik po podstawieniu za \(\displaystyle{ x = 2}\) to jeden nie jest funkcją a drugi jest ? Bo ten wynik który wynosi 4 przyporządkowuję \(\displaystyle{ y}\), a przy \(\displaystyle{ x^2}\) to po prostu jest to 4 i nic to nie znaczy ?

A możesz mi pokazać konkretną sytuację, w której potrzebujesz takiego rozróżnienia? Obracasz tymi literkami bez związku z konkretnymi matematycznymi literkami, a to do niczego nie prowadzi.

W sumie to w liczbach zespolonych. Może też przy algebrze (przekształcenia liniowe, wektory etc.) Daje takie przykłady bo w sumie mam wrażenie że takie rozróżnienie pozwoli mi lepiej zrozumieć niektóre teorie matematyczne.

Jan Kraszewski pisze: 13 lis 2022, o 20:43 Nie rozumiem tego zdania.

Chodziło mi wtedy o to że \(\displaystyle{ cos(x)}\) można zapisać jako : \(\displaystyle{ \cos(x) = x/r}\), mogę też \(\displaystyle{ y}\) też zapisać jako \(\displaystyle{ y = x/r}\). Jednakże jeśli zapiszę coś takiego : \(\displaystyle{ y^2 + x + 2}\) to tutaj \(\displaystyle{ y}\) jest zmienną pomimo że jego wartość jest równa \(\displaystyle{ y = x/r}\) czyli y opisuje pewną funkcję. \(\displaystyle{ \cos(x)}\) też opisał pewną funkcję i jest ona \(\displaystyle{ \cos(x) = x/r}\).
No i teraz tak (oczywiście dla mnie nie dla innych ten problem dotyczy), skoro \(\displaystyle{ y^2 + x + 2}\) to jest wyrażenie algebraiczne gdzie \(\displaystyle{ y = x/r}\), ale już \(\displaystyle{ \cos(x)^2 + x + 2}\) już nie jest tym wyrażeniem ale też \(\displaystyle{ \cos(x)}\) opisuje pewną funkcję.

Jan Kraszewski pisze: 13 lis 2022, o 20:43

Xenon02 pisze: 13 lis 2022, o 16:41 Bo też jak mamy wyrażenie algebraiczne który składa się z symboli i z zmiennych to \(\displaystyle{ x + y + 1}\) gdzie \(\displaystyle{ y = \sin(x)}\), to dalej \(\displaystyle{ x + y + 1}\) jest wyrażeniem algebraicznym ale jakby zamiast tego dał \(\displaystyle{ x + \sin(x) + 1}\) to już nie jest bo jest tam funkcja ?

To już nie jest, bo \(\displaystyle{ \sin(x)}\) nie jest wyrażeniem algebraicznym.

To czyli co ? Który wzór ?

Jan Kraszewski pisze: 13 lis 2022, o 20:43

Xenon02 pisze: 13 lis 2022, o 16:41 Bo nie wiem czy dobrze to rozumiem symbole typu : \(\displaystyle{ f(x), \sin(x), \tg(x), sgn(x) }\) itd. to są funkcje

Czym jest \(\displaystyle{ f(x)}\) to póki co nie wiadomo, choć zazwyczaj używa się go do oznaczania funkcji (dokładniej: wartości funkcji). Pozostałe symbole mają swoje ustalone znaczenie odnoszące się do odpowiednich funkcji, dokładniej: są to wartości funkcji \(\displaystyle{ \sin, \tg, \text{sgn}}\) dla argumentu \(\displaystyle{ x}\).

Xenon02 pisze: 13 lis 2022, o 16:41natomiast \(\displaystyle{ y = sgn(x)}\) to już jest i funkcja i zmienna jednocześnie ?

Nie, to nie jest ani funkcja, ani zmienna, tylko równość, która mówi o przypisaniu zmiennej \(\displaystyle{ y}\) wartości funkcji \(\displaystyle{ \text{sgn}}\) dla argumentu \(\displaystyle{ x}\). Takiej równości można używać do definiowania funkcji, która argumentom \(\displaystyle{ x}\) ze zbioru \(\displaystyle{ \RR}\) przypisuje - w sposób opisany przez powyższą równość - wartości \(\displaystyle{ y}\) ze zbioru \(\displaystyle{ \RR}\). Zatem ta równość nie jest funkcją, tylko opisuje pewną funkcję.

Powtórzę, zdecydowanie za bardzo skupiasz się na znaczkach.

Xenon02 pisze: 13 lis 2022, o 16:41I taki zapis : \(\displaystyle{ x + y + 1}\) to jest wyrażenie algebraiczne ale \(\displaystyle{ x + sgn(x) + 1}\) już nie bo jest \(\displaystyle{ sgn(x)}\) a to jest funkcja,

Nie, to nie jest wyrażenie algebraiczne, bo \(\displaystyle{ \text{sgn}(x)}\) nie jest wyrażeniem algebraicznym.

To \(\displaystyle{ f(x)}\) nie opisuje pewnej funkcji ? Bo sam w sobie nic nie określa, trzeba zdefiniować.
A inne pozostałe symbole to opisują pewną funkcję. Dla \(\displaystyle{ y}\) też mogliśmy opisać pewną funkcję.

I dlatego że \(\displaystyle{ y}\) oraz inne symbole np \(\displaystyle{ sgn(x)}\) opisują pewną funkcję ale tylko jedno z nich jest algebraiczne a drugie już nie. Bo taki \(\displaystyle{ y}\) dam do takiego działania \(\displaystyle{ y +x +1 }\) i jest to wyrażenie algebraiczne. Natomiast jak zamiast \(\displaystyle{ y}\) dam tego sgn to już nie. \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ sgn(x)}\) opisują funkcję tylko teraz przypisuję y tego sgn(x), \(\displaystyle{ y = sgn(x)}\)

Xenon02 pisze: 13 lis 2022, o 22:13W sumie to w liczbach zespolonych. Może też przy algebrze (przekształcenia liniowe, wektory etc.)

A konkretnie?

Xenon02 pisze: 13 lis 2022, o 22:13Daje takie przykłady bo w sumie mam wrażenie że takie rozróżnienie pozwoli mi lepiej zrozumieć niektóre teorie matematyczne.

Szczerze mówiąc nie sądzę.

Xenon02 pisze: 13 lis 2022, o 22:13 Chodziło mi wtedy o to że \(\displaystyle{ cos(x)}\) można zapisać jako : \(\displaystyle{ \cos(x) = x/r}\), mogę też \(\displaystyle{ y}\) też zapisać jako \(\displaystyle{ y = x/r}\). Jednakże jeśli zapiszę coś takiego : \(\displaystyle{ y^2 + x + 2}\) to tutaj \(\displaystyle{ y}\) jest zmienną pomimo że jego wartość jest równa \(\displaystyle{ y = x/r}\) czyli y opisuje pewną funkcję. \(\displaystyle{ \cos(x)}\) też opisał pewną funkcję i jest ona \(\displaystyle{ \cos(x) = x/r}\).
No i teraz tak (oczywiście dla mnie nie dla innych ten problem dotyczy), skoro \(\displaystyle{ y^2 + x + 2}\) to jest wyrażenie algebraiczne gdzie \(\displaystyle{ y = x/r}\), ale już \(\displaystyle{ \cos(x)^2 + x + 2}\) już nie jest tym wyrażeniem ale też \(\displaystyle{ \cos(x)}\) opisuje pewną funkcję.

No i?

Czytam ten strumień świadomości i nie bardzo wiem, do czego się odnieść.

Xenon02 pisze: 13 lis 2022, o 22:13To czyli co ? Który wzór ?

\(\displaystyle{ x + \sin(x) + 1}\)

Xenon02 pisze: 13 lis 2022, o 22:13To \(\displaystyle{ f(x)}\) nie opisuje pewnej funkcji ? Bo sam w sobie nic nie określa, trzeba zdefiniować.

Tak.

Xenon02 pisze: 13 lis 2022, o 22:13A inne pozostałe symbole to opisują pewną funkcję.

Tak, symbole \(\displaystyle{ \sin,\tg,\text{sgn}}\) mają ustalone, uniwersalne znaczenie.

Xenon02 pisze: 13 lis 2022, o 22:13Dla \(\displaystyle{ y}\) też mogliśmy opisać pewną funkcję.

Xenon02 pisze: 13 lis 2022, o 22:13I dlatego że \(\displaystyle{ y}\) oraz inne symbole np \(\displaystyle{ sgn(x)}\) opisują pewną funkcję ale tylko jedno z nich jest algebraiczne a drugie już nie. Bo taki \(\displaystyle{ y}\) dam do takiego działania \(\displaystyle{ y +x +1 }\) i jest to wyrażenie algebraiczne. Natomiast jak zamiast \(\displaystyle{ y}\) dam tego sgn to już nie. \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ sgn(x)}\) opisują funkcję tylko teraz przypisuję y tego sgn(x), \(\displaystyle{ y = sgn(x)}\)

Samo \(\displaystyle{ y}\) nic nie opisuje.

JK

`y` też nic nie opisuje. i `x` też nie.
Mógłyś napisać `a=sin(b)` albo `p_0=sin(w_1)` i dalej robilbyś te same operacje, tylko inne byłyby nazwy argumentów i nazwy ich wartości.
`kot^2+2kot+1` jest wielomianem zmiennej `kot` i równa się `(kot+1)^2`, a nazwać go możesz np. `mojkot`. Wtedy napiszesz
`mojkot(kot)=kot^2+2kot+1`

Ale prawdą bedzie również że `mojkot(x)=x^2+2x+1` i że `mojkot(3+x+y+xy)=(3+x+y+xy)^2+2(3+x+y+xy)+1`

Jan Kraszewski pisze: 13 lis 2022, o 23:07 A konkretnie?

Ciężko mi stwierdzić. Teraz na przykład z tymi liczbami zespolonymi.

Jan Kraszewski pisze: 13 lis 2022, o 23:07 No i?

Czytam ten strumień świadomości i nie bardzo wiem, do czego się odnieść.

Głównie problem mój polega na tym że zapis \(\displaystyle{ x^2 + y + 1}\) kiedy \(\displaystyle{ y = sgn(x)}\), to to wyrażenie \(\displaystyle{ x^2 + y + 1}\) jest arytmetyczne pomimo tego że \(\displaystyle{ y}\) jest opisany pewną funkcją bo tak to zdefiniowałem. Jeśli opiszę to równanie tak : \(\displaystyle{ x^2 + sgn(x) + 1}\), to już nie jest wyrażeniem bo \(\displaystyle{ sgn(x)}\) jest funkcją ? Przecież \(\displaystyle{ y}\) też opisałem jako funkcję ale już tam mogła być wyrażeniem.

Jan Kraszewski pisze: 13 lis 2022, o 23:07 Samo \(\displaystyle{ y}\) nic nie opisuje.

Ale tam zdefiniowałem \(\displaystyle{ y}\) jako \(\displaystyle{ y = sgn(x)}\).

Xenon02 pisze: 14 lis 2022, o 04:58Ciężko mi stwierdzić. Teraz na przykład z tymi liczbami zespolonymi.

Do zrozumienia rozwiązań z początku wątku potrzebna jest przede wszystkim podstawowa wiedza o liczbach zespolonych.

Xenon02 pisze: 14 lis 2022, o 04:58 Głównie problem mój polega na tym że zapis \(\displaystyle{ x^2 + y + 1}\) kiedy \(\displaystyle{ y = sgn(x)}\), to to wyrażenie \(\displaystyle{ x^2 + y + 1}\) jest arytmetyczne pomimo tego że \(\displaystyle{ y}\) jest opisany pewną funkcją bo tak to zdefiniowałem. Jeśli opiszę to równanie tak : \(\displaystyle{ x^2 + sgn(x) + 1}\), to już nie jest wyrażeniem bo \(\displaystyle{ sgn(x)}\) jest funkcją ? Przecież \(\displaystyle{ y}\) też opisałem jako funkcję ale już tam mogła być wyrażeniem.

Nie arytmetyczne, tylko algebraiczne.

Wyrażanie \(\displaystyle{ x^2 + y + 1}\) jest wyrażeniem algebraicznym o dwóch zmiennych niezależnych. W momencie, kiedy dodajesz dodatkową informację \(\displaystyle{ y = \text{sgn}(x)}\), to zmienna \(\displaystyle{ y}\) traci niezależność i masz już do czynienia z zupełnie innym wyrażeniem (które nie jest algebraiczne).

JK

No tak i właśnie teraz jak wiemy że \(\displaystyle{ y = \text{sgn}(x)}\) to taki zapis : \(\displaystyle{ x^2 + y + 1}\) już nie jest wyrażeniem algebraicznym ponieważ y jest już zmienną zależną ?

Pamiętam że można niby zamienić funkcję na zmienną niezależną rozwiązać taki wielomian.


Tylko dalej nie rozumiem różnicy między zmienną zależną a funkcją (funkcję mam tutaj na myśli funkcje trygonometryczne itp).

Troszeczkę się gubię w literkach ... Przepraszam że tak robię czasami kółko bo łączę jedną informację z drugą i tak średnio mi to wychodzi (lekko się kompromituję nie będę kłamał) bo to powinna być w sumie oczywistość.

Xenon02 pisze: 14 lis 2022, o 19:25 No tak i właśnie teraz jak wiemy że \(\displaystyle{ y = \text{sgn}(x)}\) to taki zapis : \(\displaystyle{ x^2 + y + 1}\) już nie jest wyrażeniem algebraicznym ponieważ y jest już zmienną zależną ?

Pamiętam że można niby zamienić funkcję na zmienną niezależną rozwiązać taki wielomian.

No niech będzie.

Xenon02 pisze: 14 lis 2022, o 19:25 Tylko dalej nie rozumiem różnicy między zmienną zależną a funkcją (funkcję mam tutaj na myśli funkcje trygonometryczne itp).

A bardzo przeszkadza Ci to w życiu?

JK

To niech będzie czy tak jest ? Bo raz niby \(\displaystyle{ y}\) można traktować jako element wielomianu pomimo że na opisaną funkcję ale inne znaczki już nie typu \(\displaystyle{ sgn(x)}\).

Trochę to mi przeszkadza że zrozumieniem np liczb zespolonych albo transformat. Plus jeszcze czuję się trochę idiotycznie pytając się o znaczki ;D.
Ogółem to nie potrafię rozróżnić jak co traktować

Xenon02 pisze: 15 lis 2022, o 13:53 To niech będzie czy tak jest ? Bo raz niby \(\displaystyle{ y}\) można traktować jako element wielomianu pomimo że na opisaną funkcję ale inne znaczki już nie typu \(\displaystyle{ sgn(x)}\).

Już Ci to tłumaczyłem:

Jan Kraszewski pisze: 14 lis 2022, o 11:23Wyrażanie \(\displaystyle{ x^2 + y + 1}\) jest wyrażeniem algebraicznym o dwóch zmiennych niezależnych. W momencie, kiedy dodajesz dodatkową informację \(\displaystyle{ y = \text{sgn}(x)}\), to zmienna \(\displaystyle{ y}\) traci niezależność i masz już do czynienia z zupełnie innym wyrażeniem (które nie jest algebraiczne).

Dokładniej, masz do czynienia z wyrażeniem \(\displaystyle{ x^2 + \text{sgn}(x) + 1.}\)

Z Tobą jest taki problem, jak z osobą, która uczy się języka polskiego i co chwila dopytuje się o dokładne zasady, które sprawiają, że mówimy tak a nie inaczej. I czasami jest to trudno wytłumaczyć (albo trudno to prosto wytłumaczyć), choć wiesz, że tak właśnie powinno to być powiedziane.

Matematyk nie ma takiego problemu jak Ty, patrząc na te znaczki, bo on wie, co one znaczą i do czego służą. I dlatego czasami trudno to wytłumaczyć.

JK

Czyli nawet jak nie podstawie za y tego sgn(x).
To i tak nie jest już wielomianem ani wyrażeniem algebraicznym nawet jeśli to jest zmienną y.

To czemu w takim razie czasami zmienia się jakieś funkcję w zmiennych pomocniczych np zmienną z i liczą z tego wielomian. Np przykład z \(\displaystyle{ z = 2^x}\) i jakikolwiek wielomian. Skoro teraz z jest zmienną zależną. Nie jest też wyrażeniem algebraicznym ale traktuje się jako jednomian do wielomianu np .\(\displaystyle{ z^2 + z -1}\) ale z jest zależne więc to nie jest wyrażenie algebraiczne i nie jest jednomianem.ale dalej można liczyć to jak wielomian.

Xenon02 pisze: 15 lis 2022, o 15:30 Czyli nawet jak nie podstawie za y tego sgn(x).
To i tak nie jest już wielomianem ani wyrażeniem algebraicznym nawet jeśli to jest zmienną y.

Nie chcesz zrozumieć, że istotne jest to, jaki byt matematyczny opisujemy, a sam zapis jest do tego dostosowany. A Ty utknąłeś w syntaktyce i obracasz te znaczki na wszystkie strony.

Xenon02 pisze: 15 lis 2022, o 15:30 To czemu w takim razie czasami zmienia się jakieś funkcję w zmiennych pomocniczych np zmienną z i liczą z tego wielomian. Np przykład z \(\displaystyle{ z = 2^x}\) i jakikolwiek wielomian. Skoro teraz z jest zmienną zależną. Nie jest też wyrażeniem algebraicznym ale traktuje się jako jednomian do wielomianu np .\(\displaystyle{ z^2 + z -1}\) ale z jest zależne więc to nie jest wyrażenie algebraiczne i nie jest jednomianem.ale dalej można liczyć to jak wielomian.

Nad językiem polskim też powinieneś popracować, bo naprawdę ciężko się to czyta i trudno to zrozumieć.

Rozumiem, że interesuje Cię sytuacja \(\displaystyle{ \left( 2^x\right)^2+2^x-1 }\). To nie jest wielomian zmiennej \(\displaystyle{ x}\). Natomiast możemy zrobić podstawienie \(\displaystyle{ z = 2^x}\) i otrzymać \(\displaystyle{ z^2 + z -1}\) i to jest wielomian, ale innej zmiennej - zmiennej \(\displaystyle{ z}\). Możemy teraz zająć się tym wielomianem i robić z nim to, co można robić z wielomianami, zapominając na chwilę, skąd się wziął - podstawienie jest operacją pomocniczą, która pozwala nam zamienić sytuację mniej przyjazną na bardziej przyjazną. Trzeba jednak pamiętać, że wyniki, które otrzymamy, będą dotyczyć zmiennej \(\displaystyle{ z}\), która w naszej sytuacji jest tylko pomocnicza, trzeba zatem będzie wrócić do podstawowej zmiennej \(\displaystyle{ x}\), korzystając ponownie z tego samego podstawienia \(\displaystyle{ z = 2^x}\), a następnie zinterpretować otrzymane wyniki w odniesieniu do zmiennej \(\displaystyle{ x}\).

JK

O wpadłem na dobry pomysł.

Popatrz na ten przykład \(\displaystyle{ y^2 + y + 1}\) gdzie \(\displaystyle{ y = 2^x}\) a to jest to samo co taki zapis \(\displaystyle{ y(x) = 2^x}\).

Teraz dla takiego zapisu ,\(\displaystyle{ y^2+y +1}\) to jest wielomian. A ten zapis \(\displaystyle{ y(x)^2+y(x) +1}\) ?
Bo często podobnie się ten zapis \(\displaystyle{ y(x)}\) stosuje się dla \(\displaystyle{ f(x)}\) albo w trygonometrycznych funkcjach np.
\(\displaystyle{ \tg(x)}\)

Xenon02 pisze: 15 lis 2022, o 16:35Popatrz na ten przykład \(\displaystyle{ y^2 + y + 1}\) gdzie \(\displaystyle{ y = 2^x}\) a to jest to samo co taki zapis \(\displaystyle{ y(x) = 2^x}\).

Niezupełnie to samo. Zapis \(\displaystyle{ y = 2^x}\) w poprzednim przykładzie oznaczał po prostu podstawienie, zastąpienie jednego wyrażenia innym wyrażeniem. Natomiast zapis \(\displaystyle{ y(x) = 2^x}\) oznacza, że \(\displaystyle{ y}\) jest funkcją zmiennej \(\displaystyle{ x}\), zadaną pewnym wzorem.

JK

W sumie to może być dosyć ważna rzecz która może trochę poprawić pewne niejasności.

Chociaż dalej nie pasuje mi jeden fakt. Bo ten zapis : \(\displaystyle{ y = 2^x}\) to zmienna zależna czyli inaczej funkcja, natomiast to : \(\displaystyle{ y(x) = 2^x}\) nie jest już zmienna zależna ? Bo troszeczkę nie zrozumiałem bo przypomniałem sobie o tym że taki zapis : \(\displaystyle{ y = 2^x}\) nazywaliśmy zmienną zależną czyli też funkcją np \(\displaystyle{ y=x^2}\) czyli funkcja kwadratowa, to ten zapis : \(\displaystyle{ y(x) = 2^x}\) też powinna być funkcją kwadratową. Więc uznawałem to za taki sam zapis.

Xenon02 pisze: 17 lis 2022, o 22:03Bo troszeczkę nie zrozumiałem bo przypomniałem sobie o tym że taki zapis : \(\displaystyle{ y = 2^x}\) nazywaliśmy zmienną zależną

Zmienną zależną na pewno nie nazywaliśmy "zapisu" (równość nie jest zmienną). Mogliśmy co najwyżej mówić, że w tym zapisie \(\displaystyle{ y}\) jest zmienną zależną.

Xenon02 pisze: 17 lis 2022, o 22:03ten zapis : \(\displaystyle{ y(x) = 2^x}\) też powinna być funkcją kwadratową.

Kwadratowa na pewno nie. Ten zapis może opisywać funkcję wykładniczą.

Xenon02 pisze: 17 lis 2022, o 22:03Więc uznawałem to za taki sam zapis.

Zapis jest tylko zapisem, może znaczy różne rzeczy. Zapis \(\displaystyle{ y = 2^x}\) może opisywać podstawienie, a może być skróconą wersją zapisu \(\displaystyle{ y(x) = 2^x}\) i opisywać funkcję.

JK