Brak pierwiastków całkowitych

[a4karo]

czyli różnica jest parzysta

Dodano po 1 minucie 45 sekundach:
Znasz taki wzór
$$a^k-b^k=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+\dots+ab^{k-2}+b^{k-1})$$?

[Niepokonana]

Nie znałam, ale teraz znam. Ej, ale z tego wzoru wszystko wynika co nie. Bo jak mamy \(\displaystyle{ a_{z}[(n+2)^{z}-n^{z}=2a_{z}[(n+2)^{z-1}+...n^{z-1}}\), co jest liczbą parzystą. I tak dla wszystkich współczynników wielomianu, a \(\displaystyle{ a_{0}}\) się zredukuje, czyli ostatecznie dostajemy liczbę parzystą.

[a4karo]

No tak. Ale mogłabyś to załatwić argumentem, że różnica obu potęg jest parzysta, bo obie liczby są tej samej parzystosci

Dodano po 2 minutach 20 sekundach:
Teraz pokaż, że z tego twierdzenia wynikaja te wszystkie rzeczy, nad którymi się męczyłas

[Niepokonana]

Ale jakie to rzeczy?

[a4karo]

Pierwsze twierdzenie z tego wątku i wszystkie następne uogolnienia

[Niepokonana]

Nie rozumiem, jak to twierdzenie o odejmowaniu potęg ma pomóc.

[a4karo]

To pomyśl

[Niepokonana]

Ale jak mamy dwie liczby o różnej parzystości np. zero i jeden to różnica ich potęg będzie nieparzysta.

[a4karo]

Niech wielomian w punkcie np \(x=1\) ma wartość nieparzystą. Co wnioskujesz z twierdzenia?

[Niepokonana]

Suma wszystkich współczynników jest nieparzysta.

[a4karo]

Czy to twierdzenie mówi coś o sumie współczynników?

[Niepokonana]

No to twierdzenie o tym nie mówi, ale jak ja mam je użyć, skoro mam tylko jedną liczbę potęgowaną? Nie rozumiem

[a4karo]

Udowodnij, że jeżeli \(w\) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, to dla dowolnej liczby całkowitej \(n\) liczby \(w(n) \) i \(w(n+2)\) są tej samej parzystosci.

Co wynika z faktu, że \(w(1)\) jest nieparzyste?

[Niepokonana]

To pewnie \(\displaystyle{ w(-1)}\) i \(\displaystyle{ w(3)}\) też są nieparzyste.

[a4karo]

I co dalej?