[Rozgrzewka przed maturą III] Zadania różne

[karolex123]

Nie bardzo rozumiem po co pchać się tutaj w wektory, ani jak miałby wyglądać ten dowód; jeśli ma to być wykład dotyczący własności rombu, to proszę

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie punktem na prostej \(\displaystyle{ AB}\) takim, że \(\displaystyle{ \overrightarrow{AX}=\overrightarrow{ES}}\). Taki punkt istnieje, bo proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ DE}\) są równoległe. Czworokąt \(\displaystyle{ AXSE}\) jest równoległobokiem (łatwo sprawdzić, że mamy też \(\displaystyle{ \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{XS}}\); istotnie \(\displaystyle{ \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AX}+\overrightarrow{XS}+\overrightarrow{SE}=\overrightarrow{XS}}\), bo \(\displaystyle{ X}\) został tak wybrany).Pozostaje dowieść, że jest to romb. Mamy równość kątów \(\displaystyle{ \left| \angle XAS\right|=\left| \angle EAS\right|}\), a zatem w języku wektorów:
\(\displaystyle{ \frac{\overrightarrow{AX} \cdot \overrightarrow{AS}}{\left| \overrightarrow{AX}\right|\left| \overrightarrow{AS}\right| }= \frac{\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AS}}{\left|\overrightarrow{AE} \right|\left|\overrightarrow{AS} \right| }}\). Przekształcając to cudo, korzystając z równości \(\displaystyle{ \overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AX}}\), dostaniemy, że albo \(\displaystyle{ \left| \overrightarrow{AX}\right|=\left|\overrightarrow{AE} \right|}\) albo \(\displaystyle{ \left| \overrightarrow{AX}\right|\left|\overrightarrow{AE} \right|=\overrightarrow{AX} \cdot\overrightarrow{AE}}\), ale to drugie jest niemożliwe, bo to by oznaczało, że \(\displaystyle{ A,X,E}\) są współliniowe (wniosek z nierówności Schwarza). Operator \(\displaystyle{ \cdot}\) oznacza tu wszędzie standardowy iloczyn skalarny.

Powyższe rozwiązanie korzysta z wektorów, ale jest moim zdaniem nieeleganckie, a nawet trochę sztuczne- lepszego pomysłu nie mam

[VirtualUser]

Jeszcze jedno ciekawe:

W sklepie mamy do wyboru : kupić zmywarkę wartą \(\displaystyle{ 3200\,\mbox{zł}}\) za gotówkę , albo dokonać wpłaty \(\displaystyle{ 200\,\mbox{zł}}\) i potem płacić 24 raty miesięczne po \(\displaystyle{ 140\,\mbox{zł}}\). Zakładając, że roczna stopa procentowa w banku udzielającym kredytu ratalnego wynosi \(\displaystyle{ 12\%}\), oraz że odsetki kapitalizowane są miesięcznie, oceń, który ze sposobów zakupu jest korzystniejszy dla kupującego. Odpowiedź uzasadnij . Nie uwzględniaj podatku od odsetek lokat bankowych.