Matematyka.pl

Kluczem do rozwiązania jest następujący, elementarny fakt. Jeśli wielomian \(\displaystyle{ P}\) o najstarszym współczynniku dodatnim ma większy stopień niż wielomian \(\displaystyle{ Q}\), to dla wszystkich odpowiednio dużych \(\displaystyle{ x}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ P(x)>|Q(x)|}\).

Niech \(\displaystyle{ f(n)=n^3+an^2+bn+c}\) oraz Krótki rachunek pokazuje, że na mocy faktu, dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ m}\), zachodzą nierówności
Przypuśćmy dla dowodu nie wprost, że \(\displaystyle{ f(n)}\) jest kwadratem liczby całkowitej dla wszystkich naturalnych \(\displaystyle{ n}\). Wobec tego \(\displaystyle{ g(m)=(m^3-am)^2}\) dla wszystkich odpowiednio dużych \(\displaystyle{ m}\). To prowadzi do wniosku, że wielomiany \(\displaystyle{ g(m)}\) i \(\displaystyle{ (m^3-am)^2}\) są równe, gdyż przyjmują jednakową wartość dla nieskończenie wielu argumentów. Porównując ich współczynniki, otrzymamy \(\displaystyle{ b=c=0}\).
W takim razie \(\displaystyle{ f(n)=n^2(n+a)}\) i bez trudu znajdziemy liczbę \(\displaystyle{ n}\), dla której \(\displaystyle{ n+a}\), a zatem również \(\displaystyle{ f(n)}\), nie jest kwadratem.

...podstawienie \(\displaystyle{ n=m^2-a}\)? Chciałeś, żeby znikły ci wszystkie współczynniki większe niż \(\displaystyle{ m^2}\) ? Chętnie bym poznał twój tok rozumowania.

Zauważyłem, że \(\displaystyle{ f(n)=n^2(n+a)+bn+c}\). Jeśli teraz wybierzemy \(\displaystyle{ n}\) dla którego \(\displaystyle{ n+a}\) jest kwadratem, to \(\displaystyle{ f(n)}\) będzie się różnić od kwadratu liczby rzędu \(\displaystyle{ n^{3/2}}\) o liczbę rzędu \(\displaystyle{ n}\), czyli względnie niewiele.

Mój doktorant wymyślił fajną i adekwatną nazwę dla czegoś takiego: prawiekwadrat. Rozwiązując to zadanie, byłem parę miesięcy po recenzji jego pracy magisterskiej, w której używa podobnych technik w rozwiązywaniu równań typu \(\displaystyle{ y^2=f(x)}\). Można więc powiedzieć, że miałem ułatwione zadanie.

Każde rozwiązanie zero-jedynkowe równania
\(\displaystyle{ 1x_{1} + 2x_{2} + ... + nx_{n} = n}\)
odpowiada podziałowi liczby \(\displaystyle{ n}\) na różne składniki.
Tworzymy dla niego diagram Ferrersa.
Potem przekręcamy go o \(\displaystyle{ 180}\) stopni, zauważając że powstaje on przez sklejenie prostokątów o kolejnych wysokościach od \(\displaystyle{ 1}\) do iluś. Każdy taki prostokąt odpowiada jednemu ze składników \(\displaystyle{ ix_{i}}\) sumy tego samego równania, w którym \(\displaystyle{ x_{i}}\) są całkowite nieujemne i niezerowe do jakiegoś \(\displaystyle{ i}\), a potem są zerami, czyli rozwiązaniu drugiego równania z treści.
Utworzona bijekcja kończy rozwiązanie zadania.

Ciekaw jestem wzorcówki