LXV (65) OM - I etap.

[Ponewor]

Oto co wysłałem

1.:    

Po prostej redukcji danego w treści zadania warunku otrzymujemy zależność \(\displaystyle{ 3a+4b-5c=0}\), skąd otrzymujemy \(\displaystyle{ c=\frac{3a+4b}{5}}\). Po wstawieniu tego rezultatu do wyjściowego wyrażenia uzyskamy:
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}-c^{2}=a^{2}+b^{2}-\left(\frac{3a+4b}{5}\right)^{2}=a^{2}+b^{2}-\frac{9a^{2}}{25}-\frac{16b^{2}}{25}-\frac{24ab}{25}=\frac{16a^{2}}{25}+\frac{9b^{2}}{25}-\frac{24ab}{25}=\left(\frac{4a-3b}{5}\right)^{2}}\)
Pozostaje tylko pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{4a-3b}{5}}\) jest liczbą całkowitą, czyli, że \(\displaystyle{ 5\mid 4a-3b}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ 3c}\) jest liczbą całkowitą, czyli \(\displaystyle{ 5 \mid 3\left(3a+4b\right)}\), ponadto \(\displaystyle{ 5\mid 5a}\) i \(\displaystyle{ 5 \mid 15b}\). Biorąc to wszystko po uwagę, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ 5 \mid 3\left(3a+4b\right)-5a-15b=4a-3b}\), co należało udowodnić.

2.:    

Na początku musimy zdać sobie sprawę z paru faktów:

1. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki - \(\displaystyle{ \mathbb{NWD}\left(a, \ b\right)=1 \wedge b\mid ac \Rightarrow b\mid c}\)
2. Podstawa działania algorytmu Euklidesa - \(\displaystyle{ \mathbb{NWD}\left(a+b, \ b\right)=\mathbb{NWD}\left(a, \ b\right)}\)
3. Mamy równość - \(\displaystyle{ \mathbb{NWD}\left(ab-c, \ b\right)=\mathbb{NWD}\left(c, \ b\right)}\). Istotnie, mamy \(\displaystyle{ \mathbb{NWD}\left(ab-c, \ b\right)\stackrel{2}{=}\mathbb{NWD}\left(b\left(a-1\right)-c, \ b\right)\stackrel{2}{=}\ldots \stackrel{2}{=} \mathbb{NWD}\left(b\left(a-a\right)-c, \ b\right)=\mathbb{NWD}\left(-c, \ b\right)=\mathbb{NWD}\left(c, \ b\right)}\).
4. Zachodzi równość - \(\displaystyle{ \mathbb{NWD}\left(a, \ b, \ c\right)=\mathbb{NWD}\left(\mathbb{NWD}\left(a, \ b\right), \ c\right)}\)

Przystąpmy zatem do dzieła:
\(\displaystyle{ d&=\mathbb{NWD}\left(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a, \ ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}, \ a+b+c\right)\stackrel{4}{=} \\ &=\mathbb{NWD}\left(\mathbb{NWD}\left(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a, \
ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\right), \ a+b+c\right)\stackrel{2}{=} \\ &=\mathbb{NWD}\left(\mathbb{NWD}\left(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}, \ ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\right), \ a+b+c\right)=\\ &= \mathbb{NWD}\left(\mathbb{NWD}\left(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc, \ ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\right), \ a+b+c\right)\stackrel{4}{=}\\ &= \mathbb{NWD}\left(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc, \ a+b+c, \ ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\right)\stackrel{4}{=}\\ &= \mathbb{NWD}\left(\mathbb{NWD}\left(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc, \ a+b+c\right), \ ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\right)\stackrel{3}{=}\\ &=\mathbb{NWD}\left(\mathbb{NWD}\left(3abc, \ a+b+c\right), \ ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\right)\stackrel{4}{=}\mathbb{NWD}\left(3abc, \ a+b+c, \ ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\right) \mid 3abc}\)
Niech \(\displaystyle{ e=\mathbb{NWD}\left(abc, \ d\right)}\). Niech istnieje takie \(\displaystyle{ p}\), że \(\displaystyle{ p\mid e \wedge e \in \mathbb{P}}\). Wówczas \(\displaystyle{ p \mid e \wedge e \mid abc \Rightarrow p \mid abc}\). Liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) musi dzielić jedną z liczb \(\displaystyle{ a, \ b, \ c}\). Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że \(\displaystyle{ p \mid a}\), czyli \(\displaystyle{ a \equiv 0 \pmod{p}}\). Dla pozostałych możliwości można przeprowadzić zupełnie analogiczne rozumowanie. Mamy więc \(\displaystyle{ p \mid e \wedge e \mid d \wedge d \mid a+b+c \Rightarrow p \mid a+b+c}\). Mamy więc \(\displaystyle{ b\equiv \left(a+b+c\right)-a-c \equiv 0-0-c \equiv -c \pmod{p}}\). Ponadto \(\displaystyle{ p \mid e \wedge e \mid d \wedge d \mid ab^{2}+bc^{2}+ca^{2} \Rightarrow p \mid ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}\). Zatem \(\displaystyle{ 0 \equiv ab^{2}+bc^{2}+ca^{2} \equiv 0 \cdot b^{2}+ \left(-c\right)\cdot c^{2}+c \cdot 0^{2}\equiv -c^{3}}\), a zatem \(\displaystyle{ p \mid c}\) i \(\displaystyle{ b\equiv -c \equiv 0 \pmod{p}}\), a wiedzieliśmy, że \(\displaystyle{ p \mid a}\). Mamy więc sprzeczność, bo mamy dane \(\displaystyle{ \mathbb{NWD}\left(a, \ b, \ c\right)=1}\), zaś nie istnieją liczby pierwsze nie większe od jeden. Zatem \(\displaystyle{ e=1}\). Skoro \(\displaystyle{ \mathbb{NWD}\left(abc, \ d\right)=1 \wedge d\mid 3abc \stackrel{1}{\Rightarrow} d \mid 3}\). Zatem \(\displaystyle{ d \in \left\{1, \ 3\right\}}\). Teraz wystarczy położyć \(\displaystyle{ \left(a, \ b, \ c\right)=\left(2, \ 3, \ 4\right)}\), by przekonać się, że \(\displaystyle{ d=1}\), oraz \(\displaystyle{ \left(a, \ b, \ c\right)=\left(2, \ 5, \ 8\right)}\), by przekonać się, że \(\displaystyle{ d=3}\) i sformułować ostateczną odpowiedź, że \(\displaystyle{ d}\) jako jedyne wartości przyjmuje \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 3}\).

3.:    

Z literkami \(\displaystyle{ a, \ b, \ c}\) utożsammy cyfrę \(\displaystyle{ 1}\), zaś z literką \(\displaystyle{ d}\) utożsammy cyfrę \(\displaystyle{ 0}\). Zatem dopisywanie lub usuwanie palindromu jest pewną operacją na liczbie. Załóżmy, że w pewnym momencie otrzymaliśmy liczbę \(\displaystyle{ \overline{x_{n}x_{n-1}\ldots x_{2}x_{1}}}\), gdzie \(\displaystyle{ x_{i} \in \left\{0, \ 1\right\}}\). Jak powszechnie wiadomo, reszta z dzielenia tej liczby przez \(\displaystyle{ 11}\), to różnica sumy cyfr na miejscach o nieparzystych indeksach i sumy cyfr na miejscach o parzystych indeksach. Z własności tej, łatwo widać, że liczba reprezentowana przez dowolny palindrom jest podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\), oraz dopisane lub usunięcie palindromu nie zmienia reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 11}\) nowo powstałej liczby względem poprzedniej. Jest tak dlatego, że cyfry na miejscach o parzystych indeksach pozostają na miejscach o (często innych) parzystych indeksach i tak samo z cyframi na miejscach o nieparzystych indeksach (ten fakt gwarantowany jest przez parzystą długość palindromów), a cyfry wniesione do liczby przez palindrom, z punktu widzenia podzielności przez \(\displaystyle{ 11}\), się oczywiście redukują. Zatem wykonywanie operacji dopisywania lub usuwania palindromów nie zmienia reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 11}\). Tymczasem na starcie mieliśmy liczbę \(\displaystyle{ 1101}\), która daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) w dzieleniu przez \(\displaystyle{ 11}\), a na końcu mielibyśmy mieć liczbę \(\displaystyle{ 1110}\), która daje resztę \(\displaystyle{ 10}\) w dzieleniu przez \(\displaystyle{ 11}\), co jest wobec tego niemożliwe.

4.:    

4 om.png (23.59 KiB) Przejrzano 5146 razy

Ponieważ będziemy trochę rachować, zastosujmy standardowe oznaczenia długości boków i miar kątów w trójkącie. Ponadto niech \(\displaystyle{ A', \ B'}\) i \(\displaystyle{ C'}\) oznaczają spodki odpowiednich wysokości, a \(\displaystyle{ x}\) niech będzie długością odcinka \(\displaystyle{ FB}\) (w konsekwencji długość odcinka \(\displaystyle{ AF=c-x}\). Z twierdzenia sinusów w trójkącie \(\displaystyle{ \triangle FBE}\): \(\displaystyle{ \left|BE\right|=\frac{x}{\sin \angle BEF}\cdot \sin \angle EFB=\frac{x}{\sin \beta} \cdot \sin \left(180^{\circ}-2\beta\right)=\frac{x\sin 2\beta}{\sin\beta}=2x\cos\beta}\)
Analogicznie \(\displaystyle{ \left|AD\right|=2\left(c-x\right)\cos\alpha}\). Ze związków trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym mamy \(\displaystyle{ \left|BA'\right|=c\cos\beta}\), oraz \(\displaystyle{ \left|AB'\right|=c\cos\alpha}\). Z uwagi na to, że nie znamy kolejności położenia punktów \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ A'}\) na odcinku \(\displaystyle{ BC}\) (wiemy natomiast, że leżą na tym odcinku, z ostrokątności trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)), posłużymy się wartością bezwzględną:\(\displaystyle{ \left|EA'\right|=\left| \left|BA'\right|-\left|BE\right|\right|=\left|c\cos\beta-2x\cos\beta\right|=\left|c-2x\right|\cdot\left|\cos\beta\right|=\left|c-2x\right|\cdot\cos\beta}\) przy czym wartość bezwzględną opuściliśmy z uwagi na ostrokątność trójkąta i znak funkcji kosinus w odpowiedniej ćwiartce. Analogicznie \(\displaystyle{ \left|DB'\right|=\left|c-2x\right|\cdot\cos\alpha}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ c\neq 2x}\). Otóż \(\displaystyle{ \displaystyle \frac{\left|EA'\right|}{\left|DB'\right|}=\frac{\left|c-2x\right|\cdot\cos\beta}{\left|c-2x\right|\cdot\cos\alpha}=\frac{\cos\beta}{\cos\alpha}}\). Teraz zaczyna się ta syntetyczna część rozwiązania. Zauważmy, że trójkąty \(\displaystyle{ \triangle HBA'}\) i \(\displaystyle{ \triangle HAB'}\) mają po kącie prostym i wspólny kąt wierzchołkowy. To oznacza, że \(\displaystyle{ \triangle HBA' \sim \triangle HAB'}\). Mamy więc:\(\displaystyle{ \frac{\left|HA'\right|}{\left|HB'\right|}=\frac{\left|BA'\right|}{\left|AB'\right|}=\frac{c\cos\beta}{c\cos\alpha}=\frac{\cos\beta}{\cos\alpha}=\frac{\left|EA'\right|}{\left|DB'\right|}}\) a to w połączeniu z \(\displaystyle{ \angle HB'D = \angle HA'E=90^{\circ}}\), daje nam \(\displaystyle{ \triangle HB'D \sim \triangle HA'E}\) (cecha bkb). Stąd wnioskujemy równość kątów \(\displaystyle{ \angle A'HE= \angle B'HD}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ J}\) rzut prostokątny punktu \(\displaystyle{ H}\) na prostą \(\displaystyle{ DE}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \angle HA'E = \angle HJE = 90^{\circ}}\), oraz \(\displaystyle{ \angle HB'D = \angle HJD=90^{\circ}}\), to czworokąty \(\displaystyle{ HEA'J}\) i \(\displaystyle{ HDB'J}\) są cykliczne. Korzystając tego mamy otrzymujemy \(\displaystyle{ \angle A'JE = \angle A'HE = \angle B'HD = \angle B'JD}\). Wobec tego kąty \(\displaystyle{ \angle A'JE}\) i \(\displaystyle{ \angle B'JD}\) są wierzchołkowe, czyli punkty \(\displaystyle{ A', \ B'}\) i \(\displaystyle{ J}\) są współliniowe. Rzuty prostokątne punktu \(\displaystyle{ H}\) na boki trójkąta \(\displaystyle{ \triangle DEC}\) leżą na jednej prostej, a więc z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia o prostej Simsona punkt \(\displaystyle{ H}\) leży na okręgu opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ \triangle DEC}\), czyli teza. Pozostaje tylko rozważyć przypadek \(\displaystyle{ c=2x}\), czyli gdy \(\displaystyle{ \left|EA'\right|=\left|DB'\right|=0}\). Punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ A'}\), oraz \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ B'}\) pokrywają się, czyli rzut prostokątny punktu \(\displaystyle{ H}\) na prostą \(\displaystyle{ DE}\) jest rzutem prostokątnym na prostą \(\displaystyle{ B'A'}\) i znów z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia do twierdzenia o prostej Simsona otrzymujemy tezę.
Uwaga. W licznych publikacjach twierdzenie o prostej Simsona widnieje w postaci równoważności, tj. punkt leży na okręgu opisanym na trójkącie, wtedy i tylko wtedy, gdy jego rzuty prostokątne na boki tego trójkąta są współliniowe.

[bakala12]

Ponewor, Pierwsze trzy pięknie, w czwartym lekko przegiąłeś, ale to i tak nic w porównaniu do Vaxa, który przepałował to na zespolonych

[Ponewor]

uparłem się po prostu na starcie, że muszę to zrobić z prostej Simsona.
jest jeszcze jedno interesujące rozwiązanie

4.:    

Okrąg \(\displaystyle{ HCD}\) tnie \(\displaystyle{ AC}\) jeszcze w \(\displaystyle{ E'}\), proste \(\displaystyle{ AH}\) i \(\displaystyle{ BH}\) tną ten okrąg jeszcze w odpowiednio \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\). Proste \(\displaystyle{ PD}\) i \(\displaystyle{ QE'}\) tną się w \(\displaystyle{ F'}\). Z Pascala \(\displaystyle{ A, \ B, \ F'}\) są współliniowe. Teraz rachując trochę na kątach mamy, że \(\displaystyle{ \angle F'BD = \angle F'DB}\), czyli \(\displaystyle{ F'=F}\), oraz \(\displaystyle{ \angle FAE' = \angle FE'A}\) czyli \(\displaystyle{ E'=E}\) i koniec.

Jeszcze jest jedno fajne rozwiązanie, ale wierzę, że autor sam się pochwali
PS Rzućcie okiem na

[superus]

Wiecie może, czy w związku z tym, że wszyscy uczestnicy OM powinni zakładać swoje konto, to tym razem każdy z nich będzie widział na nim swoją punktację? Czy tak jak dotychczas tylko osoby, które przeszły do drugiego etapu?

[Marcinek665]

Cytat Ponewora 1.:    

Po prostej redukcji danego w treści zadania warunku otrzymujemy zależność \(\displaystyle{ 3a+4b-5c=0}\), skąd otrzymujemy \(\displaystyle{ c=\frac{3a+4b}{5}}\). Po wstawieniu tego rezultatu do wyjściowego wyrażenia uzyskamy:
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}-c^{2}=a^{2}+b^{2}-\left(\frac{3a+4b}{5}\right)^{2}=a^{2}+b^{2}-\frac{9a^{2}}{25}-\frac{16b^{2}}{25}-\frac{24ab}{25}=\frac{16a^{2}}{25}+\frac{9b^{2}}{25}-\frac{24ab}{25}=\left(\frac{4a-3b}{5}\right)^{2}}\)
Pozostaje tylko pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{4a-3b}{5}}\) jest liczbą całkowitą, czyli, że \(\displaystyle{ 5\mid 4a-3b}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ 3c}\) jest liczbą całkowitą, czyli \(\displaystyle{ 5 \mid 3\left(3a+4b\right)}\), ponadto \(\displaystyle{ 5\mid 5a}\) i \(\displaystyle{ 5 \mid 15b}\). Biorąc to wszystko po uwagę, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ 5 \mid 3\left(3a+4b\right)-5a-15b=4a-3b}\), co należało udowodnić.

Sądzę, że stwierdzenie: liczba wymierna podniesiona do kwadratu jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba wymierna jest całkowita, jest wystarczające. Chociaż można się zastanawiać, jak bardzo oczywiste będzie to stwierdzenie na tle tak prostego zadania.

[sympatyczny]

Wiadomo kiedy "firmowe" rozwiązania się pojawią?

[Htorb]

Prawdopodobnie pod koniec 3 serii, ale mogę się mylić.

[Ponewor]

Cytat Ponewora 1.:    

Po prostej redukcji danego w treści zadania warunku otrzymujemy zależność \(\displaystyle{ 3a+4b-5c=0}\), skąd otrzymujemy \(\displaystyle{ c=\frac{3a+4b}{5}}\). Po wstawieniu tego rezultatu do wyjściowego wyrażenia uzyskamy:
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}-c^{2}=a^{2}+b^{2}-\left(\frac{3a+4b}{5}\right)^{2}=a^{2}+b^{2}-\frac{9a^{2}}{25}-\frac{16b^{2}}{25}-\frac{24ab}{25}=\frac{16a^{2}}{25}+\frac{9b^{2}}{25}-\frac{24ab}{25}=\left(\frac{4a-3b}{5}\right)^{2}}\)
Pozostaje tylko pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{4a-3b}{5}}\) jest liczbą całkowitą, czyli, że \(\displaystyle{ 5\mid 4a-3b}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ 3c}\) jest liczbą całkowitą, czyli \(\displaystyle{ 5 \mid 3\left(3a+4b\right)}\), ponadto \(\displaystyle{ 5\mid 5a}\) i \(\displaystyle{ 5 \mid 15b}\). Biorąc to wszystko po uwagę, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ 5 \mid 3\left(3a+4b\right)-5a-15b=4a-3b}\), co należało udowodnić.

Sądzę, że stwierdzenie: liczba wymierna podniesiona do kwadratu jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba wymierna jest całkowita, jest wystarczające. Chociaż można się zastanawiać, jak bardzo oczywiste będzie to stwierdzenie na tle tak prostego zadania.

prawda, ale uświadomiłem to sobie na długo po wydrukowaniu rozwiązań
+jakbym miał pisać jak sugerujesz, to pewnie bym ten fakt uzasadniał, a to nie byłoby znacznie krótsze
+ kolejny bonus

1.:    

W ogólności możemy napisać, że \(\displaystyle{ 5 \mid 5a\left(3t+2\right)+5b\left(4t+1\right)-\left(3a+4b\right)\left(5t+2\right)=4a-3b}\), gdzie \(\displaystyle{ t \in \mathbb{Z}}\)

[Wojteg]

4 fajniutkie, reszta easy

[Pinionrzek]

Orientuje się ktoś może jaki był próg w tamtym roku w dolnośląskim?

[Ponewor]

Niewiele Ci to pomoże, ale na pewno \(\displaystyle{ \le 51}\)

[Vether]

Co do zadania 4...:

Ukryta treść:    

Kąty są już wyprowadzone, więc nie będę pisał wszystkiego od początku, bo jest to oczywiste...

Wystarczy teraz już tylko zauważyć, że \(\displaystyle{ \sphericalangle EMG= \sphericalangle ECG}\), więc na czworokącie \(\displaystyle{ MEGC}\) da się opisać okrąg. Podobnie \(\displaystyle{ \sphericalangle EMD=\sphericalangle ECD}\), więc na czworokącie \(\displaystyle{ MEDC}\) da się opisać okrąg. Ponieważ czworokąty te mają trzy wierzchołki wspólne, wnioskujemy, że na pięciokącie \(\displaystyle{ MEGDC}\) da się opisać okrąg, co jest równoważne tezie.

[timon92]

Vether, a skąd wiadomo że punkty \(\displaystyle{ M,C}\) leżą po tej samej stronie prostej \(\displaystyle{ EG}\)?

[Vether]

Można bez straty ogólności założyć, że tak jest, ponieważ w przeciwnym wypadku punkty \(\displaystyle{ N}\) i \(\displaystyle{ C}\) leżałyby po jednej stronie prostej \(\displaystyle{ GD}\) (a więc podobna sytuacja), co można pokazać, korzystając z faktu, że punkty \(\displaystyle{ D}\), \(\displaystyle{ E}\) pokrywają się ze spodkami wysokości, w sytuacji gdy obierzemy taki punkt \(\displaystyle{ F}\), że \(\displaystyle{ F}\) jest środkiem \(\displaystyle{ AB}\).

[Michalinho]

Gratuluję Wam rozwiązań. Mi niestety udało się zrobić tylko 1 i 4 z tym, że 4 trochę przegiąłem, ale pociesza mnie fakt, że i w zadaniu 2 i 3 szedłem w dobrą stronę. Biorąc pod uwagę to, że dopiero się uczę OM-owego myślenia to mam nadzieję, że jest OK. Ciach.