VI edycja Ogólnopolskiej Olimpiady "O Diamentowy Indeks AGH"

[xqwzts251]

Z tego co wiem to 2 godziny zegarowe.

To już za tydzień :/.

[dwumian]

Dzisiaj gadałem z moim nauczycielem, powiedział, że oni też nie mają info na ten temat, ale poprzednie lata było 2,5h.

[Mruczek]

Zawsze II etap i finał trwają 2 godziny zegarowe.

[dwumian]

Pojechałem na B i C podpunkcie prawdopodobieństwa i dziedzinie pierwiastka jako dodatnich, zamiast nieujemnych

Czy orientuje się ktoś kiedy należy się spodziewać wyników? Kiedy mniej więcej były w tamtym roku?

[Inven]

Czy mógłby ktoś zamieścić swoje rozwiązania?

[pehapx]

Moje rozwiązania:

ZADANIE 1:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ (5 \sqrt{2} - 7)^{x-1} = (5 \sqrt{2} + 7)^{3x}}\)

\(\displaystyle{ \frac{(5 \sqrt{2} - 7)^{x}}{(5 \sqrt{2} - 7)} = \frac{(5 \sqrt{2} + 7)^{4x}}{(5 \sqrt{2} + 7)^{x}}}\)

\(\displaystyle{ ((5 \sqrt{2} - 7)(5 \sqrt{2} + 7))^{x} = (5 \sqrt{2} - 7)(5 \sqrt{2} + 7)(5 \sqrt{2} + 7)^{4x-1}}\)

\(\displaystyle{ 1 = 1*(5 \sqrt{2} + 7)^{4x-1}}\)

\(\displaystyle{ 4x-1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{4}}\)

ZADANIE 2:

Ukryta treść:    

z własności trójkąta 30-60-90 wierzchołek ma \(\displaystyle{ 13\sqrt{3}}\), liczymy pola 4 trójkątów z pitagorasa (szkoda że kalkulatora nie można było mieć)

ZADANIE 3:

Ukryta treść:    

Założenie 1:
\(\displaystyle{ 2x-1 > 0 \Rightarrow x> \frac{1}{2}}\)

Założenie 2:
\(\displaystyle{ 5-3x > 0 \Rightarrow x< \frac{5}{3}}\)

Założenie 3:
\(\displaystyle{ log_{\pi^{-1}}(2x-1) - log_{\pi^{-1}}(5-3x) \ge 0}\)

\(\displaystyle{ log_{\pi^{-1}} \frac{(2x-1)}{(5-3x)} \ge log_{\pi^{-1}} 1}\)

\(\displaystyle{ \pi^{-1} < 1 \Rightarrow \frac{(2x-1)}{(5-3x)} \le 1}\)

\(\displaystyle{ 2x-1 \le 5-3x}\)

\(\displaystyle{ 5x \le 6}\)

\(\displaystyle{ x \le \frac{6}{5}}\)

Więc: \(\displaystyle{ x \in \left( \frac{1}{2} , \frac{6}{5} \right\rangle}\)

ZADANIE 4:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{3+6+9+...+3n}{ (2n+1)^{2}} = \frac{ \frac{3+3n}{2} *n}{ 4n^{2}+4n+1 } = \frac{3n^{2}+3n}{ 8n^{2}+8n+2} = \frac{n^{2}(3+ \frac{3}{n})}{ n^{2}(8+ \frac{8}{n} + \frac{2}{n ^{2} })}}\)

więc: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_{n} = \frac{3}{8}}\)

ZADANIE 5:

Ukryta treść:    

Dzielimy pisemnie i wychodzi: 111...111222...2225 = 25*444...8889, czyli 444...8889 musi być kwadratem liczby naturalnej, rozwiązanie tego krąży w sieci, nie wiedziałem jak skończyć.

ZADANIE 6:

Ukryta treść:    

Zauważamy, że trójkąt ABC jest prostokątny, a środkiem okręgu opisanego jest punkt (0,0), dalej w miarę prosto, tylko dużo liczenia

ZADANIE 7:

Ukryta treść:    

Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych \(\displaystyle{ O = 2^{n}}\) (za każdym razem wypada reszka lub orzełek).

Liczba zdarzeń, że reszka wypadła k razy to \(\displaystyle{ A = {n \choose k}}\) (wybieramy k miejsc na reszke spośród n, reszta to orzeł). P(A) = A/O

Prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie taką samą ilość razy jak reszka to dla liczb parzystych \(\displaystyle{ Z = \frac{n!}{ \frac{n}{2} * \frac{n}{2} }}\) (permutujemy ciąg R,R,R,...,O,O,O i wylkuczamy powtórzenia), a dla liczb nieparzystych 0. P(B)=(1-Z/O)/2

Liczba zdarzeń, że moneta nigdy nie upadła tą samą stroną dwa razy pod rząd to \(\displaystyle{ W = 2}\). P(C) = 1-W/O

[Marcinek665]

Ewentualnie można zauważyć, że

\(\displaystyle{ 5 \sqrt{2} - 7 = \frac{1}{5 \sqrt{2} + 7}}\) i wówczas już od razu mamy:

\(\displaystyle{ (5 \sqrt{2} - 7)^{x-1} = (5 \sqrt{2} + 7)^{3x}}\)

\(\displaystyle{ (5 \sqrt{2} - 7)^{x-1} = (5 \sqrt{2} - 7)^{-3x}}\)

\(\displaystyle{ x-1=-3x \Rightarrow x= \frac{1}{4}}\)

[Acros]

Czy jeśli nie wpadłem na to podstawienie i doszedzłem do postaci

\(\displaystyle{ x = \frac{1 }{ 1 - 3\log _{5 \sqrt{2}-7 } 5 \sqrt{2}+7 }}\)

to dostane maks , dostane cokolwiek ? jak się podstawi to co napisał kolega powyżej to wynik jest ok

[megie]

Wiecie może kiedy mniej więcej będą wyniki II etapu ?

[Mruczek]

1. \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)
2. \(\displaystyle{ P_{boczne} =110,5 \sqrt{3} +6 \sqrt{532} +2,5 \sqrt{651}}\) \(\displaystyle{ \left( cm^{2} \right)}\)
3. \(\displaystyle{ D_{f} =( \frac{1}{2}; \frac{6}{5}>}\)
4. \(\displaystyle{ \frac{3}{8}}\)
5. Ta liczba to \(\displaystyle{ 33...35 ^{2}}\) , jest tam \(\displaystyle{ n}\) "trójek"
6. \(\displaystyle{ P _{KLM} =12,5}\) \(\displaystyle{ \left( j^{2} \right)}\)
7. \(\displaystyle{ P(A)= \frac{{n \choose k} }{2 ^{n} }}\)
\(\displaystyle{ n}\) parzyste:
\(\displaystyle{ P(B)= \frac{1- {n \choose \frac{n}{2} } \cdot \frac{1}{2 ^{n} } }{2}}\)
\(\displaystyle{ n}\) nieparzyste:
\(\displaystyle{ P(B)= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ P(C)=1- \frac{1}{2 ^{n-1} }}\)

Potwierdzajcie!

[Szmidtu]

Jak myślicie jak się szanowna komisja odniesie do zrobienia zadania 6. z tw. o stycznych i siecznych?
Wynik wyszedl co prawda mało przyjemny o ile się gdzieś nie pomylilem bo pierwiastek pierwiastkiem podparty, a kalulatora nie ma :/

[Testo]

W zadaniu 7 w podpunkcie A bardzo opłacało się skorzystać ze schematu Bernoulliego, a w podpunkcie B z twierdzenia o najbardziej prawdopodobnej liczbie sukcesów w schemacie Bernoulliego - wyniki wychodziły jak na dłoni!

Co do zadania 1. wystarczyło skorzystać ze wzoru algebry elementarnej będącego przekształceniem wzoru skróconego mnożenia
\(\displaystyle{ a-b = \frac{a^{2}+b^{2} }{a+b}}\)
I policzyć \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=1}\), wtedy zadanie stało się banalnie proste.

@Mruczek: potwierdzam 1., 2., 3., 4., 7. - reszty moich wyników nie jestem pewien ^^

BARDZO nie rozumiem dlaczego Organizator nie udostępnił kalkulatorów prostych, szlag mnie trafił na liczenie tego wszystkiego, szczególnie przeraziły mnie pierwiastki w 2. zadaniu...

Życzę wszystkim uczestnikom upragnionych 70%!

Link do zadań:

[Errichto]

Potwierdzam wszystkie wyniki Mruczka, co do cyferki.

[Anna-po-prostu]

A jak zrobiliście zadanie 5.? Jedyne z którym nie zdążyłam sobie poradzić

[Acros]

Na zadanie 5 ja miałem 3 pomysły , ważne żeby zauważyć , że \(\displaystyle{ 11....122...225 =(33...35) ^{2}}\) np. \(\displaystyle{ 1225 = 35 ^{2}}\) i \(\displaystyle{ 112225=335 ^{2}}\) :

* Udowadniamy dla n , że lewa jest równa prawej
* Udowadniamy indukcyjnie
* Przekształcamy sobie lewą stronę w prawą korzystając z tego ,że \(\displaystyle{ 11...1 = \frac{10^{n} -1}{9}}\)

Ja zrobiłem tym trzecim