Kuratoryjne Konkursy Matematyczne dla gimnazjalistów 2010/11

[krysztalowa1]

dziękuje za pomoc -- 8 paź 2010, o 23:15 --ale co do tego pierwsze, bo ja w odp. mam że wyjdzie 256 cm ^2 , a z twojego zapisu tyle nie wychcodzi ;/

[mariolawiki1]

w pierwszym wychodzi \(\displaystyle{ 216 \sqrt{3}}\)
Vax podał prawidłowy sposób.

[Vax]

Podana przeze mnie metoda jest poprawna, po wyliczeniu powinnaś otrzymać \(\displaystyle{ P=216\sqrt{3}[cm^2]}\), być może w książce masz błąd.

Pozdrawiam.

[krysztalowa1]

Czyli bd :

p=3*12^2pierwiatków z 3 / 2 i to wyjdzie 216 . ?-- 9 paź 2010, o 08:49 --A z tym zadaniem 2 coś sie nie zgadza;/

Bo to wtedy bd, że x = 2

I wtedy bd :

3*2=6
5*2=10

i liczę już pole : 1/2(6+10)*16 = 128 cm^2

A w odp mam 256 cm ^2


A jedak to zad. 1 jest dobrze, bo pomyliłam odp. w zadaniam .

Ale nie wiem jak to 2 do końca zrobić, prosze o pomoc.

[bartek97]

Zadanie 6

Krotsza przekatna rownolegloboku o dlugosci 2 \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) cm tworzy z krotszym bokiem tego rownolegloboku kat prosty. Krotszy bok stanowi \(\displaystyle{ 66 \frac{2}{3}}\) % dluzszego boku . oblicz dlugosc drugiej przekatnej tego rownolegloboku.

Może mi ktoś ytlumaczyc krok po kroku jak bylo trzeba to zrobic?

[Vax]

@krysztalowa1, powinno wyjść \(\displaystyle{ x=2\sqrt{2}cm}\)

@bartek97, \(\displaystyle{ 66\frac{2}{3} \% =\frac{2}{3}}\)

Czyli podstawa ma x, a ramię \(\displaystyle{ \frac{2}{3}x}\)

Teraz liczymy z pitagorasa:

\(\displaystyle{ (2\sqrt{5})^2 + (\frac{2}{3}x)^2 = x^2}\)

Z tego wyliczamy, że x=6cm, a \(\displaystyle{ \frac{2}{3}x = 4cm}\), następnie drugi raz korzystamy z pitagorasa, i wyliczamy połowę dłuższej przekątnej:

\(\displaystyle{ y^2 = \sqrt{5}^2 + 4^2}\)

Wychodzi \(\displaystyle{ y=\sqrt{21}}\)

Aby otrzymać całą przekątną, mnożymy razy 2:

\(\displaystyle{ 2\cdot \sqrt{21}=2\sqrt{21}}\)

Mam nadzieję, że już rozumiesz


Pozdrawiam.

[bartek97]

Aha juz wiem jk to bylo trzeba zrobic lecz nie wiem jak obliczyc to 1 twierdzenie

\(\displaystyle{ (2\sqrt{5})^2 + (\frac{2}{3}x)^2 = x^2}\)

[Vax]

\(\displaystyle{ x^2-\frac{4x^2}{9}=20}\)

\(\displaystyle{ \frac{5x^2}{9}=20 /:5}\)

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{9}=4 /\cdot 9}\)

\(\displaystyle{ x^2=36}\)

Ponieważ x musi być dodatnie, jedyną odpowiedzią jest:

\(\displaystyle{ x=6}\)

Pozdrawiam.

[bartek97]

Aha dzięki juz mniej wiecej rozumiem.

Edit:Zna ktos jakas fajna ksiazke do potrenowania,najlepiej cos dla gimnazjum.

[Vax]

Na początku możesz porobić zadania z bukietów matematycznych, a później zalecałbym ,,krowę" (Zadania z matematyki dla olimpijczyków gimnazjalistów i licealistów).

Pozdrawiam.

[krysztalowa1]

A możem mi też wytłumaczyć to moje zad. 2 krok po kroku ?

[Vax]

Dobrze, mamy trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnych 3x i 3x, tak więc kąty tego trójkąta to 90, 45, 45. Wyliczamy z Twierdzenia Pitagorasa długość krótszej podstawy (b):

\(\displaystyle{ (3x)^2+(3x)^2=b^2}\)

\(\displaystyle{ 18x^2=b^2}\)

\(\displaystyle{ b=3\sqrt{2}x}\)

W ten sam sposób wyliczamy długość dłuższej podstawy:

\(\displaystyle{ (5x)^2+(5x)^2=a^2}\)

\(\displaystyle{ a=5\sqrt{2}x}\)

Czyli krótsza podstawa ma długość \(\displaystyle{ 3\sqrt{2}x}\) a dłuższa \(\displaystyle{ 5\sqrt{2}x}\), zauważ, że jak opuścimy wysokość trapezu przechodzącą przez punkt przecięcia przekątnych, to podstawy podzielą nam się na 2 równe części, dodatkowo należy zauważyć, że powstanie następny trójkąt prostokątny równoramienny i wysokość tego trójkąta będzie równa połowie długości danej podstawy Tak więc jak podzielimy długość dłuższej podstawy przez 2, otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{5\sqrt{2}x}{2}}\)

a po podzieleniu krótszej, otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{3\sqrt{2}x}{2}}\)

Jak wcześniej zauważyliśmy, są one zarazem wysokościami tych trójkątów, więc jak je dodamy, to otrzymamy wysokość trapezu:

\(\displaystyle{ \frac{5\sqrt{2}x}{2}+\frac{3\sqrt{2}x}{2} = \frac{8\sqrt{2}x}{2}=4\sqrt{2}x}\)

Teraz przyrównujemy to do 16:

\(\displaystyle{ 4\sqrt{2}x=16 /:4\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ x=2\sqrt{2}}\)

Teraz wyliczamy podstawy:

\(\displaystyle{ a=5\sqrt{2}x}\)

\(\displaystyle{ a=5\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2} = 20}\)

\(\displaystyle{ b=3\sqrt{2}x}\)

\(\displaystyle{ b=3\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=12}\)

Podstawiamy do wzoru i otrzymujemy pole

\(\displaystyle{ P = \frac{(20+12)\cdot 16}{2}}\)

\(\displaystyle{ P = 32\cdot 8}\)

\(\displaystyle{ P = 256[cm^2]}\)


Pozdrawiam.

[bartek97]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x^{2}= 25}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}x=25}\)

Co zle robie??
Wiem ze nie ten dzial ale nie wiedzialem gdzie to umiescic

[Vax]

Nie możesz tak przejść, masz:

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{2}=25 /\cdot 2}\)

\(\displaystyle{ x^2=50}\)

\(\displaystyle{ x=5\sqrt{2}}\)

Oczywiście zakładamy, że \(\displaystyle{ x>0}\)
Pozdrawiam.

PS. Na przyszłość pisz takie pytania w dziale ,,Przekształcenia Algebraiczne"

[bartek97]

\(\displaystyle{ x^2=50}\)

\(\displaystyle{ x=5\sqrt{2}}\)

Jak sie rozklada potegi np jak ty to wyzej zrobiles?