[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

[waral]

omg, wybaczcie - tak się kończą rozwiązania bez kartki ;p

[pawels]

Wydaje się że ufoludek ma \(\displaystyle{ 2^n}\) możliwych ścieżek do wyboru, ale jest to podejrzanie proste: na każdym etapie drogi może zawsze wykonać jedna z dwóch czynności- idzie albo w górę, albo w dół, lub jeśli jest na poddaszu albo w piwnicy to oczywiście zawraca, ale za to pije/nadaje sygnał na dwa możliwe sposoby.

Zadanie: udowodnij, że dla nieujemnych liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) mamy \(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^a\geq 2(ab^2+bc^2+ca^2)}\)

[Dumel]

\(\displaystyle{ 2 \sqrt{a^2 b \cdot b^3} \le a^2 b+b^3}\)
sumujemy 3 takie nierownosci i gotowe
co do ostatniego zadania to dosyć dawno je robiłem i wydawało mi sie ze odpowiedz byla inna ale to moze mi sie wydawało/przekrecilem tresc

o fajnie molu że wrzuciłeś zadanie za mnie bo nie mam żadnego pod ręką

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ a^3+ac^2 \geq 2a^2c}\) itd (pozostale dwie ) i dodac stronami


nowe: Rozwiazac w \(\displaystyle{ R \times R}\) uklad
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^4+y^2-xy^3- \frac{9}{8}x=0\\ y^4+x^2-x^3y- \frac{9}{8}y=0 \end{cases}}\)

[Piotr Rutkowski]

Jestem zbyt leniwy żeby pisać całe rozwiązanie, a zadanie już kiedyś widziałem...


Niech \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{n}}\) gdy \(\displaystyle{ x=\frac{m}{n} \ m,n\in \mathbb{Z} \ (m,n)=1 \ n>0}\)
oraz \(\displaystyle{ f(x)=0}\) dla pozostałych \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ 0}\).
Co można powiedzieć o granicach funkcji w punktach:
a)całkowitych
b)wymiernych
c)niewymiernych?
Pozdrawiam

[Dumel]

wszędzie granica 0.
weźmy sobie dowolną liczę rzeczywistą \(\displaystyle{ x}\) i dowolny ciąg \(\displaystyle{ (x_k) \to x}\)
jeśli w ciągu \(\displaystyle{ (x_k)}\) wystepuje tylko skończenie wiele liczb wymiernych to jego granica wynosi 0.
załóżmy że występuje w nim nieskończenie wiele liczb wymiernych. każda może wystąpić tylko skończoną liczbę razy. weźmy dowolną liczbę naturalną \(\displaystyle{ N}\).znajdziemy takiego epsilona >0 że dla dowolnej liczby wymiernej \(\displaystyle{ w}\) której mianownik jest nie większy niż \(\displaystyle{ N}\) będzie zachodzić \(\displaystyle{ |x-w|>\epsilon}\). wobec tego dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) mamy
\(\displaystyle{ n>k \Rightarrow |x-x_k|< \frac{1}{N}}\) czyli granica wynosi 0.

zanim wrzuce nastepne niech ktoś na to looknie bo z analizy jestem cienki

[Piotr Rutkowski]

Z dokładnością do zapisu jest na pewno dobrze (ostatnie zdanie wymaga tylko króciutkiego komentarza)
Powinieneś sobie bardziej wierzyć

[Dumel]

tam na końcu powinno być: \(\displaystyle{ n>k \Rightarrow f(x_k)< \frac{1}{N}}\)
nowe:
niech \(\displaystyle{ M=\{\sin n \ | \ n\in \mathbb{N} \}}\)
udowodnić że \(\displaystyle{ M}\) jest gęsty w \(\displaystyle{ [0,1]}\) tj. dla dowolnych dwóch \(\displaystyle{ p<q}\) z \(\displaystyle{ [0,1]}\) istnieje \(\displaystyle{ m \in M}\) takie że \(\displaystyle{ p<m<q}\)

[binaj]

i te 2 powyższe zadania mają być treningiem pod II etap?

[XMaS11]

To Dumela z pewnością.

[Dumel]

jak ktoś się wystraszył ostatnim zadaniem to dodam że to

Ukryta treść:    

śmiechowe przeformułowanie dobrze znanego lematu odnoszącego się do liczb \(\displaystyle{ \{n \alpha\}}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest niewymierne

[Zordon]

tam na końcu powinno być: \(\displaystyle{ n>k \Rightarrow f(x_k)< \frac{1}{N}}\)
nowe:
niech \(\displaystyle{ M=\{\sin n \ | \ n\in \mathbb{N} \}}\)
udowodnić że \(\displaystyle{ M}\) jest gęsty w \(\displaystyle{ [0,1]}\) tj. dla dowolnych dwóch \(\displaystyle{ p<q}\) z \(\displaystyle{ [0,1]}\) istnieje \(\displaystyle{ m \in M}\) takie że \(\displaystyle{ p<m<q}\)

mógłbym przepisać dowód, ale chyba nie ma takiej potrzeby, więc dam linka: 95111.htm

Zadanie ode mnie: wykazać, że jest nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\)

[smigol]

wprost z twierdzenia Dirichleta, ale chyba nie o to chodzi?
To znaczy, żeby jakoś elementarnie to pokazać?

[Django]

Zadanie ode mnie: wykazać, że jest nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci 4k+1

Można z ciężkiej armaty: twierdzeniem Erdosa - Czebyszewa. Mówi ono, że w dowolnym przedziale \(\displaystyle{ (n, 2n); n>6}\) istnieje co najmniej jedna liczba pierwsza postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) i jedna postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\). Wobec tego, ponieważ przedziałów jest nieskończenie wiele, to mamy od razu, że i liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) jest nieskończenie wiele.

Sympatyczna nierówność:
\(\displaystyle{ x,y,z \in R_{+}}\); \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2 = 1}\). Dowieść, że:
\(\displaystyle{ \frac{x}{1-x^2} + \frac{y}{1-y^2} + \frac{z}{1-z^2} \ge \frac{3 \sqrt{3} }{2}}\)
Pzdr

[mol_ksiazkowy]

Inna armata to tw Lejeune Dirichleta .
Ja tylko chcialem dopisac pro forma

Ukryta treść:    

(x,y)=(0,0) widac od razu. Niech \(\displaystyle{ x \neq 0 \neq y}\) tj
\(\displaystyle{ x^3-y^3-\frac{9}{8} =-\frac{y^2}{x}}\)
\(\displaystyle{ y^3-x^3-\frac{9}{8} =-\frac{x^2}{y}}\) , po + i - stronami uzyska sie

\(\displaystyle{ \frac{x^3+y^3}{xy}= \frac{9}{4}}\)
\(\displaystyle{ 2(x^3-y^3)=\frac{x^3-y^3}{xy}}\)
Jesli x=y to \(\displaystyle{ x=y=\frac{9}{8}}\) a jesli \(\displaystyle{ x \neq y}\) to \(\displaystyle{ xy=\frac{1}{2}}\)
prowadzi do \(\displaystyle{ (1, \frac{1}{2})}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{2}, 1)}\)