Matmix 2008/2009

[Dumel]

gotowi . za pare godzin jade do Warszawy więc już teraz wszystkim osobow z II kategorii życzę 2. miejsca . niech wygra najlepszy

[ironleaf]

Przyłączam się do życzeń:P
Ciekawe, co to się będzie jutro działo...
Do zobaczenia i niech wygra najlepszy!

[lukasz_650]

Ja także życzę wszystkim powodzenia oraz liczę na 1. miejsce któregoś z użytkowników forum
Do zobaczenia nie powiem, bo chociaż się dostałem, mnie tam nie będzie
Jeszcze raz - powodzenia!

[Sylwek]

Połamania pióra Oo

[Swistak]

Połamania pióra Oo

Połamania czerwonego cienkopisu .

[ironleaf]

Już po Matmixie...
Od nas z forum laureatami zostali Kasia, Świstak (2.), Gierol (3.), Sylwek(tych kojarzę), ja gdzieś tam na końcu też. W I kategorii wygrał znany w szeroko świecie Damian olimpijczyk, a w II (tu bez zaskoczenia;) ) SYLWEK, czy też, jak to przy innej okazji nazwano go na uroczystości, "pewien moderator pewnego forum"... Gratulacje dla wszystkich! (a zwłaszcza dla nagrodzonych laptopami Wojciecha i Sylwestra)

[abc666]

A jakie zadania były?

[snm]

W pierwszej kategorii tkrass był nr 6, ja byłem zaraz za dziesiątką (czyli wśród tych co plecaki dostali)

[tkrass]

Ja jestem szósty. Jeśli moje miejsca z kolejnych lat tworzą ciąg arytmetyczny to za dwa lata dostanę kalkulator

Z tego co ja się załapałem:
Sylwek - 1 miejsce
Swistak - 2 miejsce
*Kasia - 7 miejsce
snm - gdzieśtam dalej

którym szczególnie gratuluję

Po co Sylwkowi drugi laptop to ja nie wiem

[Swistak]

Ja jestem szósty. Jeśli moje miejsca z kolejnych lat tworzą ciąg arytmetyczny to za dwa lata dostanę kalkulator

A jeśli moje miejsca będą tworzyć ciąg arytmetyczny, to za 3 lata będę gdzieś w okolicach 90 miejsca na minusie .

P.S. A ja zgarnłem w tym roku jeszcze laptopik z Meridiana, więc też jak Sylwek i Damian mam 2 .
P.S.2. Pani organizator, która sukcesywnie dogląda tego tematu powiedziała nieoficjalnie, że Damian Orlef miał maxymalną liczbę punktów - 90 . Też liczyłem na maxa, ale najwyraźniej się gdzie walnąłem :/. Ale tam 2 miejsce nie jest źle .

[tkrass]

Co jest najważniejsze, a prawie o tym zapomniałem - dostałem ten super hiper długopis Casio, który się tak śmiesznie otwiera, taki sam jak w zeszłym roku. A skoro zmieniłem temat na nagrody, to jestem ciekaw, czy *Kasia ucina sobie pogawędki ze swoją inteligentną klawiaturą?

[smigol]

Gratuluję wszystkim )

[Swistak]

Podobno ta klawiatura także śpiewa, pływa i tańczy . Tak się śmiejemy, ale ja jestem ciekaw, co tak naprawdę robi ta klawiatura, bo brzmi interesująco .
tkrass - jakbyś zajął miejsce co rok temu, to też miałbyś taką klawiaturę .
No to chyba zbieramy ciekawsze zadania:
I kategoria:
Gracz A i B grają w taką grę. Mamy kupkę, w której jest n cukierków. Każdy gracz zabiera z niej 2 albo 3 cukierki. Gracz, który zabierze ostatni wygrywa. Pierwszy rusza się gracz A (drugi to gracz B). Jeżeli zostanie 1 cukierek, to mamy remis.
a) Jeżeli n=63, to strategię wygrywająca ma gracz A
b) Jeżeli n=630, to strategię wygrywająca ma gracz B
c) Jeżeli n=364, to strategię wygrywająca ma gracz A

Odpowiedź:    

Jeżeli n=63, to racz A zabiera 3 cukierki i dopełnia do 5. Jeżeli n=630, to gracz B dopełnia do 5. Jeżeli n=364, to jeżeli gracz A zabierze 2 cuksy, to gracz B zabierze 2 cuksy, a potem dopełnia do 5, więc gracz A musi zabrać 3 cuksy. Wtedy jeżeli gracz B zabierze 3 cuksy, to gracz A zabierze 3 cuksy i dopełnia do 5, a więc gracz B musi wziąć 2 cuksy. Tak z każdą kolejką ubyw 5 cuksów i na końcu zostaje 1 cuks, a więc remis.
a) T
b) T
c) N

Mamy prostokąt o szerokości 2 i długości 8. Na ile sposobów możemy go pokryć nierozróżnialnymi kostkami 1x2?
a) 14
b) 32
c) 34
(Nie pamiętam, czy były dokładnie takie odpowiedzi, ale ta dobra na pewno jest )

odpowiedz:    

Płytki możemy układać poziomo i pionowo. Jeżeli układamy je poziomo, to te 2 płytki muszą mieć cały wspólny bok, bo inaczej jak zostanie 1 kratka pod którymiś, to musi tam być inna pozioma itd. Prostokąt zapełniamy zatem pionowymi pojedynczymi płytkami i kwadratami złożonymi z 2 poziomych płytek. Mamy kilka przypadków.
Może być:
1) 8 pionowych płytek (1 sposób)
2) 6 pionowych płytek i 1 kwadrat (wyliczamy ilość sposobów ustawienia 7 elementów, z czego 6 jest takich samych, a więc mamy \(\displaystyle{ {7 \choose 1}=7}\) sposobów)
3) 4 pionowe płytki i 2 kwadraty (\(\displaystyle{ {6 \choose 2}=15}\) sposobów)
4) 2 pionowe płytki i 3 kwadraty (\(\displaystyle{ {5 \choose 3}=10}\) sposobów)
5) 4 kwadraty (1 sposób)
Razem mamy 34 sposoby.
a) N
b) N
c) T

Mamy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=x^{2}+\sqrt{x^4+1}+\frac{1}{x^{2}-\sqrt{x^{4}+1}}}\) określoną na liczbach rzeczywistych. Oblicz \(\displaystyle{ f(2009^{2010})}\).
Nie pamiętem możliwości, ale przecież one w tym zadaniu są nieważne.

Odpowiedź:    

Rozszerzamy ułamek przez \(\displaystyle{ x^{2}+\sqrt{x^{4}+1}\) i otrzymujemy, że dla dowolnego x mamy f(x)=0

Wypisujemy kolejno w ciągu cyfry kwadratów kolejnych liczb naturalnych: 1491625364964...
Która cyfra będzie stać na 100 miejscu?
a) 5
b) 7
c) 9

Odpowiedź:    

Kwadraty liczb od 1 do 3 mają jednocyfrowe kwaraty, które razem nam dają 3 cyfry do ciągu. Kwadraty liczb od 4 do 9 mają dwucyfrowe kwadraty, które razem nam dają 12 cyfr do ciągu.
Kwadraty liczb od 10 do 31 mają trzycyfrowe kwadraty, które razem nam dają 66 cyfr do ciągu.
Zatem liczby od 1 do 31 dają nam 81 cyfr do ciągu. Zostaje nam zatem 19 cyfr. Kolejne liczby mają 4-cyfrowe kwadraty (do pełnego rozwiązania trzeba pokazać, że ta cyfra nie będzie należeć do 5-cyfrowego kwadratu jakiejś liczby, ale to dość oczywiste ). Zatem owa 19 cyfra z kwadratów 4-cyfrowych, to będzie 3 cyfra kwadratu 5 liczby po 31. 5 liczbą po 31 jest 36. \(\displaystyle{ 36^{2}=1296}\). Zatem szukana cyfra, to 9.
a) N
b) N
c) T

Było ich jeszcze trochę może pododaję .

[Sylwek]

Gratki dla wyróżnionych i laureatów, mało brakło, aby Ostrowiec oba laptopy zgarnął . Mi się znowu wygrało . Fajnie było znowu spotkać znajome twarze

[XMaS11]

To zadanie z prostokątem 2x8 zrobiłem tak:
Niech \(\displaystyle{ f(n)}\) oznacza ilość możliwych pokryć prostokąta 2xn w wyżej opisany sposób.
Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ f(n)=f(n-1)+f(n-2)}\) (1 przypadek jeśli pierwszy od lewej prostokąt jest pionowo, a drugi jeśli pierwszy prostokąt od lewej jest poziomo)
\(\displaystyle{ f(1)=1,f(2)=2}\) zatem \(\displaystyle{ f(n)=F_{n+1}}\). (Odpowiedzi były \(\displaystyle{ 16,2^4,34}\))
Byłem 7 w swojej kategorii, nie liczyłem na pierwszą 20, więc nie będę narzekał.
Pozdro :s Gratki dla reszty, szczególnie dla Gierola