Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
kp1311 pisze:Nie ma potrzeby odwracać zwrotu dla a,b,c>1 się trzyma.
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{x^2+y^2}{x+y} } + 1 \le \sqrt{2} \sqrt{x+y}}\),dla \(\displaystyle{ x,y>1}\).
I to jest prawdziwe (Wolphram), teraz tylko trzeba to udowodnić.
No to tylko udowodnij i wrzuć nowe zadanie . I proponuję żeby ElusiveN napisał brakujące założenie tak jak miało być.
Dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y \geq 0}\) zachodzi \(\displaystyle{ \sqrt{a}+\sqrt{b} \leq \sqrt{2(a+b)}}\) (podnosimy obustronnie do kwadratu i zwijamy do kwadratu)
A zatem \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x+y} \leq \sqrt{2(x^2+y^2+x+y)}}\).
Wystarczy zatem udowodnić, że prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ \sqrt{2(x^2+y^2+x+y)} \leq \sqrt{2}(x+y)}\). Podnosimy równoważnie do kwadratu i dostajemy \(\displaystyle{ x+y \leq 2xy}\), co jest oczywiście prawdą, gdyż dla \(\displaystyle{ x,y \geq 1}\) mamy \(\displaystyle{ x \leq xy, y \leq xy}\).
Sumując 3 takie nierówności dla \(\displaystyle{ (x,y)=(a,b),(b,c),(c,a)}\) dostajemy tezę.
Dane są takie liczby dodatnie \(\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_n (n \geq 2)}\), że \(\displaystyle{ x_i \geq x_1+x_2+...+x_{i-1}}\) dla \(\displaystyle{ i=2,3,...,n}\).
Wykazać, że zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+...+\frac{x_{n-1}}{x_n} \leq \frac{n}{2}}\).
Ostatnio zmieniony 13 lut 2011, o 11:55 przez LisuBB, łącznie zmieniany 1 raz.
Ponieważ \(\displaystyle{ x \ge 1}\), to \(\displaystyle{ \frac{y}{2y-1} \le 1}\)(po wymnożeniu otrzymamy \(\displaystyle{ x \ge 1}\)). Zatem \(\displaystyle{ x \ge 1 \ge \frac{y}{2y-1}}\), czyli \(\displaystyle{ x(2y-1) \ge y}\), skąd \(\displaystyle{ 2xy \ge x+y}\). Zatem \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2} +\sqrt{x+y} \le \sqrt{x^2+y^2} +\sqrt{2xy}}\), co ze średniej arytmetycznej i kwadratowej jest mniejsze lub równe \(\displaystyle{ \sqrt{2}(x+y)}\). Zatem \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2} +\sqrt{x+y} \le \sqrt{2}(x+y)}\). Dzielimy obustronnie przez \(\displaystyle{ \sqrt{x+y}}\) i otrzymujemy to, co mieliśmy otrzymać.
Nowe: \(\displaystyle{ a_1,\dots,a_n}\) są dodatnie. Definiujemy \(\displaystyle{ A= \frac{a_1+\dots+a_n}{n}}\), \(\displaystyle{ G= \sqrt[n]{a_1+\dots+a_n}}\), \(\displaystyle{ H= \frac{n}{ \frac{1}{a_1}+\dots+ \frac{1}{a_n} }}\). Udowodnić:
a)Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, to \(\displaystyle{ \frac{A}{H} \le -1+2( \frac{A}{G} )^n}\)
a)Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ \frac{A}{H} \le - \frac{n-2}{n} +2 \frac{n-1}{n} ( \frac{A}{G} )^n}\)
Ja tu piszę, a LisuBB mnie uprzedził
LisuBB pisze:
Dane są takie liczby dodatnie \(\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_n (n \geq 2)}\), że \(\displaystyle{ x_i \geq x_1+x_2+...+x_{i-1}}\) dla \(\displaystyle{ i=2,3,...,n}\).
Wykazać, że zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+...+\frac{x_{n-1}}{x_n} \leq \frac{n}{2}}\).
timon92 pisze:nowe:
LisuBB napisał(a):
Dane są takie liczby dodatnie x_1,x_2,...,x_n (n geq 2), że
x_i geq x_1+x_2+...+x_{i-1} dla i=2,3,...,n.
Wykazać, że zachodzi nierówność
frac{x_1}{x_2}+frac{x_2}{x_3}+...+frac{x_{n-1}}{x_n} leq frac{n}{2}.
Jeśli ktoś uporałby się z tym wcześniej to pewnie już od kilku miesięcy moglibyśmy podziwiać dowód, podaję więc link do rozwiązania
... n#p2220589
Tymczasem wrzucam nowy problem z którym nie potrafiłem się uporać podczas ostatniej pięciogodzinówki (mile widziane rozwiązania bez indukcji :f):
Mamy równanie jednorodne stopnia zero czy zatem błędem jest przyjęcie że \(\displaystyle{ 1= \frac{( \sum_{i=1}^{n}a_ia_{i+1} )^2}{ \sum_{i=1}^{n}(a_i^2+a_{i+1}+a_{i+2})}}\), chyba nie ?
pozwolę sobie pokazać szkic swojego rozwiązania nierówności LisaBB (mam nadzieję, że bez usterek):
niech \(\displaystyle{ a_i =\frac{x_1+x_2+...+x_i}{x_{i+1}}}\), wówczas \(\displaystyle{ 1\ge a_i}\) a nierówność można przepisać tak: \(\displaystyle{ a_1+\frac{a_2}{a_1+1}+\frac{a_3}{a_2+1}+...+\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}+1} \le \frac n2}\) i rozważając funkcję postaci \(\displaystyle{ kx+\frac l{x+1}}\) w przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\) (dla odpowiednich k,l) można dojść do tego, że maksimum jest osiągane dla \(\displaystyle{ x=1}\). Stąd prosto otrzymać wyjściową nierówność.-- 21 kwietnia 2011, 21:06 --rozwiązanie bez indukcji
Ukryta treść:
Niech \(\displaystyle{ a_i=\frac{x_i}{x_{i+1}}}\). Wówczas nierówność można przepisać jako \(\displaystyle{ 1\le \sum \frac{1}{a_i^2a_{i+1}+1}}\). Przyjmując teraz \(\displaystyle{ b_i=a_i^2a_{i+1}}\) mamy \(\displaystyle{ \prod b_i=1}\) i chcemy pokazać że \(\displaystyle{ 1\le \sum \frac{1}{b_i+1}}\). Łatwo zauważyć że istnieją dwa różne indeksy k, l takie że \(\displaystyle{ b_kb_l \le 1}\). Mamy więc \(\displaystyle{ \sum \frac {1}{b_i+1} \ge \frac {1}{b_k+1}+\frac{1}{b_l+1} = 1 + \frac{1-b_kb_l}{(b_k+1)(b_l+1)} \ge 1}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x \ge 1}\), to \(\displaystyle{ \frac{y}{2y-1} \le 1}\)(po wymnożeniu otrzymamy \(\displaystyle{ x \ge 1}\)). Zatem \(\displaystyle{ x \ge 1 \ge \frac{y}{2y-1}}\), czyli \(\displaystyle{ x(2y-1) \ge y}\), skąd \(\displaystyle{ 2xy \ge x+y}\). Zatem \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2} +\sqrt{x+y} \le \sqrt{x^2+y^2} +\sqrt{2xy}}\), co ze średniej arytmetycznej i kwadratowej jest mniejsze lub równe \(\displaystyle{ \sqrt{2}(x+y)}\). Zatem \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2} +\sqrt{x+y} \le \sqrt{2}(x+y)}\). Dzielimy obustronnie przez \(\displaystyle{ \sqrt{x+y}}\) i otrzymujemy to, co mieliśmy otrzymać.
Nowe: \(\displaystyle{ a_1,\dots,a_n}\) są dodatnie. Definiujemy \(\displaystyle{ A= \frac{a_1+\dots+a_n}{n}}\), \(\displaystyle{ G= \sqrt[n]{a_1+\dots+a_n}}\), \(\displaystyle{ H= \frac{n}{ \frac{1}{a_1}+\dots+ \frac{1}{a_n} }}\). Udowodnić:
a)Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, to \(\displaystyle{ \frac{A}{H} \le -1+2( \frac{A}{G} )^n}\)
a)Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ \frac{A}{H} \le - \frac{n-2}{n} +2 \frac{n-1}{n} ( \frac{A}{G} )^n}\)
Ja tu piszę, a LisuBB mnie uprzedził
KPR pisze:
Nowe: \(\displaystyle{ a_1,\dots,a_n}\) są dodatnie. Definiujemy \(\displaystyle{ A= \frac{a_1+\dots+a_n}{n}}\), \(\displaystyle{ G= \sqrt[n]{a_1+\dots+a_n}}\), \(\displaystyle{ H= \frac{n}{ \frac{1}{a_1}+\dots+ \frac{1}{a_n} }}\). Udowodnić:
a)Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, to \(\displaystyle{ \frac{A}{H} \le -1+2( \frac{A}{G} )^n}\)
a)Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ \frac{A}{H} \le - \frac{n-2}{n} +2 \frac{n-1}{n} ( \frac{A}{G} )^n}\)
Podkładając \(\displaystyle{ a_1=a_2= \ldots = a_n=1}\) dostajemy w p-pkcie a jak i b: \(\displaystyle{ 1 \le \frac{1}{n}}\) czyli skuchę \(\displaystyle{ \forall n>1}\)
Miało być raczej \(\displaystyle{ G= \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n}}\)
KPR pisze:
Nowe: \(\displaystyle{ a_1,\dots,a_n}\) są dodatnie. Definiujemy \(\displaystyle{ A= \frac{a_1+\dots+a_n}{n}}\), \(\displaystyle{ G= \sqrt[n]{a_1+\dots+a_n}}\), \(\displaystyle{ H= \frac{n}{ \frac{1}{a_1}+\dots+ \frac{1}{a_n} }}\). Udowodnić:
a)Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, to \(\displaystyle{ \frac{A}{H} \le -1+2( \frac{A}{G} )^n}\)
a)Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ \frac{A}{H} \le - \frac{n-2}{n} +2 \frac{n-1}{n} ( \frac{A}{G} )^n}\)
Podkładając \(\displaystyle{ a_1=a_2= \ldots = a_n=1}\) dostajemy w p-pkcie a jak i b: \(\displaystyle{ 1 \le \frac{1}{n}}\) czyli skuchę \(\displaystyle{ \forall n>1}\)
Miało być raczej \(\displaystyle{ G= \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n}}\)
