[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

[LisuBB]

Jest ok, tylko taka mała uwaga, miała być największa wartość \(\displaystyle{ k}\) a nie wszystko możliwe wartości, więc ostateczną odpowiedzią jest \(\displaystyle{ k=100}\) a nie \(\displaystyle{ k \leq 100}\).

[smigol]

Jak dla mnie to trzebaby jeszcze pokazać, że dla k>100 nierówność nie zachodzi. Dopiero wtedy będziemy wiedzieli, że to k jest maksymalne.

[ElusiveN]

Ukryta treść:    

Pojedziemy Karamatą.

Funkcja \(\displaystyle{ f(x) = sin(x)}\), która jest wklęsła.

Zauważmy, że zachodzi:

\(\displaystyle{ \left( \frac{\pi}{2} , 0 , 0\right) \succ \left( x , y , z \right) \succ \left( \frac{\pi}{6} , \frac{\pi}{6} , \frac{\pi}{6} \right)}\)

Więc \(\displaystyle{ 1 = sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + sin(0) + sin(0) \le sin(x) + sin(y) + sin(z) \le 3sin\left( \frac{\pi}{6} \right)= \frac{3}{2}}\)

Nowe:

Mamy takie \(\displaystyle{ a,b,c \in <-1;1>}\), że \(\displaystyle{ 1 +2abc \ge a^{2}+b^{2}+c^{2}}\)

Udowodnij, że:

\(\displaystyle{ 1+2\left( abc\right) ^{n} \ge a^{2n} + b^{2n} + c^{2n}}\)

dla każdego naturalnego n.

[smigol]

ElusiveN, nie uważasz, że najpierw trzeba skończyć jedno zadanie, potem robić zaległe, a już na samym końcu wrzucać kolejne?

[ElusiveN]

Nie wiem, czy komukolwiek będzie się chciało doprecyzowywać wcześniejszą nieścisłość, a szkoda, żeby temat leżał martwy - w końcu zbliżają się zawody okręgowe. Dlatego jeśli nikt nie ma nic przeciwko, to rzucę nierówność. Bardzo nadaje się na drugi etap. Proszę, żeby rozwiązanie napisała osoba, która jej nie zna, bo dam głowę, że wiele osób kojarzy tą nierówność.

Liczby dodatnie \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniają warunek: \(\displaystyle{ ab+bc+ca=abc}\). Dowieść, że:

\(\displaystyle{ \frac{a^4+b^4}{ab\left ( a^3 + b^3 \right )} + \frac{b^4+c^4}{bc\left ( b^3 + c^3 \right )}+\frac{c^4+a^4}{ca\left ( c^3 + a^3 \right )} \ge 1}\)

[justynian]

z warunku jest \(\displaystyle{ 1= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}\)

zachodzi też:
\(\displaystyle{ \frac{a^4+b^4}{ab\left ( a^3 + b^3 \right )} \ge \frac{1}{2}(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})}\)

bo zwija się to do:

\(\displaystyle{ \frac{(a-b)^2(a^2+ab+b^2)}{ab(a^3+b^3)} \ge 0}\)
po zsumowaniu pozostałych 2 permutacji mamy tezę.

Kolejne:
a,b,c dodatnie udowodnij:

\(\displaystyle{ a^bb^cc^a \le (\frac{a+b+c}{3})^{a+b+c}}\)

[LisuBB]

Ukryta treść:    

Logarytmujemy i dostajemy do udowodnienia
\(\displaystyle{ b ln a + c ln b + a ln c \leq (a+b+c) ln (\frac{a+b+c}{3})}\)

Z Jensena dla funkcji \(\displaystyle{ f(x)=ln x}\) mamy
\(\displaystyle{ \sum \frac{b}{a+b+c} f(a) \leq f(\frac{ab+bc+ca}{a+b+c})}\)
czyli równoważnie
\(\displaystyle{ b ln a + c ln b + a ln c \leq (a+b+c) ln (\frac{ab+bc+ca}{a+b+c})}\)
ponadto zachodzi \(\displaystyle{ \frac{ab+bc+ca}{a+b+c} \leq \frac{a+b+c}{3}}\) (po wymnożeniu łatwo się zwija do kwadratów), zatem \(\displaystyle{ b ln a + c ln b + a ln c \leq (a+b+c) ln (\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}) \leq (a+b+c) ln (\frac{a+b+c}{3})}\), c.n.d

\(\displaystyle{ a,b,c \in R_+, a^2+b^2+c^2=1, n \in Z, n>1 \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{1-a^n}+\frac{b}{1-b^n}+\frac{c}{1-c^n} \geq \frac{(n+1)^{1+\frac{1}{n}}}{n}}\)

[ElusiveN]

Mocno przygrzałeś

Ukryta treść:    

Ze średniej arytmetycznej i geometrycznej ważonej:

Wobec jednorodności \(\displaystyle{ a+b+c=1}\)

\(\displaystyle{ a ^{b} b ^{c}c ^{a} \le ab+bc+ca = \frac{ab+bc+ca}{a+b+c} \le \frac{a+b+c}{3} = \left( \frac{a+b+c}{3}\right)^{a+b+c}}\) i już xD

Nowa nierówność jest trudna.

[ElusiveN]

Nierówności nikt nie zrobił, a szkoda tematu, więc rozwiązanie można znaleźć tutaj:
... 0#p2161480

Nowe, teraz poziom 2 etapu.

\(\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb{R}_{+}}\)

\(\displaystyle{ \[ \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}}+\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}}+\sqrt{\frac{c^{2}+a^{2}}{c+a}}+3\leq\sqrt{2}\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right) \]}\)

[kp1311]

Kładziemy \(\displaystyle{ a=b=c}\) i otrzymujemy: \(\displaystyle{ 3 \sqrt{a} + 3 \le \sqrt{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{2a}}\) czyli \(\displaystyle{ 1 \le \sqrt{a}}\).

[Taarion]

Nowe, teraz poziom 2 etapu.

\(\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb{R}_{+}}\)

\(\displaystyle{ \[ \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}}+\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}}+\sqrt{\frac{c^{2}+a^{2}}{c+a}}+3\leq\sqrt{2}\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right) \]}\)

jeżeli weźmie się a,b,c = 1/100 to lewa strona w dalszym ciągu jest większa od 3 a prawa jest super mała. Więc chyba brakuje jakiegoś założenia.

[kp1311]

Stawiam ze dodatkowe założenie to \(\displaystyle{ a,b,c>1}\).

[justynian]

fail ...., i mówię tutaj tej nierówności

[Django]

Nawet gdy odwrócimy zwrot, to dalej jest bania:
podstawiając a=b=c dostaniemy \(\displaystyle{ \sqrt{a} + 1 \ge 2 \sqrt{a}}\) - zsumowane 3 razy - ja już to rozdzielam. Nierówność zachodzi dla \(\displaystyle{ a<1}\)... to by mogło być naszym założeniem - ale dla a=5 i b=3 (nie wprowadzam c) nierówność też zachodzi xD

[kp1311]

Nie ma potrzeby odwracać zwrotu dla a,b,c>1 się trzyma.

\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{x^2+y^2}{x+y} } + 1 \le \sqrt{2} \sqrt{x+y}}\),dla \(\displaystyle{ x,y>1}\).
I to jest prawdziwe (Wolphram), teraz tylko trzeba to udowodnić