Studium Talent - Politechnika Wrocławska 2007 - 2008

[Marvin]

SPQR, masz zupełną rację - miało tak wyjść i wyszło
Źle przepisałem tutaj wynik, mam tak samo.

[RunToHome]

w 2 w grupie A wychodzi -cos2x/2 + sin2x/4

[arbuzik90]

a nie wiecie może kiedy i gdzie będą ogłoszone wyniki z tego egzaminu?

[Marvin]

RunToHome, zjadłeś x przed cosinusem

\(\displaystyle{ \frac{-xcos2x}{2} + \frac{sin2x}{4}}\)

arbuzik90, 10 marca na stronie w zakładce Studium Talent.

[RunToHome]

tak zjadlem, ale chodzilo mi o plusa przed sinusem tylko xD

[SPQR]

Mam pytanie co do 6 dla grupy A, mianowicie nie wiem czy to dobrze rozpisałem, zrobiłem tak:

Sn=[(1/2)*1/2 + (1/2)*1/n +(1/2)*1/n +...+(1/2)*1/n] = 1/2 ----> 1/2
sn=[(-1)*1/n + (-1)*1/n +...+(-1)*1/n] = -1 ---->-1

Sn
eq sn funcja nie jest całkowalna
aha przpomiało mi się że chyba zrobiłem lekka gafe w tym 1, końcowy wynik z rozpędu rozpisałem w ten sposób:
-cosx^3/3 + cosx^5/5 + c :/, ciekawe czy mi to uzna, w końcu myślenie miałem dobre

[reniaa007]

Witam Was:)
Mam pytanie do uczestników Tanentu. Jestem w 2 klasie liceum. Matme mam w podstawie ale maetematyczka często rozszerza nam materiał. Myślicie że dałabym radę na wykładach w przyszłym roku czy lepiej dać sobie spokój? Może orientujecie się jak radzą sobie sudenci polibudy po podstawowej matmie?
I jeszcze jedno- jak wygląda sprawa z punktami za Talent?:)
Czekam na odp. Z góry dzięki!

[SPQR]

Jeżeli będziesz sumiennie uczęszczać na wykłady to oczywiście że zaliczysz. Ja ze swojej strony polecam dr Górniaka, ze względu na znakomity sposób prowadzenia zajęć:). Nie ma co się zastanawiać, jeżeli masz program w podstawie to tym bardziej musić iść na Talent, dzięki czemu będzie łatwiej na studiach.
w tym roku punkty wyglądały następująco (jeżeli się pomyle to nie bijcie):
3 bądź 3,5 = 30 punktów
4 bądź 4,5 = 40 punktów
5 lub wyżej = 50 punktów lub indeks na WPPT

ps. czy ktoś z tegorocznych talentowiczów mógłby odpowiedzieć na mojego wcześniejszego posta ?

[Marvin]

SPQR, jeśli chodzi o 6 zadanie, to chyba jest dobrze. Ja to tak samo rozpisałem

[RunToHome]

SPQR

powinien uznac-- 1 marca 2009, 23:42 --Reeenia007, jak zdajesz na podstawie Mat, to praktycznie oplaca sie isc tylko do Gorniaka, bo najlepiej tlumaczy, ale osobiscie proponuje zalatwic sobie jakies korki w wakacaje, zeby Ci ktos wytlumaczyl pochodne + calki (chocby same podst) i znajdz sobie w necie internetowe wyklady, bo mimo ze stare to praktycznie nic sie nie zmienilo.

Pozdrawiam

[reniaa007]

Dziękuję za pomoc:)
W poniedziałek zapisałam się na korki z matmy, myślę że będzie ok:) Kurcze, coraz bardziej zalezy mi na polibudzie xDD
Może orientujecie się kiedy sie zaczynają i jak długo trwaja?

[Gietz]

No to po kolokwium.
Zadania miałem na żółtej kartce, oto one:
5. Wyznaczyć funkcję \(\displaystyle{ F(x)= \int_{-1}^{x} |t| \mbox{d}t}\) na odcinku <-1;1>

Mi w piątym wyszło:

\(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases} \frac{x^{2}-1}{2}, x \in <0;1>\\ \frac{-x^{2}+1}{2}, x \in <-1;0) \end{cases}}\)

Szykuję się do kolokwium, czy rozwiązanie jest poprawne? Mi wychodzi
\(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases} \frac{x^{2}+1}{2}, x \in <0;1>\\ \frac{-x^{2}+1}{2}, x \in <-1;0) \end{cases}}\), różnica jest w plusie lub minusie na przedziale <0,1>, które rozwiązanie jest dobre?

[Vath'Ras]

Ty masz dobrze, w obu przypadkach powinno być \(\displaystyle{ + \frac{1}{2}}\), a Marvin ma źle. Zresztą, wystarczy sobie narysować \(\displaystyle{ \left|t\right|}\) i funkcję \(\displaystyle{ F(x)}\) na tym samym wykresie i sprawdzić na oko czy \(\displaystyle{ F(x)}\) faktycznie wskazuje pole pod wykresem \(\displaystyle{ \left| t \right|}\).

E: A zresztą:

dobrze:


źle (Marvin):

_____________________________________________________________________________
E2:
Jupi! Maxa nie miałem, ale 6/7 zadań zrobiłem.
Rozwiązania przytoczę (Grupa A, żółta):

1. Obliczyć \(\displaystyle{ \int_{}^{} x \sin \frac{x}{3} \mbox{d}x}\) (przez części)
Rozw: \(\displaystyle{ = \int_{}^{} x (-3\cos \frac{x}{3})' \mbox{d}x= -3x\cos \frac{x}{3} +3 \int_{}^{} \cos \frac{x}{3} \mbox{d}x = -3x\cos \frac{x}{3} +9\sin \frac{x}{3}}\)

2. Obliczyć \(\displaystyle{ \int_{}^{} \sin ^{3}x \cos^{6}x \mbox{d}x}\) (przez podstawienie)
Rozw: \(\displaystyle{ = \int_{}^{} \sin x \sin^{2}x \cos^{6}x \mbox{d}x= \int_{}^{} \sin x (1-\cos^{2}x) \cos^{6}x \mbox{d}x =}\)
Podstawienie: \(\displaystyle{ t = \cos x, -\mbox{d}t = \sin x \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ = -\int_{}^{} (1-t^{2})t^{6} \mbox{d}t = - \int_{}^{} (t^{6} - t^{8}) \mbox{d}t = \frac{t^{9}}{9} - \frac{t^7}{7} = \frac{\cos^{9}}{9} - \frac{\cos^7}{7}}\)

3. Obliczyć objętość bryły obrotowej powstałej po obrocie dookoła OX trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresami funkcji \(\displaystyle{ y= \sqrt{ \frac{\ln x}{(1+\ln^{2}x)x} }}\), x=1, x=e i osią OX

To było troszkę bardziej wymagające

Rozw: \(\displaystyle{ \pi \int_{1}^{e} \sqrt{ \frac{\ln x}{(1+\ln^{2}x)x} } ^{2} \mbox{d}x = \pi \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{(1+\ln^{2}x)x} \mbox{d}x=}\)
Podstawienie: \(\displaystyle{ t = \ln x, \mbox{d}t = \frac{\mbox{d}x}{x}}\)
= \(\displaystyle{ \pi\int_{0}^{1} \frac{t}{1+t ^{2} } \mbox{d}t = \frac{1}{2} \pi\int_{0}^{1} \frac{(1+t^{2})'}{1+t^{2}} \mbox{d}x = \frac{1}{2} \pi\ln(1+1^{2}) = \frac{\pi\ln2}{2}}\)

4. Obliczyć pochodne funkcji (prezencik od Górniaka)
a) \(\displaystyle{ y = \sin 2x}\)
b) \(\displaystyle{ y = \sqrt[3]{x^{2}}}\)
c) \(\displaystyle{ y = \ln \sqrt{x}}\)
d) \(\displaystyle{ y = \cos(\ln\tgx)}\)
e) \(\displaystyle{ y = (x^{2} + 3x)e^{3x}}\)

Rozw:
a) \(\displaystyle{ (\sin 2x)'=2\cos 2x}\)
b) \(\displaystyle{ (\sqrt[3]{x^{2}})' = (x ^{ \frac{2}{3} })' = \frac{2}{3} x ^{- \frac{1}{3} }}\)
c) \(\displaystyle{ (\ln \sqrt{x})' = (\ln x ^{ \frac{1}{2} })' = \frac{1}{2x}}\)
d) \(\displaystyle{ (\cos(\ln\tgx))'=-\sin(\ln\tgx) \frac{1}{\tgx} \frac{1}{\cos^{2}x}}\)
e) \(\displaystyle{ ((x^{2} + 3x)e^{3x})' = (2x+3)e^{3x}+(x^{2} + 3x)3e^{3x}}\)

5. Korzystając z definicji obliczyć \(\displaystyle{ \int_{0}^{2} x \mbox{d}x}\) (zakładając że \(\displaystyle{ f(x)=x}\) ma, na \(\displaystyle{ [0,2]}\), tę całkę)

Rozw:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2} x \mbox{d}x = \lim_{n \to \infty } \sum_{i=1}^{2n} \frac{1}{n} \frac{i}{n} = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n^{2}} \sum_{i=1}^{2n} i = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n^{2}} \frac{(1+2n)2n}{2} } = \lim_{n \to \infty } \frac{1+2n}{n}=\lim_{n \to \infty } \left( \frac{1}{n} +2 \right)= 2}\)

6. Tego właśnie nie zrobiłem, ale potem do notatek zajrzałem i dowiedziałem się że choćbym się skitrał tam to bym nie napisał Dowód chyba tak leciał jak poniżej.

Twierdzenie: jeśli dla funkcji ograniczonej \(\displaystyle{ f}\) na \(\displaystyle{ [a,b] s=S}\) (całka dolna = całce górnej) to \(\displaystyle{ f}\) jest całkowalna na \(\displaystyle{ [a,b]}\) - udowodnić to.

Dowód: z twierdzenia o 3 ciągach (jeżeli 2 ciągi są zbieżne do tej samej granicy, a pomiędzy nimi jest 3ci, to jest on zbieżny do tej samej granicy)
jeśli \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{n} s _{n} \le\sigma_{n} \le S_{n}}\) (co jest prawdziwe) i jeśli nasze założenie (\(\displaystyle{ s=S}\)) to

\(\displaystyle{ s_{n} \rightarrow s, S_{n} \rightarrow S \Rightarrow\sigma_{n} \rightarrow s,\sigma_{n} \rightarrow S}\)

I teraz skoro wiemy że ciąg dowolnych sum całkowych (\(\displaystyle{ \sigma_{n}}\)) jest zbieżny do jednej i tej samej liczby \(\displaystyle{ = s = S}\) to musi mieć całkę oznaczoną Riemanna:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sigma_{n} = s = S = \int_{a}^{b} f(x) \mbox{d}x}\)
Koniec dowodu.

7. Deser...
Obliczyć pochodną:
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x} \int_{\sin 2x}^{\cos 2x} t^{3} \mbox{d}t = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x} \int_{0}^{\cos 2x} t^{3} \mbox{d}t + \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x} \int_{\sin 2x}^{0} t^{3} \mbox{d}t = -2\cos^{3}2x\sin2x - 2\sin^{3}2x\cos 2x}\)

OK... Teraz niech ktoś wrzuci zadania z niebieskiej, z przyjemnością rozwalę

PS: Jeszcze się nie obyłem do końca z LaTeXem i ciągle coś mi nie tak wychodzi. Jakby kto znalazł jaki błąd - pisać.

[wroobell]

Dla wszystkich zainteresowanych Studium talent w przyszłym oku zamieszczam osławione kompendium wykładów doc. Górniaka. Materiały z lat 2005/2006 ale praca nieocenionej wartości. Chwała autorom!

... pobierz=59

Strona dawno nieaktywna, jeżeli hosting wygaśnie to piszcie na priv.

[iii]

6. Tego właśnie nie zrobiłem, ale potem do notatek zajrzałem i dowiedziałem się że choćbym się skitrał tam to bym nie napisał Dowód chyba tak leciał jak poniżej.

Twierdzenie: jeśli dla funkcji ograniczonej \(\displaystyle{ f}\) na \(\displaystyle{ [a,b] s=S}\) (całka dolna = całce górnej) to \(\displaystyle{ f}\) jest całkowalna na \(\displaystyle{ [a,b]}\) - udowodnić to.

Dowód: z twierdzenia o 3 ciągach (jeżeli 2 ciągi są zbieżne do tej samej granicy, a pomiędzy nimi jest 3ci, to jest on zbieżny do tej samej granicy)
jeśli \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{n} s _{n} \le\sigma_{n} \le S_{n}}\) (co jest prawdziwe) i jeśli nasze założenie (\(\displaystyle{ s=S}\)) to

\(\displaystyle{ s_{n} \rightarrow s, S_{n} \rightarrow S \Rightarrow\sigma_{n} \rightarrow s,\sigma_{n} \rightarrow S}\)

I teraz skoro wiemy że ciąg dowolnych sum całkowych (\(\displaystyle{ \sigma_{n}}\)) jest zbieżny do jednej i tej samej liczby \(\displaystyle{ = s = S}\) to musi mieć całkę oznaczoną Riemanna:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sigma_{n} = s = S = \int_{a}^{b} f(x) \mbox{d}x}\)
Koniec dowodu.

Po co tak skomplikowanie? . Bierzemy \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\). Z kryterium całkowalności wiemy, że jeżeli \(\displaystyle{ S-s<\varepsilon}\) to funkcja jest całkowalna. Skoro z treści zadania \(\displaystyle{ S=s}\), więc \(\displaystyle{ S-s=0<\varepsilon}\), czyli funkcja jest całkowalna, co należało udowodnić.