Kuratoryjny konkurs matematyczny dla gimnazjum 2007/2008

[limes123]

Można też tak:
\(\displaystyle{ (2^{5})^{11}>(5^2)^{11}}\) i to już załatwia sprawę:) a swoją drogą to zadanie jest w zadaniach przygotowawczych do SKM-u. (przynajmniej tak mi sie wydaje;p)

[fafner]

A to pierwsze?

Niech: \(\displaystyle{ x:=\frac{1}{x}}\), wtedy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} f ft( x \right) + 3 f ft( \frac{1}{x} \right) = x^{2} \\ f ft( \frac{1}{x} \right) + 3 f ft( x \right) = \frac{1}{x^2} \end{cases}}\)

Wystarczy dobrać współczynniki i pozbyć się \(\displaystyle{ f(\frac{1}{x})}\) i wyliczyć \(\displaystyle{ f(x)}\).

mógłbyś badziej mi wytłumaczyć mi nic jakoś nie wychodzi :/

[Sylwek]

Oczywiście. Mamy równanie, które oznaczę (1): \(\displaystyle{ f ft( x \right) + 3 f ft( \frac{1}{x} \right) = x^{2}}\). Podstawmy w miejsce iksa \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\). Otrzymujemy w ten sposób równanie (2):

\(\displaystyle{ f ft( \frac{1}{x} \right) + 3 f ft( \frac{1}{\frac{1}{x}} \right) = (\frac{1}{x})^{2} \\ f ft( \frac{1}{x} \right) + 3 f ft( x \right) = \frac{1}{x^2}}\)

Zatem mamy układ równań złożony z równania (1) i (2):
\(\displaystyle{ \begin{cases}f ft( x \right) + 3 f ft( \frac{1}{x} \right) = x^{2} \\ f ft( \frac{1}{x} \right) + 3 f ft( x \right) = \frac{1}{x^2} \end{cases} \\ \begin{cases}f ft( x \right) + 3 f ft( \frac{1}{x} \right) = x^{2} \\ -3 f ft( \frac{1}{x} \right) - 9 f ft( x \right) = -\frac{3}{x^2} \end{cases}}\)

Dodajemy stronami:
\(\displaystyle{ -8 f(x) = x^2 - \frac{3}{x^2} \\ f(x)=-\frac{x^2}{8}+\frac{3}{8x^2}}\)

Należy jeszcze sprawdzić, że ta funkcja spełnia warunki zadania (podstawić do wzoru wyjściowego).

[fafner]

ok dzieki teraz juz rozumiem

[AVquiraniel]

Macie może zadania zamknięte i klucz odpowiedzi? Albo klucz do otwartych?

[fafner]

15 marca w woj.Pomorskim odbył się 3 etap tu są zadania : mi poszło tragicznie :O

[mat609]

Witam.
Jestem w klasie 3 gimnazjum i chciałbym przystąpić w tym roku do olimpiady matematycznej ponieważ chcę dostać się do dobrej szkoły w Krakowie a moje punkty na świadectwie są niewystarczające.
Myślałem o OMG ale powiedziano mi, że mogę mieć problemy i rzeczywiście jak popatrzyłem na przykładowe zadania to się przestraszyłem, więc mam nadzieję, że tutaj będzie łatwiej.
W związku z tym mam pytania do Was. Czy trudno dostać się do etapu wojewódzkiego/zostać laureatem?
Ile czasu poświęcacie temu przedmiotowi? Ile robicie zadań? I jaką literaturę polecacie?
Myślałem o tej książce: Henryk Pawłowski, Wojciech Tomalczyk, Zadania z matematyki dla olimpijczyków — gimnazjalistów i licealistów ponieważ mi ją polecono.
Bardzo proszę o odpowiedź. Będę bardzo wdzięczny.

[crocodile14]

mat609 jak ci poszedł konkurs z matematyki?... Dowalili tymi zadaniami zamkniętymi :/...

[patry93]

Henryk Pawłowski, Wojciech Tomalczyk, Zadania z matematyki dla olimpijczyków — gimnazjalistów i licealistów ponieważ mi ją polecono

Mam tę książkę i polecam również


O, to już mieliście kuratoryjny?
Ja mam w poniedziałek
Pokażcie jeśli macie jak co tam powymyślali

[Tigro]

I jak tam wrażenia po konkursie? Jak zrobiliście zadanie o udowadnianiu podzielności?

[Marcinek665]

Hej wszystkim
Tigro - nie wiem, czy w każdym województwie na etapie szkolnym są te same zadania, bo u mnie było tylko jedno z udowodnieniem podzielności:
\(\displaystyle{ 100 ^{n+2} - 2008}\)
przez trzy bodajże.

Poradziłem sobie z nim mimo, że to było chyba najbardziej punktowane zadanie. Dosłownie jedno obliczenie, a reszta to tłumaczenie słowne

Jest już gdzieś dostępny klucz odpowiedzi? Myślę, że poszło mi dosyć dobrze, więc kto wie... może nawet dostanę się do drugiego etapu

[Agatka]

Słuchajcie Katowice ;p
Ile wam w wyszło w tych kilku zadanich: z bankiem i lokatami (35000 i 5000)
Ten wycinek i pólkola (mi 66 1/3, ale chyba zle ;p)

A propos tej podzielności, ty chyba się dzieli przez 3.

Jakie tam były inne? Już nie pamiętam ;p

Gdyby ktoś miał zadania lub odpowiedzi, to byłoby miło xD

[Marcinek665]

Słuchajcie Katowice ;p
Ile wam w wyszło w tych kilku zadanich: z bankiem i lokatami (35000 i 5000)
Ten wycinek i pólkola (mi 66 1/3, ale chyba zle ;p)

A propos tej podzielności, ty chyba się dzieli przez 3.

Jakie tam były inne? Już nie pamiętam ;p

Gdyby ktoś miał zadania lub odpowiedzi, to byłoby miło xD

No ja słucham (też K-ce) Może napisz na gg, bo tak będzie wygodniej

[patry93]

No, a ja oczywiście zrobiłem wszystkie oprócz tego z lokatami (jak ja nienawidzę takich zadań! :[ ), a ostatnie z trójkątem to na speeda w 30s, bo straciłem czas na papranie się w ułamki (oczywiście o lokaty chodzi... )
Fuk, nie przejdę za nic... ale za to jeszcze jest szansa w OMG

A co do podzielności to było to zadanie na dosłownie 3min jeśli zna się kongruencje ;P

A półkola - nie pamiętam swojego wyniku, ale nie było trudne raczej. Wystarczyło zapisać sobie te dwa różne promienie białych kółek, potem Pitagoras i wyszło raczej ładnie

O, jedno mnie bardzo ciekawi! Jak zaznaczyliście w tym zadaniu zamkniętym z pociągiem (czy lokomotywą? )

[emator2]

Jak zrobiliście to z podzielnością? Oprócz kongruencji.