Obalam teorię mnogości

[Jan Kraszewski]

OK. Ale dalej nie rozumiesz istoty dowodu Cantora. Jest to dowód nie wprost, czyli opierający się na hipotetycznym założeniu o tym, że wszystkie liczby rzeczywiste z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\) da się ponumerować. To założenie nie opisuje rzeczywistości, jest - jak każde założenie nie wprost - tylko przypuszczeniem, które okazuje się być fałszywe (bo prowadzi do sprzeczności). Oznacza to, że teza jest prawdziwa.

Procedury przekątniowej nie należy traktować jako przepisu poszukiwania "zaginionej liczby rzeczywistej", tylko jako metodę wykazania fałszywości pewnego założenia.

JK

[Dasio11]

To zależy w którym miejscu numerowania staniesz. Do liczby \(\displaystyle{ \alpha}\) też można tak podejść, że nie da się jej zbudować. Bo w każdym skończonym cyklu trafiamy na inną taką która jest w ciągu.

To prawda, że po wybraniu skończenie wielu cyfr

\(\displaystyle{ \alpha_n = 0 , d_1 d_2 d_3 \ldots d_n}\)

wiemy tylko, że \(\displaystyle{ \alpha_n}\) nie wystąpiła na pierwszych \(\displaystyle{ n}\) pozycjach naszego numerowania, a dalej mogła wystąpić. Ale istotą dowodu jest konstrukcja liczby

\(\displaystyle{ \alpha = 0 , d_1 d_2 d_3 \ldots d_n d_{n+1} d_{n+2} \ldots}\)

o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym, a tej liczby na pewno nie ma na żadnej pozycji.

O to właśnie chodzi. Mając do dyspozycji nieskończenie wiele cyfr, które możemy dowolnie ustawić, potrafimy stworzyć konflikt z każdą pozycją w naszym numerowaniu, co oznacza, że gromadzącej wszystkie te konflikty liczby \(\displaystyle{ \alpha}\) w tym numerowaniu nie ma.

[Trylemat Agryppy]

Jest to dowód nie wprost, czyli opierający się na hipotetycznym założeniu o tym, że wszystkie liczby rzeczywiste z przedziału [0,1] da się ponumerować. To założenie nie opisuje rzeczywistości, jest - jak każde założenie nie wprost - tylko przypuszczeniem, które okazuje się być fałszywe (bo prowadzi do sprzeczności)

No tak i dlatego przyjęto, że są większe zbiory nieskończone i mniejsze. To mi dopiero pozbycie się sprzeczności.

Procedury przekątniowej nie należy traktować jako przepisu poszukiwania "zaginionej liczby rzeczywistej", tylko jako metodę wykazania fałszywości pewnego założenia.

???? Ona polega na poszukiwaniu "zaginionej liczby rzeczywistej" a jej odnalezienie ma dowodzić wykazania fałszywości założenia o tym, że wszystkie liczby rzeczywiste z przedziału [0,1] da się ponumerować.

O to właśnie chodzi. Mając do dyspozycji nieskończenie wiele cyfr, które możemy dowolnie ustawić, potrafimy stworzyć konflikt z każdą pozycją w naszym numerowaniu, co oznacza, że gromadzącej wszystkie te konflikty liczby \(\displaystyle{ \alpha}\) w tym numerowaniu nie ma.

W tym numerowaniu ale już nie w następnym. Zawsze mogę stworzyć numerowanie które zawiera nieponumerowaną w innym numerowaniu liczbę. Innymi słowy każda liczba może być ponumerowana. Założenie jest prawdziwe.

[Dasio11]

Zdajesz sobie sprawę, że kolejność kwantyfikatorów zazwyczaj odgrywa rolę?

Z tego, co piszesz, wynika, że dla każdej liczby \(\displaystyle{ \alpha}\) istnieje numerowanie, które zawiera tę liczbę.

Nie wynika zaś, że istnieje numerowanie, które zawiera wszystkie liczby \(\displaystyle{ \alpha.}\)

Tak samo, jak z faktu, że każdy człowiek ma matkę, nie wynika, że istnieje matka wszystkich ludzi.


Inny przykład: pokażemy że nie istnieje największa liczba naturalna. W tym celu ustalmy dowolną liczbę naturalną \(\displaystyle{ n \in \NN}\) i weźmy \(\displaystyle{ m = n+1.}\) Wtedy nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ m \le n,}\) czyli \(\displaystyle{ n}\) nie jest największa.

Wyobraź sobie, że ktoś znalazłby w tym dowodzie błąd, zauważając, że przecież możemy znaleźć liczbę większą od tego \(\displaystyle{ m.}\)

[Trylemat Agryppy]

Dasio11,
Czy nie każda \(\displaystyle{ \alpha}\) może być ponumerowana?

[Dasio11]

Każda \(\displaystyle{ \alpha}\) może być ponumerowana, tj. dla każdej \(\displaystyle{ \alpha}\) istnieje numerowanie, które uwzględnia \(\displaystyle{ \alpha.}\)

Ale wszystkie \(\displaystyle{ \alpha}\) nie mogą być ponumerowane jednocześnie, tj. nie istnieje jedno numerowanie, które uwzględnia każdą \(\displaystyle{ \alpha.}\)

[yorgin]

No tak i dlatego przyjęto, że są większe zbiory nieskończone i mniejsze. To mi dopiero pozbycie się sprzeczności.

Nie. Sprzeczność dowodzi, że nie można zbiorów nieskończonych rozpatrywać w jednej kategorii, która jest definiowana przez równoliczność, czyli parowanie elementów różnych zbiorów nieskończonych.

[Trylemat Agryppy]

Każda \(\displaystyle{ \alpha}\) może być ponumerowana, tj. dla każdej \(\displaystyle{ \alpha}\) istnieje numerowanie, które uwzględnia \(\displaystyle{ \alpha}\).

Ale wszystkie \(\displaystyle{ \alpha}\) nie mogą być ponumerowane jednocześnie, tj. nie istnieje jedno numerowanie, które uwzględnia każdą \(\displaystyle{ \alpha}\).

Dalej nie wiem dlaczego nie przyjąć inny wniosek, tj. nie istnieje zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?
Przecież ciąg liczb rzeczywistych to zbiór. Więc nie istnieje jeden zbiór, który zawiera każdą liczbę rzeczywistą.

[Dasio11]

Ciąg liczb rzeczywistych to coś zupełnie innego niż zbiór liczb rzeczywistych.

To pierwsze jest przyporządkowaniem każdej liczbie naturalnej pewnej liczby rzeczywistej. Każda z tych przyporządkowanych liczb rzeczywistych musi występować w parze z jakąś liczbą naturalną, co sprawia, że tych liczb rzeczywistych nie może wystąpić za dużo - najwyżej tyle, ile liczb naturalnych (choć jeszcze nie jesteś przekonany, że tych drugich jest mniej).

A zbiór to zbiór, po prostu kolekcja wszystkich liczb rzeczywistych bez żadnych ograniczeń.

Kolejny przykład. W przyjęciu bierze udział dwunastu gości, ale w gospodarstwie jest tylko dziesięć filiżanek do herbaty. Bezpośrednie sprawdzenie wszystkich możliwości pozwala się przekonać, że nie istnieje takie przyporządkowanie każdej filiżance jej użytkownika, żeby każdy z gości otrzymał swoją filiżankę - dlatego, że filiżanek jest mniej niż gości.

Nie znaczy to jednak, że nie istnieje zbiór wszystkich gości, lecz że gości nie można ponumerować filiżankami.


Po zadawanych przez Ciebie pytaniach widać, że brakuje Ci pewnej podstawowej wiedzy i intuicji dotyczącej podstawowych bytów i koncepcji matematycznych. Bez tego zrozumienie dowodu, o którym rozmawiamy, może być trudne jeśli w ogóle możliwe. Chyba lepiej będzie, jeśli zaczniesz od przeczytania jakiejś książki ze wstępu do matematyki, a wszystko z biegiem czasu Ci się wyjaśni.

[Trylemat Agryppy]

Dasio11,
Jedyna różnica między ciągiem a zbiorem jaką umiem podać, to to, że elementy pierwszego muszą być poukładane w jakimś porządku.

Dlaczego więc nie można tego:
0, 2 6 7 8 8 8 9 2 8 7 1 7 7 4 3 ...
0, 2 7 1 6 7 3 8 2 0 9 8 3 0 9 8 ...
0, 2 1 9 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ...
0, 3 4 2 1 1 1 3 3 4 4 2 3 4 2 2 ...
0, 2 1 3 4 2 1 1 1 3 3 4 4 2 3 4 ...
0, 9 5 4 1 1 2 1 2 2 8 9 3 4 5 7 ...
0, 7 3 9 2 0 8 3 9 6 7 1 6 2 6 3 ...
...
potraktować jedynie jako zbioru?

[Dasio11]

Można (bo z każdym ciągiem liczb rzeczywistych, czyli funkcją \(\displaystyle{ \NN \to \RR,}\) stowarzyszony jest zbiór wartości tego ciągu, czyli zbiór wszystkich przyporządkowanych liczb rzeczywistych), ale co by z tego wynikało?

[Trylemat Agryppy]

Dasio11,
No więc jeśli traktujesz, to jedynie jako zbiór, to założenie, że zawiera wszystkie liczby rzeczywiste upada.
0, 2 6 7 8 8 8 9 2 8 7 1 7 7 4 3 ...
0, 2 7 1 6 7 3 8 2 0 9 8 3 0 9 8 ...
0, 2 1 9 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ...
0, 3 4 2 1 1 1 3 3 4 4 2 3 4 2 2 ...
0, 2 1 3 4 2 1 1 1 3 3 4 4 2 3 4 ...
0, 9 5 4 1 1 2 1 2 2 8 9 3 4 5 7 ...
0, 7 3 9 2 0 8 3 9 6 7 1 6 2 6 3 ...
...

\(\displaystyle{ \alpha}\)=0,420989...
Można stworzyć \(\displaystyle{ \alpha}\) której w nim nie ma. Nawet nie muszę jej tworzyć po przekątnej, ba zbiór nie ma przekątnej, bo jest nieuporządkowany.

[Dasio11]

Nie rozumiem. Jeśli próbujesz powtórzyć dowód twierdzenia Cantora dla dowolnego zbioru liczb rzeczywistych, to musisz swoje próby opisywać precyzyjniej.

Bierzesz dowolny ciąg liczb rzeczywistych. Potem patrzysz na zbiór wartości, przestając uwzględniać, że wziął się on z jakiegoś ciągu, tylko po prostu jak na zbiór. Potem stwierdzasz, że istnieje \(\displaystyle{ \alpha,}\) której nie ma w tym zbiorze?

[Trylemat Agryppy]

Dasio11,
Tak. A dokładniej: Biorę zbiór, który z założenia ma zawierać wszystkie liczby rzeczywiste z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\).
Potem stwierdzam, że istnieje \(\displaystyle{ \alpha}\), której nie ma w tym zbiorze. A potem jeszcze, że nie istnieje jeden zbiór, który zawiera każdą liczbę rzeczywistą.

[Dasio11]

No spoko. A jak dowodzisz, że istnieje \(\displaystyle{ \alpha,}\) której nie ma w tym zbiorze? Przedstaw dokładnie konstrukcję.