Kilka zadanek przed maturą.

[PoweredDragon]

Skoro nikt nie dał odpowiedzi...
B1(Równanie)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ A = (1, -3)}\), \(\displaystyle{ B = (3,3)}\)
Możliwymi osiami symetrii kwadratu są przekątne lub symetralne boków. Jedyną pewną osią symetrii podanego kwadratu jest więc symetralna odcinka \(\displaystyle{ AB}\), która, jeśli jest on przekątną, będzie zawierała drugą przekątną, a gdy jest bokiem, będzie jego symetralną, więc również osią symetrii kwadratu.
Prosta, na której leżą punkty \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) jest o równaniu:
\(\displaystyle{ (x-1)(3+3) = (3-1)(y+3)}\)
\(\displaystyle{ 6x-6 = 2y+6}\)
\(\displaystyle{ 2y = 6x-12}\)
\(\displaystyle{ y = 3x - 6}\)

Symetralna jest prostopadła do tej prostej, więc jej współczynnik musi spełniać równanie \(\displaystyle{ 3a = -1}\) z czego wprost ywnika, że \(\displaystyle{ a = -\frac{1}{3}}\)
Następnie należy obliczyć jej wyraz wolny \(\displaystyle{ b}\). W tym celu wyznaczamy środek \(\displaystyle{ C}\) odcinka \(\displaystyle{ AB}\): \(\displaystyle{ C = (\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}) = (\frac{4}{2}, \frac{0}{2}) = (2, 0)}\); Dalej już podstawiamy do równania: \(\displaystyle{ 0-\frac{1}{3}*2 +b = -\frac{2}{3} + b \Rightarrow b = \frac{2}{3}}\)

Równaniem zadanej prostej jest więc: \(\displaystyle{ y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}\)

B2 - tutaj miałem dylemat, bo nie wiedziałem w jakim kontekście zadane zostało pytanie (możliwe osie symetrii kwadratu? Kwadrat ma zawsze 4; chyba, że chodzi o osie z zadania, więc mówimy o jednej) i dzielenie płaszczyzny - mam uwzględnić ten kwadrat czy nie? On sam już wydziela pewną część płaszczyzny.

Ukryta treść:    

Jeśli 4 osie (ogólnie) i uwzględniamy boki kwadratu, wówczas płaszczyzna podzielona jest na 8 części
Jeśli 4 osie i nie uwzględniamy boków, wówczas 4 części
Jeśli tylko oś, której szukamy w zadaniu i uwzględniamy boki kwadratu, to 4
Jeśli tylko oś, której szukamy i nie uwzględniamy boków kwadratu to 2

G3

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 50! = 50*49*48*...*2}\)
Niech \(\displaystyle{ max_x(k)}\) oznacza maksymalną wartość \(\displaystyle{ k}\) spełniającą treść zadania dla liczby \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ max(k)}\) oznacza maksymalną wartość spełniającą treść zadania w ogóle

a)\(\displaystyle{ 45^k = 5^k * 3^{2k}}\)
Zauważamy następnie ilość czynników liczby \(\displaystyle{ 45}\) w rozkładzie \(\displaystyle{ 50!}\)
W liczbach od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 50}\), wielokrotności \(\displaystyle{ 3}\) występują \(\displaystyle{ 16}\) razy, przy czym wielokrotności \(\displaystyle{ 3^2}\) występują \(\displaystyle{ 5}\) razy, a wielokrotność \(\displaystyle{ 3^3}\) - \(\displaystyle{ 1}\) raz, stąd: \(\displaystyle{ 3^{16}*3^5*3 = 3^{22} \Rightarrow max_3(k) = 11}\)
Identycznego rozkładu dokonujemy na liczbach podzielnych przez \(\displaystyle{ 5}\) - \(\displaystyle{ 10}\) takich liczb w zbiorze \(\displaystyle{ A = {0, 1, ..., 50}}\) przy czym \(\displaystyle{ 2}\) podzielne przez \(\displaystyle{ 5^2}\):
\(\displaystyle{ 5^{10}*5^2 = 5^{12} \Rightarrow max_5(k) = 12}\).
Skoro \(\displaystyle{ 10 < 12}\), to \(\displaystyle{ max(k) = 10}\), czyli:
\(\displaystyle{ 45^k|50! \Rightarrow k \le 11}\)

b)\(\displaystyle{ 63^k = 7^k*3^{2k}}\)
Analogicznie zauważamy ilość czynników liczby \(\displaystyle{ 63}\) w rozkładzie \(\displaystyle{ 50!}\) (pominięciu podlega ilość \(\displaystyle{ 3^2}\), która już została wcześniej opisana:
\(\displaystyle{ max_3(k) = 11}\)
W zbiorze \(\displaystyle{ A = {1, 2, ... , 50}}\), wielokrotności liczby \(\displaystyle{ 7}\) występują dokładnie \(\displaystyle{ 7}\) razy, przy czym jeden przypadek to kwadrat tej liczby: \(\displaystyle{ 7^7*7 =7^8 \Rightarrow max_7(k) = 8}\)
Skoro \(\displaystyle{ 8 < 11}\), to \(\displaystyle{ max(k) = 8}\), czyli:

\(\displaystyle{ 63^k|50!\Rightarrow k \le 8}\)

[kmarciniak1]

D11

Ukryta treść:    

Mamy taki ukłąd równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^{2}+b ^{2}=169 \\ a+b=17
\end{cases}}\)
Po przekształceniach:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^{2}+b ^{2}=169 \\ (a+b) ^{2} =289
\end{cases}}\)
Teraz odejmijmy pierwsze od drugiego:
\(\displaystyle{ ab=60}\)

\(\displaystyle{ a= \frac{60}{b}}\)
Wstawmy to do jednego z początkowych równań
\(\displaystyle{ \frac{60}{b}+b=17}\)
\(\displaystyle{ b ^{2}-17b+60=0}\)
Teraz można już zgadnąć ze wzorów Viete'a rozwiązania
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=12 \\ a=5 \end{cases}}\)\(\displaystyle{ \ \vee}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} b=5 \\ a=12 \end{cases}}\)

C11

Ukryta treść:    

Zrobiłem to zadanie w bardzo toporny sposób toteż jakby ktoś miał jakieś ładniejsze rozwiązania to miło by było gdyby się podzielił
No więc tak dokonujemy podstawienia
\(\displaystyle{ t= \sqrt{x}}\) a więc \(\displaystyle{ t ^{2}=x}\)oczywiście \(\displaystyle{ t>0}\)
Po podniesieniu do kwadratu:
\(\displaystyle{ t ^{2}+t-2 \sqrt{t ^{4}-t ^{2} }+t ^{2}-t= \frac{9}{4} \cdot \frac{t ^{2} }{t ^{2}+t }}\)
Następnie mnożymy przez \(\displaystyle{ 4(t ^{2}+t)}\) a następnie znowu podnosimy do kwadratu
\(\displaystyle{ 64t ^{4}(t ^{2}+t) ^{2} -144t ^{4}(t ^{2} +t)+81t ^{4} =64(t ^{2}+t) ^{2} \cdot (t ^{4}-t ^{2)}}\)
Po pewnych(hehe ) przekształceniach otrzymuję
\(\displaystyle{ -80t ^{6}-16t ^{5}+145t ^{4} =0}\)
\(\displaystyle{ t ^{4} \cdot (-80t ^{2}-16t+145)=0}\)
\(\displaystyle{ t=0 \vee -80t ^{2}-16t+145=0}\)
liczymy deltę
\(\displaystyle{ \Delta=46656}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} =216}\)
\(\displaystyle{ t _{1}= \frac{16-216}{-160}= \frac{5}{4}}\)
\(\displaystyle{ t=0}\) odpada
Zostaje więc \(\displaystyle{ x=t ^{2} = \frac{25}{16}}\)

No i jeszcze trzeba by sprawdzić bo nie ustalałem dziedziny dla x.Musicie mi uwierzyć na słowo bo już nie chce mi sie tego pisać. Po sprawdzeniu rzeczywiście \(\displaystyle{ x= \frac{25}{16}}\) jest
rozwiązaniem.

oczywiście to co tu napisałem to tylko szkic uwzględniający główne przejścia .Całe rozwiązanie zajęło mi dwie strony A4 .

Ktoś ma pomysł na coś lepszego?

C11 szybsze rozwiązanie

Ukryta treść:    

Po podpowiedzi kerajsa rzeczywiście zadanie robi się dużo przyjemniejsze w rozwiązywaniu
A więc mnożymy wyjściowe równanie przez \(\displaystyle{ \sqrt{x+ \sqrt{x} }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(x+ \sqrt{x} ) ^{2} }- \sqrt{x ^{2}-x } = \frac{3}{2} \sqrt{x}}\)
\(\displaystyle{ x+ \sqrt{x} - \sqrt{x ^{2}-x } = \frac{3}{2} \sqrt{x}}\)
\(\displaystyle{ x+ - \sqrt{x ^{2}-x } = \frac{1}{2} \sqrt{x}}\)
\(\displaystyle{ x- \frac{1}{2} \sqrt{x}= \sqrt{x ^{2}-x }}\)
Podnosimy do kwadratu
\(\displaystyle{ x ^{2}-x \sqrt{x}+ \frac{1}{4}x=x ^{2}-x}\)
\(\displaystyle{ \frac{5}{4} x=x \sqrt{x}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{25}{16}}\)

Oczywiście w pewnych momentach rozwiązywania wykorzystałem że dane liczby są nieujemne/różne od 0

[kerajs]

G 7:    

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw[orange] (0,0)--(8,0)--(0,6)--(0,0);
\draw [red][dashed](2,2)circle(2);
\draw [orange](2,0)--(2,2)--(0,2);
\draw [orange](2,2)--(3.2,3.6);
\draw [orange](2,0)--(0,1.5);
\draw [blue][dashed](2,2)--(8,2)--(8,6)--(2,6)--(2,2);
\draw [blue][dashed](2,2)--(8,2)--(3.2,5.6)--(2,4)--(2,2);
\draw [blue][dashed](3.2,5.6)--(3.5,6);
\draw [blue][dashed](6,6)--(4.8,4.4);
\end{tikzpicture}}\)

H 1.
a) Ile jest trójkątów prostokątnych o naturalnych przyprostokątnych, a przeciwprostokątnej równej 2017 ?
b)** Ile jest trójkątów prostokątnych o naturalnych bokach którego przyprostokątna wynosi 2017 ?

H 2.
Iloma zerami kończy się dziesiętny zapis liczby \(\displaystyle{ 2017!}\) ?

H 3.
Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ x+x^3+x^5...=2017}\)

H 4.
a) Ile cyfr potrzeba aby ponumerować książkę o 2017 kartkach?
b)* Ile wynosi suma tych cyfr?

H 5.
Rozwiąż równania:
\(\displaystyle{ a) \ n^4-x^3-n^2+n^1+n^0=2017 \wedge n \in \NN\\
b) \ 2^{2x-1}-2^{x-1}+1 ^{2017}=2017 \wedge x \in \RR}\)

H 6.

Ukryta treść:    

Na obrazku jest drzewo fraktalne, którego pierwszym elementem jest kwadrat o boku 1. Do niego w kroku drugim dorysowano trójkąt prostokątny równoboczny który nazwę elementem drugim. Elementy trzeci i czwarty to kwadraty dorysowane w kroku trzecim.
a) Rozstrzygnij, czy element 2017 jest kwadratem czy trójkątem.
b)* Ile wynosi suma pól elementów dorysowanych w kroku 2017 ?
c)** Ile wynosi suma pól wszystkich elementów narysowanych od 1 do 2017 kroku włącznie ?

H 7.
Średnica koła o promieniu 20,17 cm jest wysokością trójkąta równobocznego. Ile wynosi pole części wspólnej trójkąta i koła ?

H 8.
Ile przekątnych ma podstawa ostrosłupa o 2017 wierzchołkach?

H 9.
Ile wynosi największe pole prostokątnego przydomowego ogródka ogrodzonego z trzech stron (czwarte ograniczenie stanowi ściana domu) płotem o długości 201,7 metrów ?

H 10.
Z urny zawierającej liczby od 1 do 2017 losujemy bez zwracania dwie liczby. Jakie jest prawdopodobieństwo że suma wylosowanych liczb jest podzielna przez 7 ?

Matura_dawniej:    

Zadania z Liceum św. Anny (obecnie: I Liceum Ogólnokształcące im. B. Nowodworskiego w Krakowie), ok. 1830 roku

Przykłady zadań maturalnych z języka polskiego

1. Wykazać w dziejach Polski prawdziwość słów Naruszewicza: "Żaden kraj cudzej potęgi nie zwalił, który sam siebie pierwej nie osłabił".

2. "Służmy poczciwej sławie, a jako kto może, niech ku pożytkowi dobra wspólnego pomoże" - rozwinąć powyższe słowa J. Kochanowskiego w zastosowaniu do czasów obecnych.

Przykłady zadań maturalnych z matematyki

1. W szeregu ar. suma pierwszego i trzeciego wyrazu wynosi 10, a iloczyn drugiego i piątego wynosi 55. Wyznaczyć pierwsze pięć wyrazów tego szeregu.

2. Kula wystrzelona w kierunku pionowym do góry, przebiega w pierwszej sekundzie 450,28 m, do jakiej wysokości wzniesie się i po jakim czasie spadnie na ziemię.

3. Kwadrat o danym boku a = 6 m zamienić na prostokąt, którego powierzchnia równa się powierzchni tego kwadratu, obwód zaś jest dwa razy tak wielki, jak obwód kwadratu.

4. Przed ilu laty kapitał, złożony na 5,5% skład., miał trzecią część teraźniejszej wartości?

[kmarciniak1]

H3

Ukryta treść:    

Po lewej stronie mamy szereg geometryczny ,sprawdzamy kiedy jest zbieżny i liczymy sumę
\(\displaystyle{ x+x^3+x^5...=2017}\)
\(\displaystyle{ \left| q\right| =\left| x ^{2} \right| <1}\)
\(\displaystyle{ x \in \left( -1,1\right)}\)
\(\displaystyle{ S= \frac{x}{1-x ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{1-x ^{2} }=2017}\)
\(\displaystyle{ 2017 x^{2}+x-2017=0}\)
I tutaj deltą jest bardzo duża liczba pierwsza
\(\displaystyle{ \Delta=16273157}\)
Można teraz wykorzystać wzory na \(\displaystyle{ x _{1}, x _{2}}\)

\(\displaystyle{ x _{1}= \frac{-1- \sqrt{16273157} }{4034}<-1}\)
nie spełnia warunku zbieżności
\(\displaystyle{ x _{2}= \frac{-1+ \sqrt{16273157} }{4034} \approx 0,99975}\)
i to jest rozwiązanie

[Premislav]

H9:    

Wiemy, że \(\displaystyle{ a+2b=201,7}\). Chcemy zmaksymalizować wartość \(\displaystyle{ a \cdot b}\).
W tym celu wykorzystamy znaną nierówność \(\displaystyle{ (x+y)^2 \ge 4xy}\), która zwija się do \(\displaystyle{ (x-y)^2 \ge 0}\). Mamy:
\(\displaystyle{ (201,7)^2=(a+2b)^2 \ge 8ab}\), równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a=2b}\) (co wynika z powyższego zwinięcia do \(\displaystyle{ (x-y)^2 \ge 0}\)). Czyli największe pole wynosi
\(\displaystyle{ \frac{(201,7)^2}{8}}\).

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że jeśli w trójkącie jest:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c}= \frac{3}{a+b+c}}\)
to jeden z jego kątów to \(\displaystyle{ 60^{o}}\)

Wskazać różne sposoby rozwiązania

[kerajs]

Udowodnić, że jeśli w trójkącie jest:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c}= \frac{3}{a+b+c}}\)
to jeden z jego kątów to \(\displaystyle{ 60^{o}}\)

1)
\(\displaystyle{ \frac{a+2b+c}{(a+b)(b+c)}=\frac{3}{a+b+c}\\
(a+2b+c)(a+b+c)=3(a+b)(b+c)\\
a^2+3ab+2ac+2b^2+3bc+c^2=3ab+3ac+3b^2+3bc\\
a^2+c^2-ac=b^2\\
b^2=a^2+c^2-2ac \cdot \frac{1}{2}}\)
Aby zachodziło twierdzenie kosinusów to:
\(\displaystyle{ \cos B= \frac{1}{2} \Rightarrow B= \frac{ \pi }{3}}\)

2)
\(\displaystyle{ \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}\\
\frac{1}{2R\sin A +2R\sin B}+\frac{1}{2R\sin B+2R\sin C}=\frac{3}{2R\sin A+2R\sin B+2R\sin C}\\
\frac{\sin A+2\sin B+\sin C}{(\sin A +\sin B)(\sin B+\sin C)}=\frac{3}{\sin A+\sin B+\sin C}\\
( \sin A+2\sin B+\sin C)(\sin A+\sin B+\sin C)=3(\sin A+\sin B)(\sin B+\sin C)\\
\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B\\
\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 (A+C)\\
\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 A\cos^2 C+2\sin A\sin C\cos A\cos C+\sin^2 C\cos^2 A\\
2\sin^2 A\sin^2 C-\sin A\sin C(1+2\cos A\cos C)=0\\
2\sin A\sin C(\sin A\sin C- \frac{1}{2}-\cos A\cos C)=0\\
\cos (A+C)= \frac{-1}{2}\\
\cos ( \pi -B)= \frac{-1}{2}\\
\cos B= \frac{1}{2}\\
B= \frac{ \pi }{3}}\)

[Premislav]

No elo Polaczki, korwety jaglane.

H2:    

Oczywiście w rozkładzie \(\displaystyle{ 2017!}\) na czynniki pierwsze będzie więcej dwójek niż piątek, więc wystarczy ustalić, ile to jest \(\displaystyle{ v_5(2017!)}\), gdzie \(\displaystyle{ a=v_p(n) \Leftrightarrow p^a|n \wedge p^{a+1}\nmid n, p \in \PP, \ a \in \NN, \ n \in \NN^+}\)
A na to mamy gotowy wzorek:
\(\displaystyle{ v_p(n!)= \sum_{m=1}^{ \infty }\left \lfloor \frac{n}{p^m}\right\rfloor}\)
(oczywiście w praktyce od pewnego miejsca tam są same zera dla ustalonego \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ n}\); ten wzór ma proste uzasadnienie kombinatoryczne - zwyczajne zliczanie potęg - którego mi się nie chce pisać)
co daje nam
\(\displaystyle{ v_5(2017!)=\left \lfloor \frac{2017}{5}\right\rfloor+\left \lfloor \frac{2017}{25}\right\rfloor+\left \lfloor \frac{2017}{125}\right\rfloor+\left \lfloor \frac{2017}{625}\right\rfloor=403+40+16+3=462}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ 2<5}\), więc tym bardziej w rozkładzie \(\displaystyle{ 2017!}\) znajdzie się niemniej niż \(\displaystyle{ 462}\) dwójki, zatem odpowiedź do zadania brzmi:
\(\displaystyle{ 2017!}\) kończy się w zapisie dziesiętnym \(\displaystyle{ 462}\) zerami, bo jest podzielne przez \(\displaystyle{ 10^{462}}\), ale już nie przez \(\displaystyle{ 10^{463}}\)

Już tylko dziesięć miesięcy do matury, trzeba ćwiczydź!

[kmarciniak1]

A może by tak odkopać temat?
Do matury zostały jakieś dwa tygodnie, więc może warto abyście wrzucali jakieś ciekawsze/trudniejsze zadanka na które się ostatnio natknęliście.
Ja może zacznę zadaniem z próbnego arkusza pewnej strony(ogólnie znanej maturzystom xD), z którym nie mogę sobie poradzić.

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x \ge 1}\) i \(\displaystyle{ y \ge 1}\) prawdziwa jest nierówność
\(\displaystyle{ x (x ^{2} - 2x + 3)+ y(y ^{2} -2y + 3) \ge 2xy + 2}\).

[bosa_Nike]

\(\displaystyle{ x\left(x^2-2x+3\right)=x(x-1)^2+2x\ge (x-1)^2+2x}\)

Analogicznie dla igreka. Przenieś później \(\displaystyle{ 2x+2y}\) na prawo i zwiń w nawiasy. Rozpoznaj pewną znaną nierówność.

Jeżeli nie chcesz szacować przez jedynkę, to możesz zwinąć do \(\displaystyle{ (x-1)^3+(y-1)^3+(x-y)^2\ge 0}\)

[kerajs]

Sugeruję zakopanie odkrywki i przeniesienie się do: 431850.htm