Próbna matura z operonu (21 listopada 2012)

[HuBson]

w tym zadaniu z funkcją kwadratową zbiorem wartości nie powinien być zbiór liczb rzeczywistych, a dziedziną to co wyszło z założeń delty i wzorów Viete'a?

Nie. Wychodziła funkcja liniowa. Jak zbiorem wartości może być zbiór liczb rzeczywistych skoro dziedziną nie jest \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)?

[Mruczek]

1. \(\displaystyle{ x \in \left\{ \frac{ \pi }{6} , \frac{ 5\pi }{6} , \frac{ 7\pi }{6} , \frac{ 11\pi }{6}\right\}}\)
2. \(\displaystyle{ n=12}\), \(\displaystyle{ m=18}\), \(\displaystyle{ W(x)=(x+1) ^{2} (x+4)}\)
3. \(\displaystyle{ 0}\) rozwiązań dla \(\displaystyle{ m<0}\), \(\displaystyle{ 2}\) rozwiązania dla \(\displaystyle{ m=0}\), \(\displaystyle{ 4}\)rozwiązania dla \(\displaystyle{ m>0}\)
4. ciąg \(\displaystyle{ 12,36,108}\)
5.prawdopodobieństwo to \(\displaystyle{ \frac{19}{75}}\)
6. \(\displaystyle{ g(m)=-3m+2}\),
\(\displaystyle{ D_{g}=(- \infty ,- 2) \cup (-2, -\frac{2}{9}) \cup(2; + \infty )}\)
\(\displaystyle{ ZW_{g}=(- \infty ,-4) \cup (2 \frac{2}{3},8) \cup (8,+ \infty )}\)
7. \(\displaystyle{ P=9 \sqrt{97} \approx 88,64}\)
8. \(\displaystyle{ 24,5 \pi}\), półkole po prawej stronie
9. dowód, \(\displaystyle{ x=r}\)
10. \(\displaystyle{ (x+1) ^{2} +(y-8) ^{2}=225}\)
11. \(\displaystyle{ (x,y) \in \left\{ (1, 1); (3,1)\right\}}\)

Potwierdzajcie !

Kolejność zadań może być zła, sugerowałem się .

[Maciej94]

Moje odpowiedzi:
(zadanie z równaniem trygonometrycznym)

\(\displaystyle{ \cos ^{2}x = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\),
czyli \(\displaystyle{ x=30,330,150}\) i \(\displaystyle{ 210}\) stopni.

(zadanie z ciągami)
wychodziła różnica ciągu arytmetycznego \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 0}\), ale wyrazy miały być różne, więc zostajemy tylko przez \(\displaystyle{ 4}\). Kolejne wyrazy ciągu geometrycznego \(\displaystyle{ -12, 36, 108}\).

(zadanie z ostrosłupem)
Po wykorzystaniu twierdzenia Talesa i kilku razy pitagorasa i związków trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym wyszło mi \(\displaystyle{ P \approx 88}\) z hakiem.

(zadanie z płaszczyznami)
Po przekształceniach i wyznaczeniach płaszczyzny wychodziło półkole o polu \(\displaystyle{ \frac{49}{2}\pi}\) jednostek kwadratowych.

(zadanie z prawdopodobieństwem)
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{6}{10} \cdot \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} + \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9}}\)

(zadanie z udowodnieniem z wielomianem)
Wystarczyło dwa razy skorzystać ze schematu Hornera. Za pomocą pierwszego wyznaczamy równanie z dwiema niewiadomymi \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) (jest to reszta z dzielenia przez dwumian) i kolejne przez miejsce zerowe. Niewiadome \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) miały wartości całkowite, ale już nie pamiętam jakie, chyba jedna z nich miała \(\displaystyle{ 12}\). Później otrzymany wielomian należało podzielić przez dwumian, a później z otrzymanej funkcji kwadratowej trzeba było wyliczyć delte, która wynosi \(\displaystyle{ 0}\). Teraz trzeba sprawdzić, że pierwiastek tej paraboli jest różny od miejsca zerowego wielomianu co jest prawdą i kończy ten dowód.

(zadanie z trapezem opisanym na kole)
Wystarczyło skorzystać z własności, że sumy przeciwległych boków są równe, a później pitagoras. \(\displaystyle{ 5x=2c}\) i trzeba było udowodnić, że \(\displaystyle{ x=r}\), czyli \(\displaystyle{ h=2r=2x}\).
\(\displaystyle{ h^{2} + (1,5x)^{2} = (2,5x)^{2}}\), czyli \(\displaystyle{ h = 2x}\)

(zadanie z jednokładnością)
\(\displaystyle{ r=3 \cdot |-5|=15}\), po przekształceniach wzór na okrąg:
\(\displaystyle{ (x+1)^{2} + (y-8)^{2} = 225}\)

(zadanie z wzorami vieta)
Wystarczylo skorzystac z wzorow vieta, po czym wychodziła funkcja liniowa. Później trzeba było sprawdzić dziedzinę, czyli delta musiała być większa od zera, a zbiór wartości to wszystkie liczby rzeczywiste wyłączając przedział, który wyliczamy podstawiając najmniejszą i największą wartość spoza dziedziny funkcji. Wyszły jakieś duże sumy, ale pamiętam, że był tam jakiś ułamek \(\displaystyle{ \frac{2}{7}}\) albo \(\displaystyle{ \frac{2}{9}}\)

[denatlu]

Mruczek, w której to szkole Ciebie tak nauczyli ?

[Moni_94]

A u mnie jedna wielka masakra mam wrażenie że wszystko skopałam

-- 23 lis 2012, o 17:38 --

A skąd ta różnica \(\displaystyle{ 4}\)??-- 23 lis 2012, o 17:39 --Mi wyszło \(\displaystyle{ 104}\) xD

[HuBson]

Mruczek fajny ten Twój dowód w 9

[kamil13151]

Trudniejsza od majowej ale i tak dosyć łatwa.

Wątpię... porównywalna, a można powiedzieć, że ciut łatwiejsza od majowej. Wskaż mi w maturze z operonu zadanie "trudniejsze" od majowego trzydziestego.

[denatlu]

no moze przesadziłem jest porównywalna, chociaż tutaj były zamknięte nieco trudniejsze ale nie w każdym przypadku. Tutaj ta nierówność \(\displaystyle{ x^2-9>0}\) najbardziej zaniża.

wracając do tego ostrosłupa (R), to próbowałem jeszcze z tw. cosinusów, ale jak wyszedł \(\displaystyle{ \cos{x}=3}\) to mi ręce opadły... szkoda trochę punktów.

[Amazon]

Mruczek z radością potwierdzam - wszystkie odpowiedzi mam identyczne
O dziwo przy ciągach nakreśliłam strasznie, chyba za szóstym razem mi wyszło.

Coś więcej o zadaniach:
Ostatnie - z pierwszego wystarczyło wyznaczyć y i podstawić; warto było sprawdzić sobie graficznie.
Z polem figury - półkole o promieniu 7 - z rysunku i udowodnienia, że S należy do funkcji liniowej.
Dowód z trapezem i okręgiem - na mocy twierdzenia o odcinkach stycznej i dalej Pitagoras.
Przekrój w stereometrii - zauważyć, że to trapez równoramienny, krótszą podstawę z trójkątów podobnych, dalej kilka razy Pitagoras + twierdzenie o środkowych (do wyliczenia ramienia trapezu, a z tego Pitagorasem jego wysokość).
Z logarytmem - funkcja parzysta odbita nad oś, dalej już łatwo zrobić z tego g(m).
Wielomiany - z Bezout i równości wielomianów + zauważenie, że występuje podwójny pierwiastek
Z parametrem: wyznaczenie warunków na parametr, wyszła liniowa \(\displaystyle{ y=-3x+2}\)
\(\displaystyle{ D: R \setminus \left\{ -2\right\} \cup \left\langle \frac{-2}{9} , 2\right\rangle}\) - stąd łatwo zbiór wartości.

Hope to pass with flying colours.

[Moni_94]

Jak obliczyliście wysokość tego trapezu ??

[Amazon]

Znając wszystkie boki i wiedząc o równoramienności łatwo wyznaczyć z Pitagorasa.
Chyba, że chodzi Ci o dojście do wyznaczenia boków?

[Moni_94]

No to ja generalnie doszłam do tego że obliczyłam drugą podstawę i utknęłam niestety...

[Amazon]

Ramię trapezu było środkową ściany bocznej. Wyliczyłam wysokość ściany bocznej (Pitagorasem), która jednocześnie była drugą środkową. Dalej twierdzenie o środkowych (podział 2:1) i Pitagorasem ten mały trójkącik złożony z \(\displaystyle{ \frac{1}{3}h}\), połowy podstawy i \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) ramienia tego trapezu.

[denatlu]

chyba niecałego ramienia tego trapezu?

[Amazon]

denatlu , napisałam \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) tego ramienia (a patrząc w tej "perspektywie": środkowej w trójkącie (ścianie bocznej).