VI OMG

[mariolawiki1]

puk, puk, jest tu ktoś?

[Vax]

Już po północy, więc pokażę szkice swoich rozwiązań

1:    

Najprościej było odjąć równania stronami, dojść do postaci:

\(\displaystyle{ (x-y)(x+y-4)=0}\)

Rozpatrzyć 2 przypadki, gdzie w jednym wyjdzie sprzeczność i jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x=y=1}\)

2:    

Tutaj nie ma co się za bardzo rozpisywać, po prostu z podobieństwa trójkątów to się szybko udowadniało

3:    

Wystarczy zauważyć, że dla a,b,c > 0 zachodzi nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{a}{\sqrt{a+b}} > \frac{a}{\sqrt{a+b+c}}}\)

Analogicznie dla b i c, następnie dodając stronami otrzymujemy:

\(\displaystyle{ L > \frac{a+b+c}{\sqrt{a+b+c}} = \sqrt{a+b+c}}\)

CND

4:    

W tym zadaniu należało zauważyć (AB to jakiś bok sześciokąta a K to punkt leżący na środku danego boku), że trójkąty AKX oraz KBX mają równe pola, analogicznie dla pozostałych trójkątów, z czego od razu wychodziło, że niezależnie od tego, gdzie jest punkt X suma pól tych czworokątów jest równa połowie pola sześciokąta

5:    

Należało zauważyć, że warunki zadania będą spełnione wtedy, i tylko wtedy, gdy pola będą wyglądały tak:

\(\displaystyle{ 100 \left\{\begin{array}{l} \overbrace{a -a + a -\ldots + a - a}^{100}\\-a + a - a \ldots - a + a\\\ldots -a + a - a +\ldots - a + a \end{array}}\)

gdzie a to dowolna liczba rzeczywista, suma obu przekątnych wynosi \(\displaystyle{ 100a-100a = 0}\)

6:    

Tutaj wypadałoby pokazać jakiś rysunek, bo tak to ciężko będzie wytłumaczyć, ale spróbuję napisać, w tym zadaniu należało dorysować drugi okrąg opisany na czworokącie BECF (suma przeciwległych miar kątów jest równa 180, więc można ) i następnie skorzystać z kątów wierzchołkowych oraz z tego, że kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary i szybko dochodziło się do tego, że dany kąt fi (ja go tak oznaczyłem) ma 90*, więc dane proste są prostopadłe, CND. jak ktoś będzie chciał zobaczyć rysunek to piszcie, dzisiaj już nie dam rady, ale później może wrzucę

7:    

Na początku przekształćmy dane równanie:

\(\displaystyle{ a^2-b^3=4 \Leftrightarrow (a-2)(a+2)=b^3}\)

Skoro a i b są nieparzyste, to mogą wystąpić jedynie 2 sytuacje:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a-2=1\\a+2=b^3\end{cases} \vee \begin{cases} a-2=b\\a+2=b^2\end{cases}}\)

W obu przypadkach wychodzi nam, że b jest liczbą niewymierną, więc nie istnieją takie nieparzyste liczby a i b, aby spełniały równanie: \(\displaystyle{ a^2-b^3=4}\) cnd.

Jak ktoś ma jakieś ,,ładniejsze" rozwiązanie to dobrze by było, jakby podał

Pozdrawiam.

[kaszubki]

No to ja też:

[mariolawiki1]

moje rozwiązania
pozdrawiam

[Vax]

No to może zacznijmy się wypowiadać co do poziomu trudności konkretnych zadań?

[mariolawiki1]

Chyba trudniejsze niż w ubiegłym roku. -- 26 paź 2010, o 00:09 --Tzn. mam na myśli ogólnie poziom tegorocznych zadań.

[Piotrek5000]

No to może zacznijmy się wypowiadać co do poziomu trudności konkretnych zadań?

Trudne bylo tylko zadanie 7 . W 5 mialem problem z sfromulowaniem dowodu.

Wie ktos moze kiedy bedzie lista osob zakfalifikowanych do 2 etapu?

[mariolawiki1]

Vax, wytłumacz mi proszę swoje rozwiązanie zadania 7.

[Vax]

Chodzi o rozwiązanie układów czy jak do tego doszedłem ?

Pozdrawiam.

[mariolawiki1]

O rozumowanie, wydaje mi się, że nie rozważyłeś wszystkich przypadków na wartość \(\displaystyle{ a-2}\) i \(\displaystyle{ a+2}\). Również pozdrawiam.

[kaszubki]

To ja też pozdrawiam.

[mariolawiki1]

Kaszubki, ucięło Ci rozwiązanie zadania 1, tzn w ogóle go nie ma . Szkoda, bo chciałam je zobaczyć

[Vax]

Hmm.. być może możesz mieć rację, mogłem przyjąć, że a i b muszą być naturalne, stąd tylko 2 przypadki, mogłoby być również \(\displaystyle{ a-2=b^2 \wedge a+2=b}\) lub \(\displaystyle{ a-2=b^3 \wedge a+2=1}\), tutaj również wychodzi b niewymierne, ale chyba tego nie uwzględniłem..

Pozdrawiam.

[mariolawiki1]

Dzięki za odpowiedź. Dobranoc

[kaszubki]

Nie ma?