Problem z liczbą 0,(9)

[juzef]

Ja chcę po prostu wykazać, iż mam rację i ukazać światu prawdę.

Żeby wykazać, że masz rację, musisz najpierw się dowiedzieć co to jest 0,(9), a później udowodnić, że nie jest równe 1. Powodzenia.

[Bierut]

OK. Następnym razem napiszę tu coś, gdy się będę uczył o granicach. Ktoś na tym forum mówił, że wtedy łatwiej to zrozumieć.

[Undre]

Jeśli używa się 0,(9) do jakichś obliczeń, to podajcie do jakich. Jeśli istnieje jakiś program, kalkulator, albo jakiekolwiek inne użądzenie, w którym po odpowiednich obliczeniach w wyniku otrzymamy: 0,(9); 0,9999999..., lub coś tego typu żeby natychmiast wzrokowo stwierdzić, że to ta liczba, to powiedzcie mi co to za gadżet;-)

0,(9) do obliczeń nie używamy, bo dla nas 0,(9) = 1, po co więc zapisywać to samo na dwa sposoby. Przy obliczeniach przeprowadzanych na komputerze, który nie rozumie pojęcia nieskończonej ilości dziewiątek po przecinku ( jego parametry są bowiem skończone ) nie zapiszesz liczby 0,(9) ... natomiast te dziewiątki po przecinku .. nie wiem czy pomoże Ci to jakkolwiek, ale co tam - wykonaj proste działania na kalkulatorze :

\(\displaystyle{ (1 3 ) } \div 3}\)

\(\displaystyle{ (1 \div 3 ) } 3}\)

Zapisy tych działań są równoważne matematycznie, aczkolwiek nie numerycznie, otrzymujesz bowiem różne wyniki ( jak długa mantysa, tyle cyfr istotnych )

[Sokół]

Zapisy tych działań są równoważne matematycznie, aczkolwiek nie numerycznie, otrzymujesz bowiem różne wyniki

moj kalkulator w tym drugim przypadaku tez napisal 1

[Bierut]

0,(9) do obliczeń nie używamy, bo dla nas 0,(9) = 1, po co więc zapisywać to samo na dwa sposoby.

No właśnie o to mi chodzi. Jak mówiłem liczba 0,(9) istnieje tylko w teori, a nie w praktyce. To zrozumiawszy można dopiero powiedzieć, że 0,(9)=1, bo tak naprawde 0,(9) się nie używa (nie istnieje w świecie rzeczywistym, tylko ktoś powiedział, że tak jest, może nawet to udowodnił).

Zapisy tych działań są równoważne matematycznie, aczkolwiek nie numerycznie, otrzymujesz bowiem różne wyniki ( jak długa mantysa, tyle cyfr istotnych )

Mi też na kalkulatorze w obu przypadkach w wyniku wyświetla się 1.

[Undre]

Jedyne co mogę powiedzieć to : wasze kalkulatory was oszukują

Proponuję mały eksperymencik w C++, który poprze powyższe stwierdzenie. Wprowadzimy liczbę zmiennoprzecinkową 0.7, po czym ją wypiszemy.

wersja 1 :

Kod: Zaznacz cały

#include <iostream>
using namespace std;
int main()  {
    float x=0.7;
    cout << x;
    system("PAUSE");
    return 0;
}

wersja 2 :

Kod: Zaznacz cały

#include <iostream>
using namespace std;
int main()  {
    float x=0.7;
    cout.precision(12); // wymuszam precyzję do 12 miejsc po przecinku
    cout << x;
    system("PAUSE");
    return 0;
}

Wersja pierwsza to właśnie wasza jedynka na kalkulatorze Wersję drugą zaś mam nadzieję umiecie wytłumaczyć.

No właśnie o to mi chodzi. Jak mówiłem liczba 0,(9) istnieje tylko w teorii, a nie w praktyce.

No i co z tego ? To, że się tak nie pisze nie oznacza, że taki zapis powinno się unicestwić. Masz dowód jego prawidłowości więc daj już spokój.

[MGT]

Chyba jeszcze nikt nie przytoczył wzoru na sume szeregu geometrycznego... z niego jednoznacznie wynika, że 0,(9) = 1 i już
Ważnym jest by zrozumieć pojęcie nieskończoności jako takiej i nieskończoności tego szeregu. Warto zauważyć, że nieskończone szeregi były dla starożytnych paradoksem.

A zatem:
\(\displaystyle{ a_{1} = 0,9\\
a_{2} = 0,09\\
a_{3} = 0,009\\
...
\\
q = \frac{1}{10}\\
\\
S = \frac{a_{1}}{1-q}\\
\\
S = \frac{0,9}{1-0,1} = \frac{0,9}{0,9} = 1}\)

[Undre]

Zapoznaj się lepiej z

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node57.html

, a wszystko stanie się jasne.

Jak to nikt nie przytoczył ? ...

[MGT]

Jak to nikt nie przytoczył ? ...

Faktycznie. Ta strona krzaczy się pod FF, więcz braku czasu nie czytałem jej dokładnie. Nie zmienia to jednak faktu iż istotą zrozumienia sprawy jest pojęcie nieskończoności

[Sokół]

Jedyne co mogę powiedzieć to : wasze kalkulatory was oszukują

ale dlaczego? Przeciez gdyby oszukiwaly, to by musialy swiadczyc nieprawde. No ale wiadomo, ze 0,(9)=1, wiec wszystko chyba okej moj kalkulator jest madry i wie, kiedy chodzi o 1/3, a kiedy o 0,3333333 (tyle cyfr max. moge wpisac )

[Bierut]

Jedyne co mogę powiedzieć to : wasze kalkulatory was oszukują

Kalkulator zamieszczony na tej stronie też daje 1 w obu przypadkach.

Wcześniej w tym temacie było powiedziane, że nie istnieje taka liczba r większa od zera, gdzie 0,(9)+r=1.
Podajcie jaka jest następna liczba (w zbiorze liczb wymiernych) zaraz po 1.
Będzie to liczba postaci 1,0000000... oczywiście zer jest nieskończenie wiele, ale na pewno istnieje taka liczba \(\displaystyle{ q>1}\).
Wtedy:
\(\displaystyle{ q-1=\mbox{r}}\)
\(\displaystyle{ q>1\Rightarrow\;q-1>0\Rightarrow\mbox{r}>0}\)

[g]

powiedzmy, ze \(\displaystyle{ q}\) jest "nastepna liczba wymierna po 1". to \(\displaystyle{ {q+1 \over 2}}\) czym jest? wedle tego nie moze byc wymierne, bo by bylo "bardziej nastepne".

[Bierut]

Rozpatrując to w liczbach całkowitych:
Znaleść jaka jest następna liczba zaraz po 1. Oczywiście rozwiązaniem jest 2, ale zapiszmy to jako \(\displaystyle{ q_{c}}\).
\(\displaystyle{ q_{c}>1}\)
\(\displaystyle{ \frac{q_{c}+1}{2}}\) nie jest liczbą całkowitą
wychodziłoby na to, że \(\displaystyle{ \frac{q+1}{2}}\) nie jest liczbą wymierną

Oczywiście ta pruba dowodu nie ma sensu (podobnie jak wasze próby udowodnienia, że 0,(9)=1), bo między każdą liczbą wymierną jest nieskończenie wiele liczb wymiernych. Chociaż jeśli przyjelibyśmy, że 0,0000000... ma nieskończenie wiele zer po przecinku i jednocześnie nie jest zerem, to jednak ma to jakiś sens.

Teraz przyszło mi do głowy jeszcze, że to co powiedział g, czyli czym jest \(\displaystyle{ \frac{q+1}{2}}\), potwierdza to o czym już tu wspominałem, że system liczbowy, którym się posługujemy nie jest wystarczająco dokładny dla takich liczb.

Wiem do czego g zmierza. On chce pokazać, że liczba \(\displaystyle{ q=1\Rightarrow0,(9)=1}\)
ale q>1, a 0,(9)

[g]

nieprawda, \(\displaystyle{ q}\) po prostu nie istnieje. wiele liczb wymiernych nie istnieje. cwiczenie dla ciebie - czy istnieje najmniejszy elemenr zbioru \(\displaystyle{ [\pi,4] \cap \mathbb{Q}}\)?

[Bierut]

Jeżeli \(\displaystyle{ q}\) nie istnieje, to 0,(9) także nie istnieje.
Więc problem się kończy, bo skoro 0,(9) nie istnieje, to nie może być równe 1.
I znowu dochodzimy do tego, że 0,(9) ma prawo bytu tylko w teori, podobnie jak \(\displaystyle{ q}\), czyli nie w świecie rzeczywistym.