[LX OM] III etap

[limes123]

Powodzenia wszystkim

[Wasilewski]

Sylwek, oby nie było stereometrii. I żeby geometrię dało się szybko przeliczyć.

[Swistak]

Sylwek mówi, że geo na finałach jest łatwiejsza niż na II etapach, bo się szybciej przelicza .
Ja też wszystkim życzę powodzenia i "do zobaczenia na IMO" xD.
Ja tak sobie ustawiam swój system wartości:
0-2: beznadziejnie
3-8: kiepściutko
9-12: w miarę
13-16: mogę być zadowolony
17-20: mogę być bardzo zadowolony
21-36: euforia .

Btw jeszcze nie zacząłem się pakować .

[jerzozwierz]

Ekhm. Zrobić w 3 gimnazjum 2 zadania na finale OM to jest "w miarę"????? xD Ja tam bym szalał z radości za 2 punkty xD
A, i oczywiście życzę powodzenia wszystkim finalistom i mam nadzieję że spotkamy się za rok

[Swistak]

Ale ja muszę równać do najlepszych i mi 2 pkt nie wystarczy . Sam fakt, że się dostałem do finału bardzo mnie cieszy, ale dobrze by było, jakbym go nie zawalił .

[ironleaf]

1. Każdy z wierzchołków sześciokąta wypukłego jest środkiem koła o promieniu równym długości nie dłuższego z boków sześciokąta zawierających ten wierzchołek. Udowodnić, że jeżeli część wspólna wszystkich sześciu kół (rozważanych wraz z brzegiem) jest niepusta, to sześciokąt jest foremny.
2. Niech S będzie zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny o obu współrzędnych całkowitych. Znaleźć najmniejszą liczbę całkowitą dodatnią k, dla której istnieje 60-elementowy podzbiór zbioru S o następującej własności: dla dowolnych dwóch różnych elementów A, B tego podzbioru istnieje taki punkt C zawarty w S, że pole trójkąta ABC jest równe k.
3. Niech P, Q, R będą wielomianami stopnia co najmniej jeden, o współczynnikach rzeczywistych, spełniającymi dla każdej liczby rzeczywistej x równości: P(Q(x)) równe Q(R(x)) równe R(P(x)). Wykazać, że wielomiany P, Q, R są równe.
++++++++++++++++++++++
O 3 maksach słyszałem, Swistak ruszył wszystkie 3 i liczy nawet na 12 pkt:P

[Dumel]

fajne zadanka

[tkrass]

Jak dla mnie, na oko, bardzo duży hardkor. Pomyślę głębiej jeszcze dzisiaj

[jerzozwierz]

I na moje oko TAKIEJ geometrii nie da rady przeliczyć biedny Sylwek. Pierwsze wygląda chyba najbardziej przystępnie, drugie jak dla mnie hardkor, trzecie raczej też, bo jeszcze niezbyt śmigam w wielomianach

[ironleaf]

I na moje oko TAKIEJ geometrii nie da rady przeliczyć biedny Sylwek.

Trafiony... Tylko geometrii nie zrobił. I dobrze oceniasz trudność.

[jerzozwierz]

Tak teraz mi się rzuciło w oczy. Czy drugie nie pachnie twierdzeniem Picka?

[ironleaf]

Tak teraz mi się rzuciło w oczy. Czy drugie nie pachnie twierdzeniem Picka?

Nie.
Hint: wzór na pole...

-

4. Niech \(\displaystyle{ x_1, x_2, ..., x_n}\) będą liczbami nieujemnymi, których suma wynosi 1. Udowodnić, że istnieją liczby \(\displaystyle{ a_1, a_2, ..., a_n}\) wybrane spośród \(\displaystyle{ 0, 1, 2, 3, 4}\) takie, że \(\displaystyle{ (a_1, a_2, ..., a_n)}\) różne od \(\displaystyle{ (2, 2, 2, ..., 2)}\) oraz
\(\displaystyle{ 2 \le a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n \le 2 + \frac{2} {3^n-1}.}\)
Proszę sz. p. Moderatora o przepisanie w TeXu, mi warunki nie pozwalają.
5. Sfera wpisana w czworościan \(\displaystyle{ ABCD}\)jest styczna do jego ścian\(\displaystyle{ BCD, ACD, ABD, ABC}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ P, Q, R, S}\). Odcinek \(\displaystyle{ PT}\) jest średnicą tej sfery, zaś punkty \(\displaystyle{ A', Q', R', S'}\) są punktami przecięcia prostych \(\displaystyle{ TA, TQ, TR, TS}\) z płaszczyzną \(\displaystyle{ BCD}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ A'}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ \triangle Q'R'S'}\).
6. Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą naturalną nie mniejszą od \(\displaystyle{ 3}\). Ciąg liczb nieujemnych \(\displaystyle{ (c_0, c_1, ..., c_n)}\) spełnia warunek \(\displaystyle{ c_p c_s+c_r c_t =c_{p+r} c_{r+s}}\)
dla wszystkich nieujemnych \(\displaystyle{ p, r, s, t}\) sumujących się do \(\displaystyle{ n}\). Wyznaczyć wszystkie możliwe wartości \(\displaystyle{ c_2}\), jeśli \(\displaystyle{ c_1}\) wynosi 1.

Zapisałem w \(\displaystyle{ \LaTeX - u}\). Mam nadzieję, że bez błędów

frej

[kaszubki]

Te wczorajsze zadania jednak bardziej mi się podobały :p

[patry93]

I jak? Ma ktoś wszystkie zrobione?
Zadania 1, 2 i 5 zdecydowanie najfajniejsze

[emator2]

Co tam zadania, mówcie kto wygrał?!

EDIT: Trochę się chyba pośpieszyłem
Ktoś zrobił wszystko?