Matematyka.pl

Finafin ==> Przypuszczam, że albo jak masz znajomości na uniwerku na którym jest komitet okr., albo jak twój nauczyciel takowe ma

A wracając jeszcze do zadań, nie wiem czy ktoś już wspomniał (jak tak to sorry, że się powielam) że 10 można było jeszcze bez korzystania z Schura (ja tak własnie zrobiłem) - wystarczyło być odrobinę obeznanym z nierównościami zachodzącymi w szczególności gdy \(\displaystyle{ a,\,b,\,c}\) są długościami boków trójkąta (chociaż nie tylko) i zastosować nierówność \(\displaystyle{ abc\geq (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}\) którą się dowodzi wręcz trywialnie, a wymnażając prawą stronę, przenosząc, dodając obustronnie 3abc i grupując dostajemy praktycznie prawie całą tezę: \(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}+c^{3}+6abc\geq (ab+bc+ca)(a+b+c)}\) i pozostaje tylko pokazać w dwóch linijkach że \(\displaystyle{ a+b+c\geq 3}\)

A zrobiłes w tych 4 rozwiązaniach jakies powazne bledy czy myslisz ze obcieli ci za ich opisy?

To ja 10. robiłe identycznie jak DEXiu - metodę wyczytałem w sumie w Pawłowskim.

Wydaje mi sie, ze rozwiazanie z zastosowaniem nierownosci Schura jest poprawne, tylko strasznie przekombinowane; mozna ja udowodnic stosujac jedna podstawowa nierownosc Cauchyego miedzy srednia arytmetyczna a geometryczna: z zalozenia mamy, ze

1= (ab+bc+ac)/3 stad na mocy nierownosci Cauchyego i podniesieniu obu stron do potegi 3/2 dostaniemy, ze 1>= abc. A zatem nierownosc do udowodnienia zapisujemy:
a^3 + b^3 + c^3 >= 9 - 6abc >= 9abc - 6abc= 3abc

Zatem a^3 + b^3 + c^3 >= 3abc, i po podzieleniu obustronnie przez 3 dostajemy nierownosc Cauchyego dla liczb a^3, b^3, c^3......znacznie prosciej i bez Schurow etc.

Łuki pisze:znacznie prosciej i bez Schurow etc.

Przede wszystkim znacznie błędniej. Klasyczny dowód przez założenie tezy.

Rozwiązanie Łukiego jest w oczywisty sposób błędne - AŻ TAK proste to zadanie nie jest.

Łuki ale żeś dał czadu Ale niestety jest tak jak mówi neworder i juzef - próbowałeś zrobić dowód przez założenie prawdziwości tezy, a to jest dopuszczalnie jedynie gdy wszędzie masz równoważności a niestety \(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3abc\,\not\Longleftrightarrow\,a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 9-6abc}\) (zachodzi tylko implikacja "w lewo" ale "w prawo" już nie)

12 pkt 2 za 1, 5 za 2, 5 za 3, 0 za 4. We wszystkich punktowanych zadaniach mialem czystomatematyczne dowody, zadne tam opisowe. Przewidywalem raczej 5,6,6,0, ale coz... W trzecim mi ucieli pewnie za to, ze mozna bylo krocej, bo ja z trygonometrii je robilem, i troche zawile, ale wszystko bylo przejrzyste To samo z 2, ktore zrobilem tak jak chyba kazdy zrobil.

A w I zrobiles przypadek, ze n jest nieparzyste?

przeciez można było najpierw udowodnić, że n jest parzyste. a w drugim mogłeś Twarz mieć jakieś nieudowodnione rzeczy - np. że pierw. piątego stopnia z x jest dla każdego iksa nieujemnego mniejszy rowny pierwiastkowi piątego stopnia z 3x. albo coś w tym stylu... Tam sporo było takch rzeczy, że można było nie zauważyć. Mam nadzieję, że ja zauważyłem wszystko...

Za długość rozwiązania nie ucinają punktów, może nie zauważyłeś jakiegoś dziwnego przypadku. Trochę dziwną masz tą punktację. Ja spodziewałem się czegos w stylu 6,6,6,5, ale jeśli punkty będą cięte za każdą bzdurę, to może być różnie. Mógłbyś przybliżyć w jaki sposób zrobiłeś pierwsze zadanie?

Ależ ja głupi jestem, rece mi opadły Zasadniczy błąd, faktycznie..... Twarz zdradź więcej szczegółów, bo podchodzimy pod ten sam Komitet Okręgowy....pali mnie ciekawość za co obcinają te punkty...

Łuki pisze:Zasadniczy błąd, faktycznie.....

w sensie co?

ymar ==> Łukiemu chodziło o zad. 10 do którego swoją propozycję przedstawił powyżej, lecz niestety okazała się ona omylna.
Łuki ==> Dobrze że nie odpadły bo byś już nie mógł zadań rozwiązywać

Każdemu się może zdarzyć

Ja np. w 9. o mały włos nie pominąłem dowodu faktu, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha_i\neq _j}\) o ile \(\displaystyle{ i\neq j}\), \(\displaystyle{ \alpha_i\in\mathbb{N}}\), to w \(\displaystyle{ \left(1+x^{2^{\alpha_1}}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+x^{2^{\alpha_k}}\right)}\) są same współczynniki nieparzyste...

Na stronie OM-a jest informacja, że wyników można spodziewać się w okolicach 20.01.2006r (w okolicach studniówek, np. dzień przed moją ).


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki