[LVII OM] Zadania I etapu

Post autor: **DEXiu** » 8 gru 2005, o 23:18

Finafin ==> Przypuszczam, że albo jak masz znajomości na uniwerku na którym jest komitet okr., albo jak twój nauczyciel takowe ma

A wracając jeszcze do zadań, nie wiem czy ktoś już wspomniał (jak tak to sorry, że się powielam) że 10 można było jeszcze bez korzystania z Schura (ja tak własnie zrobiłem) - wystarczyło być odrobinę obeznanym z nierównościami zachodzącymi w szczególności gdy \(\displaystyle{ a,\,b,\,c}\) są długościami boków trójkąta (chociaż nie tylko) i zastosować nierówność \(\displaystyle{ abc\geq (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}\) którą się dowodzi wręcz trywialnie, a wymnażając prawą stronę, przenosząc, dodając obustronnie 3abc i grupując dostajemy praktycznie prawie całą tezę: \(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}+c^{3}+6abc\geq (ab+bc+ca)(a+b+c)}\) i pozostaje tylko pokazać w dwóch linijkach że \(\displaystyle{ a+b+c\geq 3}\)

xnijhe · Post autor: **xnijhe** » 8 gru 2005, o 23:25

A zrobiłes w tych 4 rozwiązaniach jakies powazne bledy czy myslisz ze obcieli ci za ich opisy?

neworder · Post autor: **neworder** » 9 gru 2005, o 13:02

To ja 10. robiłe identycznie jak DEXiu - metodę wyczytałem w sumie w Pawłowskim.

Łuki · Post autor: **Łuki** » 9 gru 2005, o 18:02

Wydaje mi sie, ze rozwiazanie z zastosowaniem nierownosci Schura jest poprawne, tylko strasznie przekombinowane; mozna ja udowodnic stosujac jedna podstawowa nierownosc Cauchyego miedzy srednia arytmetyczna a geometryczna: z zalozenia mamy, ze

1= (ab+bc+ac)/3 stad na mocy nierownosci Cauchyego i podniesieniu obu stron do potegi 3/2 dostaniemy, ze 1>= abc. A zatem nierownosc do udowodnienia zapisujemy:
a^3 + b^3 + c^3 >= 9 - 6abc >= 9abc - 6abc= 3abc

Zatem a^3 + b^3 + c^3 >= 3abc, i po podzieleniu obustronnie przez 3 dostajemy nierownosc Cauchyego dla liczb a^3, b^3, c^3......znacznie prosciej i bez Schurow etc.

Post autor: **juzef** » 9 gru 2005, o 18:42

Łuki pisze:znacznie prosciej i bez Schurow etc.

Przede wszystkim znacznie błędniej. Klasyczny dowód przez założenie tezy.

neworder · Post autor: **neworder** » 9 gru 2005, o 19:49

Rozwiązanie Łukiego jest w oczywisty sposób błędne - AŻ TAK proste to zadanie nie jest.

Post autor: **DEXiu** » 9 gru 2005, o 20:43

Łuki ale żeś dał czadu Ale niestety jest tak jak mówi neworder i juzef - próbowałeś zrobić dowód przez założenie prawdziwości tezy, a to jest dopuszczalnie jedynie gdy wszędzie masz równoważności a niestety \(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3abc\,\not\Longleftrightarrow\,a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 9-6abc}\) (zachodzi tylko implikacja "w lewo" ale "w prawo" już nie)

Twarz · Post autor: **Twarz** » 10 gru 2005, o 08:20

12 pkt 2 za 1, 5 za 2, 5 za 3, 0 za 4. We wszystkich punktowanych zadaniach mialem czystomatematyczne dowody, zadne tam opisowe. Przewidywalem raczej 5,6,6,0, ale coz... W trzecim mi ucieli pewnie za to, ze mozna bylo krocej, bo ja z trygonometrii je robilem, i troche zawile, ale wszystko bylo przejrzyste To samo z 2, ktore zrobilem tak jak chyba kazdy zrobil.

Czesio · Post autor: **Czesio** » 10 gru 2005, o 10:24

A w I zrobiles przypadek, ze n jest nieparzyste?

ymar · Post autor: **ymar** » 10 gru 2005, o 11:08

przeciez można było najpierw udowodnić, że n jest parzyste. a w drugim mogłeś Twarz mieć jakieś nieudowodnione rzeczy - np. że pierw. piątego stopnia z x jest dla każdego iksa nieujemnego mniejszy rowny pierwiastkowi piątego stopnia z 3x. albo coś w tym stylu... Tam sporo było takch rzeczy, że można było nie zauważyć. Mam nadzieję, że ja zauważyłem wszystko...

Post autor: **juzef** » 10 gru 2005, o 12:01

Za długość rozwiązania nie ucinają punktów, może nie zauważyłeś jakiegoś dziwnego przypadku. Trochę dziwną masz tą punktację. Ja spodziewałem się czegos w stylu 6,6,6,5, ale jeśli punkty będą cięte za każdą bzdurę, to może być różnie. Mógłbyś przybliżyć w jaki sposób zrobiłeś pierwsze zadanie?

Łuki · Post autor: **Łuki** » 10 gru 2005, o 19:46

Ależ ja głupi jestem, rece mi opadły Zasadniczy błąd, faktycznie..... Twarz zdradź więcej szczegółów, bo podchodzimy pod ten sam Komitet Okręgowy....pali mnie ciekawość za co obcinają te punkty...

ymar · Post autor: **ymar** » 10 gru 2005, o 21:24

Łuki pisze:Zasadniczy błąd, faktycznie.....

w sensie co?

Post autor: **DEXiu** » 10 gru 2005, o 23:16

ymar ==> Łukiemu chodziło o zad. 10 do którego swoją propozycję przedstawił powyżej, lecz niestety okazała się ona omylna.
Łuki ==> Dobrze że nie odpadły bo byś już nie mógł zadań rozwiązywać

Post autor: **Tomasz Rużycki** » 11 gru 2005, o 09:50

Każdemu się może zdarzyć

Ja np. w 9. o mały włos nie pominąłem dowodu faktu, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha_i\neq _j}\) o ile \(\displaystyle{ i\neq j}\), \(\displaystyle{ \alpha_i\in\mathbb{N}}\), to w \(\displaystyle{ \left(1+x^{2^{\alpha_1}}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+x^{2^{\alpha_k}}\right)}\) są same współczynniki nieparzyste...

Na stronie OM-a jest informacja, że wyników można spodziewać się w okolicach 20.01.2006r (w okolicach studniówek, np. dzień przed moją ).

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki