Całki dla smakoszy

[arek1357]

wsk.:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{a} f(a-x)dx= \int_{0}^{a} f(x)dx }\)

a co za tym idzie:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } ln(\cos x)=\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } ln(\sin x)}\)

i należy te całki dodać...

i koniec...

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \sqrt[3]{x^2+x+1} } }\)

[azanus111]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{ \sqrt[3]{x^2+x+1} } = \int_{}^{} \left[ \left( x+ \frac{1}{2} \right)^2+ \frac{3}{4} \right]^{- \frac{1}{3} } = \sqrt[3]{ \frac{4}{3} } \int_{}^{} \left\{ \left[ \frac{2}{ \sqrt{3} }\left( x+ \frac{1}{2} \right) \right]^2+1 \right\}^{- \frac{1}{3} } dx}\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{ \sqrt{3} }\left( x+ \frac{1}{2} \right)=u }\)

\(\displaystyle{ x= \frac{ \sqrt{3} }{2}u - \frac{1}{2} }\)

\(\displaystyle{ dx=\frac{ \sqrt{3} }{2}du}\)


więc mamy:

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2} \sqrt[3]{\frac{4}{3} } \int_{}^{} \left( u^2+1\right)^{- \frac{1}{3} }du= }\)

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2} \sqrt[3]{\frac{4}{3} } \int_{}^{} \left( u-i\right)^{- \frac{1}{3} }\left( u+i\right)^{- \frac{1}{3} }du= }\)

\(\displaystyle{ u-i=v , u=v+i , du=dv}\)

\(\displaystyle{
\frac{ \sqrt{3} }{2} \sqrt[3]{\frac{4}{3} } \int_{}^{} v^{- \frac{1}{3} } \left( v+2i\right)^{- \frac{1}{3} }dv}\)


\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2} \sqrt[3]{\frac{4}{3} } \int_{}^{} v^{- \frac{1}{3} } \left( 2i\right)^{- \frac{1}{3} }\left( \frac{1}{2i}v+1 \right)^{- \frac{1}{3} } dv}\)

kolejne podstawienie:

\(\displaystyle{ y=\frac{1}{2i}v , dv=2idy}\)

po uproszczeniu:

\(\displaystyle{ (-1)^{- \frac{1}{3} } \frac{ \sqrt{3} }{2 \cdot \sqrt[3]{3} } \int_{}^{} y^{- \frac{1}{3} }\left( 1+y\right)^{- \frac{1}{3} }dy }\)

następne podstawienie:

\(\displaystyle{ y=-t , dy=-dt }\)


\(\displaystyle{ \frac{\left( 1+i \sqrt{3} \right) \sqrt{3} }{4 \sqrt[3]{3} } \int_{}^{} t^{- \frac{1}{3} }\left( 1-t\right)^{- \frac{1}{3} }dt= }\)


\(\displaystyle{ \frac{\left( \sqrt{3} +3i\right)}{4 \sqrt[3]{3} } \int_{}^{} t^{\frac{2}{3}-1}\left( 1-t\right)^{\frac{2}{3} -1}dt=\frac{\left( \sqrt{3} +3i\right)}{4 \sqrt[3]{3} } B\left( t; \frac{2}{3} , \frac{2}{3} \right) }\)

po dojściu do pierwszej zmiennej - \(\displaystyle{ x }\) otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{\left( \sqrt{3} +3i\right)}{4 \sqrt[3]{3} } B \left( \frac{3+i \sqrt{3}+i2 \sqrt{3}x }{6} ; \frac{2}{3} , \frac{2}{3} \right)}\)

jest to:

incomplete beta function