Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
jeśli dobrze widzę, to z Jensena chcesz zrobić takie szacowanie \(\displaystyle{ f(y)+f(z)+f(t) \ge 3 f(-\frac{1}{3}x)}\) i potem z powyższego wykresu ma wynikać teza
problem w tym, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest wypukła, więc Jensenem tego nie udowodnisz
Niech \(\displaystyle{ x_1,x_2,\cdots,x_n}\) liczby rzczywiste takie ze
(a)\(\displaystyle{ x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n}\)
(b)\(\displaystyle{ x_1 , x_2 , \cdots , x_n \in \left( -\infty ,+\infty \right)}\)
(c)\(\displaystyle{ x_1+x_2+\cdots+x_n=C}\) (stała)
oraz f jest wklęsła w \(\displaystyle{ \left(-\infty,c \right]}\) i wypukła w \(\displaystyle{ left[c,+infty
ight)}\)
Niech \(\displaystyle{ F=f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}\)
to :F ma mimimum dla \(\displaystyle{ x_{2}=x_3=\cdots =x_n}\)
oraz: F ma maksimum dla \(\displaystyle{ x_1=x_2=\cdots =x_{n-1}}\)
Dowód
Weżmy \(\displaystyle{ x_1,x_2,\cdots, x_i \in \left(-\infty,c \right]}\)
poniewaz f jest wklęsła w \(\displaystyle{ \left(-\infty,c \right]}\)
to mamy \(\displaystyle{ f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_i) \ge (i-1)f(c)+f(x_1+x_2+\cdots+x_i-(i-1)c)}\)
oraz \(\displaystyle{ (i-1)f(c)+f(x_{i+1})+f(x_{i+2})+\cdots+f(x_{n}) \ge (n-1)f(\frac{(i-1)c+x_{i+1}+\cdots+x_n}{n-1})}\)
wiec \(\displaystyle{ f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n) \ge (n-1)f(\frac{(i-1)c+x_{i+1}+\cdots+x_n}{n-1})+f(x_1+x_2+\cdots+x_i-(i-1)c)}\)
ckd.
