[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

[porfirion]

Rozważmy \(\displaystyle{ f(x)=ax^{2}+bx+c}\) Wbrew zadaniu, niech pierwiastek z delty będzie całkowity. Początkowy warunek jest równoważny: \(\displaystyle{ p=a(10- \frac{-b+ \sqrt{\Delta} }{2a})(10- \frac{-b- \sqrt{\Delta} }{2a})}\) Łatwo szacujemy, że oba nawiasy są większe od \(\displaystyle{ 1}\).

-- 16 gru 2012, o 20:56 --

Z nowym poczekam, aż (i o ile) rozwiązanie zostanie zatwierdzone

[Ponewor]

Jest git

[porfirion]

Dany jest sześciokąt o przeciwległych bokach równoległych. Dla każdej pary boków równoległych rozważamy prostą łączącą ich środki. Dowieść, że proste te przecinają się w jednym punkcie.

[Vax]

Ukryta treść:    

AU

1ooq6w.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 415 razy

Oznaczenia jak na rysunku. Korzystamy ze znanego faktu, że prosta łącząca środki równoległych boków i przekątne trapezu są współpękowe. Z twierdzenia sinusów w trójkącie \(\displaystyle{ \triangle AMG}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \sin AMG = \frac{|AG|\sin MGA}{|AM|}}\), podobnie w trójkącie \(\displaystyle{ \triangle GMB}\) wyznaczamy \(\displaystyle{ \sin GMB = \frac{|BG|\sin BGM}{|BM|}}\) skąd \(\displaystyle{ \frac{\sin GMB}{\sin AMG} = \frac{|AM|}{|BM|}}\), jednak \(\displaystyle{ \triangle AMB \sim \triangle DME}\), więc \(\displaystyle{ \frac{|AM|}{|BM|} = \frac{|AD|}{|BE|}}\), analogicznie wyznaczamy \(\displaystyle{ \frac{\sin IOD}{\sin COI} = \frac{|CF|}{|AD|}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{\sin KNF}{\sin ENK} = \frac{|BE|}{|CF|}}\), teza zadania wynika więc z trygonometrycznej wersji twierdzenia Cevy.

Dany jest trójkat nierównoramienny \(\displaystyle{ ABC}\). Dwusieczne kątów \(\displaystyle{ \angle CAB \ , \ \angle ABC \ , \ \angle BCA}\) przecinają boki \(\displaystyle{ BC \ , \ CA \ , \ AB}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D \ , \ E \ , \ F}\). Symetralne odcinków \(\displaystyle{ AD \ , \ BE \ , \ CF}\) przecinają proste \(\displaystyle{ BC \ , \ CA \ , \ AB}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ X \ , \ Y \ , \ Z}\). Dowieść, że punkty \(\displaystyle{ X \ , \ Y \ , \ Z}\) leżą na jednej prostej.

[humanistyczna dusza]

Rozważmy \(\displaystyle{ f(x)=ax^{2}+bx+c}\) Wbrew zadaniu, niech pierwiastek z delty będzie całkowity. Początkowy warunek jest równoważny: \(\displaystyle{ p=a(10- \frac{-b+ \sqrt{\Delta} }{2a})(10- \frac{-b- \sqrt{\Delta} }{2a})}\) Łatwo szacujemy, że oba nawiasy są większe od \(\displaystyle{ 1}\).

-- 16 gru 2012, o 20:56 --

Z nowym poczekam, aż (i o ile) rozwiązanie zostanie zatwierdzone

Napisz, skąd wiesz, że nawiasy są całkowite.

[timon92]

istotniejsze jest to, skąd wie że delta jest nieujemna

[Ponewor]

Z warunków zadania wynika, że to co po prawej stronie ma być całkowite.
A u nas prawa strona jest albo niecałkowita, albo całkowita nie pierwsza.

A delta jest nieujemna, bo takie było założenie nie wprost.

[Panda]

Dla \(\displaystyle{ \Delta<0}\) teza oczywista. Ogólnie, zadaniu brakuje komentarza, jak ktoś nie zna to się musi pogimnastykować, żeby rozszyfrować "oczywiste" przejścia.
Warte dodania jest, że \(\displaystyle{ p=f(10)}\) bo tak wynika ze sprytnej definicji \(\displaystyle{ f}\). \(\displaystyle{ a,b,c}\) naturalne i podobno (nie sprawdzałem) oba nawiasy \(\displaystyle{ >1}\), więc musi być \(\displaystyle{ a=1}\), ale należy jeszcze udowodnić, że wtedy nawiasy są całkowite (bo jeśli nie są, mogą być postaci \(\displaystyle{ pt,p/t}\)), a to wynika z \(\displaystyle{ b \equiv_{2} \sqrt{b^{2}-4ac}}\).

[Ponewor]

Ależ nie trzeba dowodzić, że nawiasy są całkowite. Jak prawa strona będzie niecałkowita to sprzeczność. Ojejciu no to przecież skrót, a chyba nie chcemy się bawić w formalizm?

[humanistyczna dusza]

Jest pewna istotna różnica pomiędzy "prawa strona całkowita", a "nawiasy są całkowite". Iloczyn liczb niecałkowitych może być liczbą całkowitą.
Nie wiem skąd Panda wnioskujesz, że \(\displaystyle{ a = 1}\).

Teza na końcu wynika na pewno z lematu Gaussa, ale sądzę, że to trochę przegięcie, żeby używać takich rzeczy. Generalnie zadanie pochodzi z Musztariego i wrzuciłem je, ponieważ jak je kiedyś robiłem, to nie potrafiłem uargumentować tej końcówki właśnie.

[Panda]

Jeśli \(\displaystyle{ a>1}\), to albo reszta prawej strony niecałkowita i źle, albo całkowita i \(\displaystyle{ p}\) złożone.

[Ponewor]

Jak iloczyn liczb niecałkowitych będzie całkowity to po prawej stronie liczba złożona (prócz a równego jeden) i nadal sprzeczność.

[porfirion]

Jeśli \(\displaystyle{ a=1}\) to wszystko ładnie śmiga (szacujemy mniejszy nawias i wychodzi, że l.pierwsza jest złożona). Humanistyczna dusza - masz rację, to rozwiązanie jest błędne. Panda - wyjaśnij precyzyjniej, czemu \(\displaystyle{ a=1}\), bo to kończy zadanie. Ponewor, twoja argumentacja jest całkowicie błędna...
Jedna rzecz wydaje się być oczywista - rozwiązanie musi bazować na trójmianie - zbyt ładnie pasuje.

[Panda]

\(\displaystyle{ (a>1 \wedge p \in \mathbb{P}) \rightarrow \frac{p}{a} = 1}\), bo \(\displaystyle{ p \in \mathbb{P}}\), a to ponoć nieprawda, bo oba nawiasy \(\displaystyle{ >1}\).

Skończmy to już -- 23 grudnia 2012, 21:08 --Aktualne, odświeżam bo Vax sie wstydzi:

Ukryta treść:    

AU

1ooq6w.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 415 razy

Dany jest trójkat nierównoramienny \(\displaystyle{ ABC}\). Dwusieczne kątów \(\displaystyle{ \angle CAB \ , \ \angle ABC \ , \ \angle BCA}\) przecinają boki \(\displaystyle{ BC \ , \ CA \ , \ AB}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D \ , \ E \ , \ F}\). Symetralne odcinków \(\displaystyle{ AD \ , \ BE \ , \ CF}\) przecinają proste \(\displaystyle{ BC \ , \ CA \ , \ AB}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ X \ , \ Y \ , \ Z}\). Dowieść, że punkty \(\displaystyle{ X \ , \ Y \ , \ Z}\) leżą na jednej prostej.

[Vax]

Coś Panda nie ogarnął i mu się nie odświeżyło, więc przypominam o aktualnym zadaniu

Dany jest trójkat nierównoramienny \(\displaystyle{ ABC}\). Dwusieczne kątów \(\displaystyle{ \angle CAB \ , \ \angle ABC \ , \ \angle BCA}\) przecinają boki \(\displaystyle{ BC \ , \ CA \ , \ AB}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D \ , \ E \ , \ F}\). Symetralne odcinków \(\displaystyle{ AD \ , \ BE \ , \ CF}\) przecinają proste \(\displaystyle{ BC \ , \ CA \ , \ AB}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ X \ , \ Y \ , \ Z}\). Dowieść, że punkty \(\displaystyle{ X \ , \ Y \ , \ Z}\) leżą na jednej prostej.