Strona 27 z 95
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
: 14 lis 2010, o 19:48
autor: justynian
Nie tutaj miał być ten post, przepraszam ...
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
: 14 lis 2010, o 19:52
autor: Luxxar
Piotr Rutkowski pisze:Myślę że czas zapoznać forumowiczów z kilkoma znanymi w niektórych kręgach nierównościami.
Udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \forall_{a,b,c\in \mathbb{R}_{+}} \ (\sum_{cyc}a^{2})^{2}\geq 3\sum_{cyc}a^{3}b}\)
Może mnie ktoś oświecić i powiedzieć co znaczy
\(\displaystyle{ \sum_{cyc}}\)
\(\displaystyle{ (\sum_{cyc}a^{2})^{2}\ge ..}\)
Gnębi mnie ten "cyc" na dole
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
: 14 lis 2010, o 20:16
autor: Dumel
to wiadomo z kontekstu. jak rozważasz k zmiennych to
\(\displaystyle{ \sum_{cyc}^{}f(x_1,x_2,...,x_k)=f(x_1,...,x_k)+f(x_2,x_3,...,x_k,x_1)+...+f(x_k,x_1,...,x_{k-1})}\)
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
: 14 lis 2010, o 22:31
autor: darek20
jak bedzie ok to wtedy wrzuce nowe
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
: 14 lis 2010, o 22:35
autor: timon92
jest źle, bo ta druga nierówność jest w drugą stronę
Przypominam treść aktualnego zadania:
\(\displaystyle{ x,y,z > 0, \quad x^2+y^2+z^2=3}\). Znaleźć minimum wyrażenia \(\displaystyle{ A = \frac{x^2+1}{x} +\frac{y^2+1}{y} +\frac{z^2+1}{z} - \frac{1}{x+y+z}}\)
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
: 14 lis 2010, o 22:39
autor: kaszubki
Jest w dobrą. najpierw minus, czyli zmiana znaku, potem odwrotność czyli zmiana znaku. Jest git.
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
: 14 lis 2010, o 22:43
autor: timon92
jest źle, gdyż darek20 chce korzystać z nieprawdziwej nierówności \(\displaystyle{ (a+b+c)^2 \ge 3(a^2+b^2+c^2)}\)
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
: 16 lis 2010, o 15:43
autor: darek20
podobne coś
\(\displaystyle{ x,y,z > 0, \quad x^2+y^2+z^2=1}\)
Znaleźć minimum
\(\displaystyle{ A= \frac{1}{1-x} +\frac{1}{1-y}+ \frac{1}{1-z}}\)
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
: 16 lis 2010, o 17:02
autor: timon92
nowe:
\(\displaystyle{ a,b,c}\) dodatnie. Udowodnić, że
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{a^3+7abc}+\sqrt[3]{b^3+7abc}+\sqrt[3]{c^3+7abc} \le 2a+2b+2c}\)
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
: 16 lis 2010, o 18:18
autor: ordyh
\(\displaystyle{ a,b,c>0}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{2a+b+c} + \frac{b}{2b+c+a} + \frac{c}{2c+a+b} \leq \frac{3}{4}}\)
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
: 16 lis 2010, o 19:12
autor: kaszubki
nowe:
Niech
\(\displaystyle{ a,b,c,d}\) będą dodatnie i
\(\displaystyle{ abcd=1}\).
Wykaż, że
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{1+a+a^2+a^3} \ge 1}\).
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
: 16 lis 2010, o 19:54
autor: adriano1992
Nowe: a,b,c>0
\(\displaystyle{ \sum_{cyc}^{} \frac{1}{a+b+1} \ge 1 \Rightarrow a+b+c \ge ab+bc+ac}\)
Halo, halo! kaszubki był pierwszy, więc obowiązuje jego zadanie.
tkrass
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
: 16 lis 2010, o 20:22
autor: timon92
rozwiązanie
tkrass, rozwiązanie
adriano1992 jest ok
nowe:
adriano1992 pisze:a,b,c>0
\(\displaystyle{ \sum_{cyc}^{} \frac{1}{a+b+1} \ge 1 \Rightarrow a+b+c \ge ab+bc+ac}\)
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
: 16 lis 2010, o 20:36
autor: tkrass
Istotnie, jego rozwiązanie jest ok. Nie wczytywałem się, po prostu wydało mi się, że dane są x, y, z a nie a, b, c
[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
: 16 lis 2010, o 20:39
autor: kaszubki
Przegrałeś. Funkcja, której używasz NIE jest wypukła dla wszytskich \(\displaystyle{ x}\).
Chyba dalej obowiązuje moje zadanie