Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"

[kolanko]

Mamy punkt A. punkt A ma taka sama odległość to dwusiecznej y=x-1 jak punkt A' . teraz punkt A' jest tak samo oddalony od dwusiecznej x=1 jak punkt A'' . i teraz juz prosto.
\(\displaystyle{ B=(1,5)}\)
\(\displaystyle{ C=(-4,-5)}\)

o ile sie gdzies nie machnąłem

[czachur]

Macie parę zadań do rozkminy

1. Na walcu obrotowym o promieniu podstawy r i wysokości h opisano stożek obrotowy tak, że powierzchnia boczna stożka do górnej podstawy walca, a dolna podstawa walca i podstawa stożka są kołami współśrodkowymi. Znaleźć promień podstawy i wysokość stożka, dla których objętość stożka będzie najmniejsza

2. Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu wzdłuż tworzącej i rozwinięciu na płaszczyźnie tworzy półkole o promieniu 1. Podstawę stożka dorysowano stycznie do tego półkola tak, by powstała figura (siatka stożka) była symetryczna.
a) wyznaczyć promień podstawy stożka, jego wysokość i kąt rozwarcia
b) obliczyć promień okręgu opisanego na siatce stożka

3.Dane są liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\) oraz \(\displaystyle{ k}\) , przy czym \(\displaystyle{ k<n}\). Powarzamy \(\displaystyle{ n}\) razy doświadczenie, które za każdym razem z p-wem \(\displaystyle{ p}\) kończy się sukcesem i z p-wem \(\displaystyle{ 1-p}\) porażką. Znaleźć \(\displaystyle{ p}\) , dla którego prawdopodobieństwo tego, że dokładnie \(\displaystyle{ k}\) prób skończy się sukcesem, jest możliwie największe.

[enigm32]

1. Na walcu obrotowym o promieniu podstawy r i wysokości h opisano stożek obrotowy tak, że powierzchnia boczna stożka do górnej podstawy walca, a dolna podstawa walca i podstawa stożka są kołami współśrodkowymi. Znaleźć promień podstawy i wysokość stożka, dla których objętość stożka będzie najmniejsza

Niech \(\displaystyle{ R=r+x}\) - promień podstawy stożka,
wtedy z podobieństwa trójkątów, mamy, że \(\displaystyle{ H=\frac{hr}{x}+h}\) - wysokość stożka.
Zatem \(\displaystyle{ V(x)=\frac{1}{3}\pi h \frac{(r+x)^3}{x}}\).
Szukamy x, dla którego wyrażenie \(\displaystyle{ W(x)=\frac{(r+x)^3}{x}}\) osiąga najmneijszą wartość.
\(\displaystyle{ W'(x)=\frac{2 \cdot (x+r)^2 \cdot (x-\frac{1}{2}r)}{x^2}\\
W_{min}(x)=W(\frac{1}{2}r)}\)
Odp.: \(\displaystyle{ \begin{cases} R=\frac{3}{2}r\\ H=3h \end{cases}}\).

-- 26 marca 2009, 19:03 --

2. Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu wzdłuż tworzącej i rozwinięciu na płaszczyźnie tworzy półkole o promieniu 1. Podstawę stożka dorysowano stycznie do tego półkola tak, by powstała figura (siatka stożka) była symetryczna.a) wyznaczyć promień podstawy stożka, jego wysokość i kąt rozwarciab) obliczyć promień okręgu opisanego na siatce stożka

a)
\(\displaystyle{ 2\pi r=\pi \Rightarrow r=\frac{1}{2}}\) - promień podstawy
\(\displaystyle{ H^2=1-\frac{1}{4} \Rightarrow H=\frac{\sqrt{3}}{2}}\) - wysokość stożka
\(\displaystyle{ sin \alpha= \frac{1}{2} \Rightarrow 2\alpha=60^0}\) - kąt rozwarcia

b)
Odpowiedni rysunek i
\(\displaystyle{ 1+(2-R)^2=R^2 \Rightarrow R=\frac{5}{4}}\) - promień okręgu opisanego na siatce

-- 26 marca 2009, 19:26 --

3.Dane są liczby naturalne oraz , przy czym . Powarzamy razy doświadczenie, które za każdym razem z p-wem kończy się sukcesem i z p-wem porażką. Znaleźć , dla którego prawdopodobieństwo tego, że dokładnie prób skończy się sukcesem, jest możliwie największe.

\(\displaystyle{ P_n(k)= {n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}}\)
Z nier. pomiędzy śr. geometryczną i śr. arytmetyczną mamy, że
\(\displaystyle{ P_n(k)= {n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \le {n \choose k} \cdot (\frac{kp+(n-k)(1-p)}{n})^n}\)
No a równość zajdzie, gdy \(\displaystyle{ p=1-p \Rightarrow p=\frac{1}{2}}\)

[owen1011]

enigm32 dam sobie reke odciac że bedziesz laureatem pierwszego stopnia w finale

[kolanko]

a ja obie ;p kurde prawdopodobienstwo lezy u mnie niech to fiks :/ nie ogarniam tego. reszta jakos leci ... ale prawdopodobienstwo mnie niszczy.

[enigm32]

Nie no bez przesady... Różnie może być... Wiecie sami jak na takich olimpiadach bywa, zrobisz jakiś głupi błąd i wszystko się sypie, a czasu mało...
Właśnie rozwiązałem sobie fajny układ ze "starej" matury na 6:
1. Rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{log_yz}+z^{log_yx}=512 \\
y^{log_zx}+x^{log_zy}=8\\
z^{log_xy}+y^{log_xz}=2\sqrt{2} \end{cases}}\).

[kolanko]

Jakas podp ? do logarytmów ? :>

-- 27 marca 2009, 11:32 --

Doszedłem do postaci :
\(\displaystyle{ z^{log_yx}=256}\)
\(\displaystyle{ y^{log_zy}=4}\)
\(\displaystyle{ z^{log_xz}=\sqrt{2}}\)


Ale co dalej to ja nie wiem ..-- 27 marca 2009, 12:01 --Doszedłem ... ale masakra była 2h w plecy ;p tyle co trwa całe AGH

odp :
\(\displaystyle{ x=16,y=2,z=4}\)

Podaj ktos swój sposob pewnie jest krótszy od mojego ;p

[enigm32]

Muszę Cię zasmucić, bo to nie jest pełne rozwiązanie... Albo Twój sposób jest trochę "naciągany", albo gdzieś się pomyliłeś, coś przeoczyłeś. Wrzuć szkic Twojego rozw., to sprawdzimy.

[kolanko]

pozniej doszedlem do tego ze to musi byc suma potęg 2
no i zapisalem ze
\(\displaystyle{ x=2^a}\)
\(\displaystyle{ y=a^b}\)
\(\displaystyle{ z=a^c}\)

no i pewnie beda jeszcze rozwiązania ujemne co ? :>
bo tam mialem kwadraty . ale powyciągalem tylko dodatnie ..
kobieca intuicja mnie zawiodła ;D


A chlopie jak ja mam CI przepisac to co naskrobalem w 2 h to głowa mała

[enigm32]

pozniej doszedlem do tego ze to musi byc suma potęg 2
no i zapisalem ze
\(\displaystyle{ x=2^a}\)
\(\displaystyle{ y=a^b}\)
\(\displaystyle{ z=a^c}\)

Co to są te liczby a, b, c? Jakieś podstawienie, dowolne?
Ujemne nie mogą wyjść..., co wynika z def. logarytmu.

[Sylwek]

Nie startuję w tym konkursie, ale zadanko zrobię

Najpierw dziedzina, wiadomo, potem z ostatniego:
\(\displaystyle{ z^{log_x y}=z^{\frac{log_z y}{log_z x}} = \left( z^{log_z y} \right)^{log_x z} = y^{log_x z}}\), czyli ostatnie równanie wygląda nastepująco: \(\displaystyle{ y^{log_x z} = \sqrt{2}}\). Podobnie z drugiego: \(\displaystyle{ y^{log_z x}=4}\), czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases}log_x z = log_y \sqrt{2} \\ log_z x= log_y 4 = 4 \log_y \sqrt{2} \end{cases}}\)
Ale wiemy, że \(\displaystyle{ log_x z \cdot log_z x = 1}\), to przemnażamy powyższy układ stronami i dostajemy:
\(\displaystyle{ 1 = 4 (log_y \sqrt{2})^2 \Rightarrow (y=2 \vee y=\frac{1}{2})}\), itp.

[enigm32]

kobieca intuicja mnie zawiodła ;D

A chlopie jak ja mam CI przepisac to co naskrobalem w 2 h to głowa mała

Hehe, to co Ty, stary, przez 2 h pisałeś całe rozw....? Myślałem, że tyle zajęło Ci poprostu kminienie, a "tekstu" mniej...
Co do intuicji, to w tym momencie jest ona niepotrzebna, prawidłowe rachunki powinny dać prawidłowy wynik.

[kolanko]

Kurcze zacząlem jak Sylwek skonczylem jak ja nie nadaje sie do tego konkursu ;p nie wiem jakim cudem przeszedlem do finału ... czarna rozpacz.

Hehe, to co Ty, stary, przez 2 h pisałeś całe rozw....? Myślałem, że tyle zajęło Ci poprostu kminienie, a "tekstu" mniej...

no modzilem jak moglem, doszedlem do tego co dalem na forum przedtem. do tego co sylwek na poczatku. a zapomnialem o tym zeby zamienic cale równanie na logarytmy... nie pomyslalem o tym nawet kurde..





Mam tu takie proste dla was jakies
Rozwiazac w naturalnych
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} = 1}\)


Rozwiazac :
\(\displaystyle{ x+y+z+t=x^2+y^2+z^2+t^2=1}\)

[enigm32]

Kurcze zacząlem jak Sylwek skonczylem jak ja nie nadaje sie do tego konkursu ;p nie wiem jakim cudem przeszedlem do finału ... czarna rozpacz.

Do finału nie było trudno przejść. Tyle wiedzy ile trzebabyło mieć, to na pewno posiadasz.
Początek rozwiązania jest dosyć oczywisty, ale ja na przykład kończyłem trochę inaczej niż Sylwek.

[Sylwek]

Do finału nie było trudno przejść. Tyle wiedzy ile trzebabyło mieć, to na pewno posiadasz.

Ale go pocieszyłeś . Moim zdaniem to zadanie nie pojawiłoby się nawet na finale tego konkursu, więc bez obaw.