[LVII OM] Zadania I etapu

Post autor: **Tomasz Rużycki** » 6 gru 2005, o 00:05

W 11. pominąłeś przypadek, gdy A,C,K są współliniowe (mam nadzieję, że nie pomyliłem literek).

Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

Czesio · Post autor: **Czesio** » 6 gru 2005, o 00:19

A,P,C ; ale w sumie na jedno wychodzi A jak się robi 12?

jh · Post autor: jh » 6 gru 2005, o 00:33

9 - najpierw lemat, że (x+1)^2^k ma tylko 2 współczynniki nieparzyste - jedynki przy najwyższej i najniższej potędze (przez indukcję); potem dowodzę, że iloczyn m wielomianów w takich postaciach o parami różnych wartościach k ma 2^m nieparzystych współczynników; ogólnie trochę opisówka, ale na pewno nie tak naciągana jak w zadaniu 8
10 - z Kourliandtchika za pomocą nierówności Schura sprowadzam do a+b+c>=3 dalej do kwadratu i nierównościa Schwarza ogólnie wyszło na pół strony

cristiano_kbks · Post autor: **cristiano_kbks** » 6 gru 2005, o 08:37

Finarfin, nie orientujesz się jak poszła OM we Wrocku?
Czy Legnica ma szanse z 7-9,5 zadaniami przejść?

Mam 1,2,3,4,6,7,10 raczej na pewno dobrze, 8,9 raczej dobrze
zawaliłem najłatwiejsze - 5 :/
a w 11 zabrakło jednego zdania komentarza :/

Będzie dobrze

neworder · Post autor: **neworder** » 6 gru 2005, o 11:25

Mógłbyś pokazać to rozwiązanie z nierównością Schura?
Co do 11. - faktycznie, mogą być współliniowe, więc pewne 1 pkt. poleci...

xnijhe · Post autor: **xnijhe** » 6 gru 2005, o 12:22

Jak sądzicie, czy trzeba było też odawadniać (przyjmijmy jak wyżej że K jest przecieciem dwusiecznej kąta BCD z prostą BD) że w zależności od tego czy AD>AB czy AD

jorul · Post autor: **jorul** » 6 gru 2005, o 12:41

Ja to udowodniłem. Myślę jednak iż źle uzasadniłeś to że raz jest plus a raz minus
To chyba zależy od tego gdzie leżą te punkty:|

jh · Post autor: jh » 6 gru 2005, o 12:46

Zgodnie z nierównością mamy:

a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)>=0
a^3+b^3+c^3+3abc >= a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2

Dodajemy stronami 3abc i z prawej po skróceniu zostaje 3(a+b+c) więc wystarczy udowodnić że to jest >=9

@xnijhe: wielkiego doświadczenia nie mam, ale w oficjalnych rozwiązaniach zawsze dają tekst "przyjmijmy bez straty dla ogólności rozwiązania, że... " i tu wstawiasz tego typu warunek

neworder · Post autor: **neworder** » 6 gru 2005, o 12:49

Szczerze mówiąc nie wiem, czy ma to jakiekolwiek istotne znaczenie dla rozwiązania - dla wygody możemy uznać, że kąty mogą być ujemne.

Aquagen · Post autor: **Aquagen** » 6 gru 2005, o 13:09

Ja mam 10 pewnych(tak mi się zdaje), 6 prawie całe(pominołem jedno wyjaśnienie) i w 12 wypisałem wszystko co zauważyłem(mało tego było) i napisałem, że rozwiązanie tego zadania wynika wprost z problemu Collatza(może jakimś sposobem dadzą 2).
W 9 zauważyłem, że dla t, r, s \(\displaystyle{ \in}\) N i 0

neworder · Post autor: **neworder** » 6 gru 2005, o 13:12

Zmień slashe z "" na "/" i będzie OK Z ciekawości - robił ktoś 11. inaczej niż z okręgu Apoloniusza?

Aquagen · Post autor: **Aquagen** » 6 gru 2005, o 13:14

Dzięki neworder. Mam jeszcze pytanie jak napisać formułę na dwumian Newtona.

xnijhe · Post autor: **xnijhe** » 6 gru 2005, o 13:42

No w zasadzie nie ma znaczenia dla rozwiazania zadania ale tak logicznie patrzac to jak ktos na koncu zadania napisal roznice katów to mozna powiedziec ze nie zawsze bedzie to prawda. No ale i tak oprocz tego rozwiazania sa identyczne. A i myslicie ze jesli chodzi o ten przypadek z AB=AD to wystarczylo o tym wspomniec i powiedziec z czego bedzie wynikała równość katów ale juz dokladnie tego nie udowadniać?

No i powiedzcie mi jeszcze co sądzicie o trudności zadań II etapowych w porównaniu do zadan z I etapu

Finarfin · Post autor: **Finarfin** » 6 gru 2005, o 14:46

cristiano_kbks, cóż...chyba poszła całkiem nieźle. U mnie w szkole większość ma ok. 10-11. Ja sam wysłałem 12. aczkolwiek mogą być błędy i znając życie jakieś punkty potracę

Co do zadanek
9. można było znaleźć w necie.
10. Nierowność Schura, a potem tylko udowodnienie, że a+b+c>=3(to dowodziłem z wykorzystaniem pochodnych, bo innego pomysłu nie miałem; słyszałem, że dało się skorzystać z Muirheada bądź Couchyego-Schwarza-Bunikowskiego)
11. Okrąg Apoloniusza plus adnotacja dotycząca współliniowych C, A, P(cap

).
12. Hmm...to oparte na kilku założeniach, następnie trochę wyprowadzania i wyszło...zdaje mi się, iż szukali nowych pomysłów do rozwiązania tego -> Jakąś kasę za to oferują :]

Ogólnie liczę, że drugi etap będzie

neworder · Post autor: **neworder** » 6 gru 2005, o 15:05

10. Nierowność Schura, a potem tylko udowodnienie, że a+b+c>=3(to dowodziłem z wykorzystaniem pochodnych, bo innego pomysłu nie miałem; słyszałem, że dało się skorzystać z Muirheada bądź Couchyego-Schwarza-Bunikowskiego)

To chyba w ramach konkursu "kto zrobi zadanie najdziwniejszym sposobem" Żeby dowieść \(\displaystyle{ a+b+c q 3}\) wystarczyło zauważyć, że \(\displaystyle{ 3=ab+bc+ca q a^{2}+b^{2}+c^{2}}\), (z ciągów jednomonotonicznych), więc \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca q 9}\) i stąd \(\displaystyle{ (a+b+c)^{2} q 9}\), ckd.

Ogólnie III seria była najtrudniejsza. Zadania chyba porównywalne z ubiegłorocznymi - były co prawda aż 3 banalne (1,2,5), a w ubiegłym roku tylko jedno, ale reszta na podobnym poziomie.
Zadania z II etpau są obiektywnie rzecz biorąc nieco łatwiejsze, ale subiektywnie trudniejsze, bo nie możesz sobie nad nimi rozmyślać w nieskończoność, robić kilkutygodniowych przerw, szperać w książkach itd.

mi się, iż szukali nowych pomysłów do rozwiązania tego

Można się śmiać, ale np. kiedyś na jakiejś radzieckiej olimpiadzie dali na finale zadanie - otwarty problem (związany z nierównością Shapiro) i jeden gość (Drinfeld, dostał potem Fieldsa) to zrobił.