Matura 2010: matematyka rozszerzona

[schloss]

rzeczywiście w tym zadaniu z trójkątem \(\displaystyle{ x \in (0, \frac{1}{2} )}\), ciekawe jaki będzie klucz..

[makuu]

Natomiast to JEST paradoksem; jeśli zakłada się że mianownik nie może być równy zero, a własność ciągu g. to \(\displaystyle{ \frac{a_3}{a_2}=\frac{a_2}{a_1}}\), to jednoznacznie ciąg geometryczny zerowy nie mógłby istnieć.

Nie rozumiem, gdzie tu paradoks. Zgodnie z definicją "ilorazową" ciąg \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) nie jest ciągiem geometrycznym.

No właśnie, zgodnie z tą definicją taki ciąg nie jest ciągiem geometrycznym, podczas gdy de facto taki zerowy ciąg przecież JEST ciągiem geometrycznym (a przynajmniej nigdzie nie znalazłem aby nie był).

Myślę że najlepiej gdyby napisali "niezerowy ciąg geometryczny".Niemniej odejmowanie punktów za to, że nie napisałem, że mianowniki mają być różne od zera byłoby jednak nie na miejscu, tak mi się wydaję. Mam nadzieję że nic nie potrącą.

[Afish]

Za wiki:
Ciąg geometryczny - co najmniej trójelementowy ciąg liczbowy skończony bądź nieskończony, w którym każdy wyraz począwszy od drugiego, jest iloczynem wyrazu poprzedniego i pewnej stałej liczby różnej od zera, którą nazywa się ilorazem ciągu.
Stosunek kolejnych wyrazów, to własność ciągu. Tak samo, jak równość \(\displaystyle{ a_{2}^{2}=a_{1}a_{3}}\)
Ciąg \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) jest geometryczny zgodnie z definicją, a ciąg \(\displaystyle{ (0,0,1)}\) nie jest geometryczny (również zgodnie z definicją).

[makuu]

Za wiki:
Ciąg geometryczny - co najmniej trójelementowy ciąg liczbowy skończony bądź nieskończony, w którym każdy wyraz począwszy od drugiego, jest iloczynem wyrazu poprzedniego i pewnej stałej liczby różnej od zera, którą nazywa się ilorazem ciągu.
Stosunek kolejnych wyrazów, to własność ciągu. Tak samo, jak równość \(\displaystyle{ a_{2}^{2}=a_{1}a_{3}}\)
Ciąg \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) jest geometryczny zgodnie z definicją, a ciąg \(\displaystyle{ (0,0,1)}\) nie jest geometryczny (również zgodnie z definicją).

No właśnie, stosunek kolejnych wyrazów to WŁASNOŚĆ ciągu geometrycznego, czyli ciągu także zerowego.Wniosek nasuwałby się wtedy, że dzielić przez 0 wolno (bo chyba o tę własność chodzi), i tu ja widzę ten paradoks...

[xanowron]

WŁASNOŚĆ ciągu geometrycznego, czyli ciągu także zerowego

No właśnie o to chodzi, że jeżeli przyjmujesz definicję ilorazową to ciąg zerowy nie jest geometryczny i koniec tematu.
Jeżeli przyjmujesz drugą definicję to ciąg ten jest geometryczny, ale wtedy nigdzie nie ma dzielenia więc również koniec tematu.

[MaStEr PiTeRr]

Bardzo prosiłbym o sprawdzenie sposobu mojego rozwiązania zadania 9

Wszystkie dane opisane sa na rysunku (jeden kąt powinien byc 90-z zamiast 90+z, przepraszam za pomyłkę)

A oto rozwiązanie:

\(\displaystyle{ a^{2}}\) + \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) \(\displaystyle{ a^{2}}\) = \(\displaystyle{ c^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{5}{4}}\) \(\displaystyle{ a^{2}}\) = \(\displaystyle{ c^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{5}}{2}}\) a = c

\(\displaystyle{ \cos z}\) = \(\displaystyle{ \frac{a}{2c}}\)
\(\displaystyle{ \cos z}\) = \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{5}}{5}}\)

Układamy twierdzenie cosinusów do trójkąta ABC:

\(\displaystyle{ d^{2}}\) = \(\displaystyle{ a^{2}}\) + \(\displaystyle{ b^{2}}\) – 2ab \(\displaystyle{ \cos (180 - z)}\)
\(\displaystyle{ d^{2}}\) = \(\displaystyle{ a^{2}}\) + \(\displaystyle{ b^{2}}\) + 2ab \(\displaystyle{ \cos z}\)

Teraz dla trójkąta GIF

\(\displaystyle{ p^{2}}\) = \(\displaystyle{ (c+b)^{2}}\) + \(\displaystyle{ c^{2}}\) – 2 (c+b) c \(\displaystyle{ \cos (180 - 2z)}\)
\(\displaystyle{ p^{2}}\) = \(\displaystyle{ (c+b)^{2}}\) + \(\displaystyle{ c^{2}}\) + 2 (c+b) c \(\displaystyle{ \cos 2z}\)

\(\displaystyle{ \cos 2z}\) = 2 \(\displaystyle{ \cos ^{2} z}\) – 1 = \(\displaystyle{ \frac{-3}{5}}\)

Wstawiamy dane do twierdzenia cosinusów dla trójkąta GIF (bok c uzalezniony od a
Po uporządkowaniu :
\(\displaystyle{ p^{2}}\) = \(\displaystyle{ a^{2}}\) + \(\displaystyle{ b^{2}}\) +2ab \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{5}}{5}}\)

Jak wiemy z wcześniejszych rozważań \(\displaystyle{ \cos z}\) = \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{5}}{5}}\) i wstawiamy

\(\displaystyle{ p^{2}}\) = \(\displaystyle{ a^{2}}\) + \(\displaystyle{ b^{2}}\) +2ab \(\displaystyle{ \cos z}\)

Widać, że \(\displaystyle{ p^{2}}\) = \(\displaystyle{ d^{2}}\), p i d są bokami więc, gdy wyciągniemy pierwiastek to wychodzi warunek, który mieliśmy udowodnić, czyli p = d

Przepraszam, ze tak nieudolnie to wyszlo, pisałem to na szybko. Wiem, ze okropnie sobie to skomplikowalem, ale chcialbym wiedziec, czy wszystko jest ok

[tometomek91]

MaStEr PiTeRr, dobrze, ale to przerost formy nad treścią. O wiele łatwiej znaleźć trójkąty podobne.

[MaStEr PiTeRr]

właśnie wpadłem na to, ale niestety dopiero dzień po egzaminie

[Canthar]

Jak ma się dobrze to należy się cieszyć

[Jan Kraszewski]

Za wiki:
Ciąg geometryczny - co najmniej trójelementowy ciąg liczbowy skończony bądź nieskończony, w którym każdy wyraz począwszy od drugiego, jest iloczynem wyrazu poprzedniego i pewnej stałej liczby różnej od zera, którą nazywa się ilorazem ciągu.
Stosunek kolejnych wyrazów, to własność ciągu. Tak samo, jak równość \(\displaystyle{ a_{2}^{2}=a_{1}a_{3}}\)
Ciąg \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) jest geometryczny zgodnie z definicją, a ciąg \(\displaystyle{ (0,0,1)}\) nie jest geometryczny (również zgodnie z definicją).

Ten podwątek został zgrabnie zamknięty przez xanowrona, ale w ramach krótkiego komentarza dodam dwie uwagi:
1. Wikipedia nie zawsze jest dobrym punktem odniesienia.
2. W tym przypadku mogę zaakceptować definicję z Wikipedii, bo istotnie nieelegancko byłoby, gdyby ciąg \(\displaystyle{ (0,0,1)}\) był geometryczny. Tyle, że tak naprawdę nie ma to żadnego znaczenia, bo definicja nie jest czymś najważniejszym. Różnica pomiędzy matematyką szkolną a wyższą polega też na tym, że w szkole definicja stanowi o bycie matematycznym, a w matematyce wyższej to byt jest ważny, a dobranie do niego definicji jest kwestią drugorzędną, służącą tak naprawdę sprawnej komunikacji między matematykami (by rozmawiając o tym samym bycie umieli się dogadać). W tym sensie dla mnie ważny jest byt "ciąg \(\displaystyle{ (0,0,1)}\)", a to, czy uznamy go za ciąg geometryczny, czy nie jest kwestią negocjacji... (czyli dobrania odpowiedniej definicji, która będzie wygodna w użyciu).

JK

[Azai]

Dopiero teraz wpadłam na ten wątek o.O.

Co do trudności matury w tym roku, to po tych wszystkich zapowiedziach, że w tym roku rozszerzenie będzie na prawdę trudne, spodziewałam się czegoś bardziej hardcorowego ... Z drugiej strony zupełnie banalne też nie było. U mnie w klasie znaczna część osób w zadaniu z analitycznej pomyliła ramiona trójkąta, ale widzę, że to dość popularny błąd. Czytanie ze zrozumieniem leży . Ostrosłup też nie był całkiem prosty, bo łatwo było zgubić coś w obliczeniach...
Ale podsumowując, mogło być gorzej .

Ciekawe jak w tym roku będą wyglądać progi punktowe na uczelniach, skoro ta matura za średniotrudną jest uznawana.

[wloch]

szkoda że za wynikami czeka się tak długo można si posrać przez to czekanie i ze te matury są rozciągnięte tak w czasie

[pelas_91]

szkoda że za wynikami czeka się tak długo można si posrać przez to czekanie i ze te matury są rozciągnięte tak w czasie

przecież miałeś możliwość zapoznać się z przykładowymi kluczami w internecie - co prawda nie jest to klucz CKE, ale w ten sposób można się dowiedzieć na co się nastawiać
a co do rozciągnięcia matur w czasie, no cóż egzaminów jest dużo, chcesz zdawać wszystko w jeden dzień?

[Bardziejsza]

Wrzuciłby ktoś rozwiązania rozszerzonej matury z zadania.info? Bo link, który dał ktoś wcześniej już nie działa xP

[aksrugiw]

Proszę: