Matematyka.pl

Przez P będziemy oznaczać średnią potęgową stopnia n liczb a, b, c.
Najpierw średnia potęgowa podniesiona do potęgi n+1:
\(\displaystyle{ \frac{a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}}{3} \ge \frac{a^{n}+b^{n}+c^{n}}{3}\cdot P \Rightarrow a^{n}(a-P)+b^{n}(b-P)+c^{n}(c-P) \ge 0 \Rightarrow a^{n}(a+b)(b+c)(a-P)+b^{n}(a+b)(b+c)(b-P)+c^{n}(a+b)(b+c)(c-P) \ge 0}\)
Teraz przekształćmy równoważnie tezę. Odejmijmy prawą stronę i pomnóżmy ją przez \(\displaystyle{ (a+b)(b+c)(c+a)}\).
\(\displaystyle{ a^{n}(a+b)(c+a)(a-P)+b^{n}(a+b)(b+c)(b-P)+c^{n}(b+c)(c+a)(c-P) \ge 0}\). Jeżeli teraz od tej nierówności odejmiemy coś większego od 0 i powstanie nam coś większego od 0, to znaczy, że dana nierówność też jest prawdziwa. Odejmijmy zatem od tej nierówności nierówność, która otrzymaliśmy po przekształceniach średniej potęgowej. Udowodnimy, że to co nam powstanie jest prawdziwe.
\(\displaystyle{ a^{n}(a+b)(a-P)(a-b)+c^{n}(b+c)(c-P)(c-b) \ge 0}\)
No to teraz jest ten główny myk zadania .
Zauważmy, że nie mamy żadnych informacji na temat relacji między liczbami a, b i c (w sensie, która największa, która środkowa, która najmniejsza). Nierówność dana w tezie była symetryczna, a więc bez zmniejszania ogólności mogłem sobie na początku przyjąć dowolne relacje między nimi. Mogę to tak smao zrobić w tym momencie, a jeżeli kogoś to nie przekonuje, to niech pomyśli, że robię to na samym początku zadania. A więc zakładam sobie \(\displaystyle{ a \ge b \ge c}\). Wtedy \(\displaystyle{ a-P \ge 0; a-b \ge 0 \Rightarrow a^{n}(a+b)(a-P)(a-b) \ge 0}\), także \(\displaystyle{ c-P \le 0; c-b \le 0 \Rightarrow c^{n}(b+c)(c-P)(c-b) \ge 0}\). Zatem ich suma jest także większa od 0.
c.b.d.u.