Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
6. Rozumiem idee, ale mam problem z wykazaniem, że na czwórkach punktów złożonych z dwóch środków okręgów wpisanych i dwóch wierzchołków czworokąta można opisać okrąg. Zapewne trzeba skorzystać z tw., że sumy przeciwległych kątów są równe, ale jak licze to nie wychodzi.
Zadanie szóste jest jakieś bardzo znane, ja się z nim spotkałem wielokrotnie, pozwólcie, że przedstawię alternatywny dowód.
Ukryta treść:
Najpierw dość znany lemat. Trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), środek okręgu Wpisanego \(\displaystyle{ I}\), dwusieczna kąta \(\displaystyle{ \angle BAC}\) przecina okrąg Opisany w punkcie \(\displaystyle{ D}\) różnym od \(\displaystyle{ A}\). W takim wypadku \(\displaystyle{ DB=DC=DI}\). Lemat dość znany, jeśli ktoś sobie życzy, mogę przedstawić dowód, ale to są rachunki na kątach.
Zadanie właściwe. Może być ciężko bez rysunku, więc spróbujcie go zrobić, bo ja nie mam jak teraz. Oznaczmy środki tych okręgów przez \(\displaystyle{ P,Q,R,S}\), przy czym \(\displaystyle{ P}\) jest środkiem wpisanego w \(\displaystyle{ ABD}\), a dalej kręcimy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, tak jak oznaczenia czworokąta.
Oznaczmy środek łuku \(\displaystyle{ AB}\) przez \(\displaystyle{ E}\), a środek łuku CD przez [/latex]F[/latex] - chodzi oczywiście o łuki niezawierające pozostałych wierzchołków. Na mocy lematu \(\displaystyle{ PE=AE=BE=QE}\) oraz \(\displaystyle{ RF=CF=DF=SF}\). Zauważmy, że kąt \(\displaystyle{ \angle PEQ}\) to ten sam kąt co \(\displaystyle{ \angle DEC}\), więc jego dwusieczna powinna trafić w środek naprzeciwległego łuku, w tym przypadku w \(\displaystyle{ F}\). W ten sposób otrzymujemy, że dwusieczna kąta \(\displaystyle{ \angle PEQ}\) to prosta \(\displaystyle{ EF}\) i tym samym pokrywa się z dwusieczną kąta \(\displaystyle{ \angle RFS}\). W trójkącie równoramiennym, a takimi są \(\displaystyle{ PEQ}\) oraz \(\displaystyle{ RFS}\) dwusieczna pokrywa się z symetralną, a zatem z definicji symetralnej i dwusiecznej prosta \(\displaystyle{ EF}\) jest osią symetrii sześciokąta \(\displaystyle{ PEQRFS}\), a zatem również czworokąta \(\displaystyle{ PQRS}\). Analogicznie czworokąt ten ma też drugą oś symetrii, a obie te osie przechodzą przez środki jego boków, a nie wierzchołki, wobec tego jest to prostokąt.
Ten dowód jest bardzo krótki, jeśli narysujemy po prostu rysunek i będziemy o nim mówić.
