Zadania z testu predyspozycji do profilu Matex w XIV LO

[BP]

Następne zadania z którymi mam problem.

Zadanie 52
Dwa ciała poruszają się po okręgu w przeciwnych kierunkach, wychodząc z dwóch punktów, między którymi krótszy łuk ma \(\displaystyle{ 150m}\). Jeśli ciała będą poruszać się po krótszym łuku, to spotkają się po \(\displaystyle{ 10}\) sekundach, jeśli zaś będą poruszać się po dłuższym - to spotkają się po \(\displaystyle{ 14}\) sekundach. Oblicz promień okręgu oraz prędkość ciał, jeśli wiadomo, że jedno z nich obiega cały okrąg w tym czasie, w którym drugie przebywa łuk o długości \(\displaystyle{ 90m}\).

Zadanie 53
W okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 2cm}\) poprowadzono cięciwę \(\displaystyle{ AB}\) o długości \(\displaystyle{ 3cm}\). Przez punkt \(\displaystyle{ B}\) poprowadzono prostą \(\displaystyle{ I}\) styczną do okręgu. Oblicz odległość punktu \(\displaystyle{ A}\) od prostej \(\displaystyle{ I}\).

Zadanie 54
Czy istnieją takie dwie liczby \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), aby jednocześnie zachodziły równości: \(\displaystyle{ x(y-x) = 3, y(4y-3x) = 2}\)?

Zadanie 55
W wycinku koła o kącie \(\displaystyle{ 30}\) stopni umieszczono kwadrat tak, że trzy wierzchołki kwadratu leżą na promieniach wycinka, a czwarty leży na łuku okręgu. Oblicz stosunek pola kwadratu do pola wycinka koła.

Zadanie 56
Pewna liczba naturalna w układzie dziesiętnym ma postać \(\displaystyle{ x0yz}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y,z}\) są cyframi, \(\displaystyle{ x>0}\). Liczba ta podzielona przez pewną liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\) daje iloraz, który w układzie dziesiętnym jest postaci \(\displaystyle{ xyz}\). Znaleźć \(\displaystyle{ x,y,z}\) i \(\displaystyle{ n}\).

Zadanie 57
W pewnej grupie złożonej z \(\displaystyle{ 1000}\) osób:
\(\displaystyle{ 480}\) - uczy się języka włoskiego
\(\displaystyle{ 410}\) - hiszpańskiego
\(\displaystyle{ 305}\) - portugalskiego
\(\displaystyle{ 210}\) - włoskiego i portugalskiego
\(\displaystyle{ 105}\) - hiszpańskiego i portugalskiego
\(\displaystyle{ 100}\) - włoskiego i hiszpańskiego
\(\displaystyle{ 65}\) - włoskiego, hiszpańskiego i portugalskiego

Ile osób w tej grupie nie uczy się żadnego z podanych języków?

Ile osób uczy się dokładnie jednego języka?

Zadanie 58
Czy istnieje wielokąt o parzystej liczbie boków taki, że liczba przekątnych jest wielokrotnością liczby boków?

Zadanie 59
Udowodnić, że każdą liczbę naturalną \(\displaystyle{ n qslant 8}\) można zapisać jako \(\displaystyle{ n=3k+5m}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ m}\) są liczbami całkowitymi nieujemnymi.

Zadanie 60
W czterech wierzchołkach kwadratu o boku a znajdują się domki. Połącz domki ścieżkami tak, aby z każdego domku można było przejść ścieżką do dowolnego innego domku i aby łączna długość ścieżek była mniejsza niż sama długość przekątnych kwadratu.

Zadanie 61
Podstawą ostrosłupa jest wielokąt \(\displaystyle{ Q}\). Wiadomo, że wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są równej długości. Udowodnij, że na wielokącie \(\displaystyle{ Q}\) można opisać okrąg.

Zadanie 62
Z pociągu jadącego ze stałą prędkością z \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ B}\) co \(\displaystyle{ 5 min}\) wypuszcza się parę gołębi, z który jeden leci ze stałą prędkością do A, a drugi z tą samą prędkością do \(\displaystyle{ B}\). Wiadomo, że gołębie dolatują do \(\displaystyle{ B}\) co trzy minuty. Co ile minut dolatują gołębie do \(\displaystyle{ A}\)? Jaki jest stosunek prędkość lotu gołębia do prędkości lotu gołębia do prędkości pociągu?

Zadanie 63
Podczas egzaminu testowego za każdą poprawną odpowiedź uczeń otrzymuje \(\displaystyle{ 7}\) punktów, a za błędną traci \(\displaystyle{ 3}\) punkty. Andrzej uzyskał \(\displaystyle{ 40}\) punktów. Wykazać, że Andrzej popełnił co najmniej \(\displaystyle{ 3}\) błędy.

Zadanie 64
Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ a+(\frac{1}{a})}\) jest liczbą całkowitą, to również \(\displaystyle{ a ^{3} +(\frac{1}{a ^{3} } )}\) jest liczbą całkowitą.

Zadanie 65
Oblicz pole trapezu o długości przekątnych \(\displaystyle{ 15cm}\) i \(\displaystyle{ 20cm}\) i wysokości \(\displaystyle{ 12cm}\).

Zadanie 66
We wnętrzu czworokąta znaleźć punkt taki, aby odcinki łączące go ze środkami boków dzieliły pole czworokąta na cztery równe części.

Z góry dziękuję za pomoc.

[kluczyk]

zad.64
\(\displaystyle{ a+ \frac{1}{a}}\) -całkowite z założenia
*Całkowite jest też: \(\displaystyle{ a^{2}+ \frac{1}{a^{2}}}\), bo:\(\displaystyle{ (a+ \frac{1}{a})^{2}= a^{2} + \frac{1}{a^{2}} +2}\)
\(\displaystyle{ a^{3}+ \frac{1}{a^{3}} =(a+ \frac{1}{a})(a^{2}+1+ \frac{1}{a^{2}})}\)
A, więc i całość jest całkowita. cnd

[mol_ksiazkowy]

Zadanie 63
Podczas egzaminu testowego za każdą poprawną odpowiedź uczeń otrzymuje 7 punktów, a za błędną traci 3 punkty. Andrzej uzyskał 40 punktów. Wykazać, że Andrzej popełnił co najmniej 3 błędy.

\(\displaystyle{ 7m -3n =40}\) , tj \(\displaystyle{ n \geq 3}\)

[angel-of-fate]

liceum zmienia człowieka w dojrzały tryb systemu.

[klaustrofob]

53. poprowadź ze środka O okręgu wysokość na AB, niech przetnie ona AB w D. niech C=rzut prostok. A na prostą I. wtedy AC||OB i tr. ABC ~ tr. BOD.

59. rozważamy 8 możliwych postaci liczby >=8. np. jeżeli liczba ma postać 8s+1, gdzie s>=1, to można ją zapisać jako 5(s-1)+3(s+2).

65. niech ABCD trapez, AB||CD, AC=20, BD=15. przesuń BD o wektor DC - punkt D przejdzie na C, B na B'. rozważ tr. AB'C.

[BP]

Kolejne zadania.

Zadanie 67
Ile jest takich liczb \(\displaystyle{ 12}\)-cyfrowych, podzielnych przez \(\displaystyle{ 36}\), w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry zero i jeden?

Zadanie 68
Dany jest trójkąt ostrokątny \(\displaystyle{ ABC}\). Punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ BC}\), odcinki \(\displaystyle{ BE}\) i \(\displaystyle{ CF}\) są wysokościami tego trójkąta i \(\displaystyle{ |AB|=3\cdot 2 ^{ \frac{1}{2} }, |BC| = |CA| = 5}\). Krawędzie boczne mają długości: \(\displaystyle{ |AS| = |BS| = 3, |CS| = 4}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 72
Wykaż, że dowolne dodatnie liczby \(\displaystyle{ x, y, z}\) spełniają nierówności:
1) \(\displaystyle{ \frac{(x + y)}{2} \geqslant (x \cdot y) ^{ \frac{1}{2} }}\)

2) \(\displaystyle{ (x + y) \cdot (y + z) \cdot (z + x) \geqslant 8xyz}\)

Dziękuję za pomoc

[snm]

Czy ty nie wrzuciłeś już do tej pory każdego zadania? Jeśli nic nie umiesz zrobić, to chyba startowanie jest stratą czasu

[Pablo09]

prawda prawda, zanim wrzucisz tu kolene zadanka to proboj je sam zrobic, ale tak porządnie sie do tego weź
wsk.:
72. a)pewne przekształcenia i korzystasz z tego kwadrat liczby nat jest >= 0
b)z nier. miedzy srednimi
68. skoro dzieli przez 36 to dzieli tez przez 4 i 9

[Izirix]

Czy ty nie wrzuciłeś już do tej pory każdego zadania? Jeśli nic nie umiesz zrobić, to chyba startowanie jest stratą czasu

A jeśli zrobił, ale nie jest do końca pewien, że wykonał to dobrze? Ja szczerze powiedziawszy też będę pisał ten egzamin, a robie ok. 3 zadań z jednego zestawu i sądzę, że z tych rozwiązań nie nauczy się wiele, lepiej byłoby zakupić zbiór, w którym są wskazówki i rozwiązania, aby zapoznać się ze sposobami ich rozkminiania!

[kulak]

Zadania z tego roku (świeżutkie). Niby zrobiłem 4 z nich, ale nie jestem pewny odpowiedzi, więc niech ktoś bardziej wprawiony zrobi
Zadanie 73
Czy iloczyn dwóch dodatnich liczb naturalnych różniących się o 2 może być kwadratem liczby naturalnej? Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 74
Ile jest liczb czterocyfrowych, o niepowtarzających się cyfrach, w których w zapisie występuje cyfra 7? Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 75
W trójkąt wpisany jest okrąg o promieniu 2. Punkt styczności dzieli jeden z boków na odcinki o długości 2 i 3. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Zadanie 76
Czy można wybrać 19 takich liczb całkowitych (niekoniecznie różnych), aby ich suma była dodatnia i ustawić je w szeregu, w takiej kolejności, aby suma każdych trzech kolejnych liczb była ujemna? Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 77
Dany jest okrąg o środku S. Proste PA i PB są styczne do tego okręgu odpowiednio w punktach A i B. Punkty E i F należą do odcinków PA i PB, a prosta EF jest styczna do tego okręgu. Kąty EPF i ESF są równe. Oblicz miarę kąta EPF.
Zadanie 78
Czy istnieje taki ostrosłup czworokątny, że dwie jego ściany boczne nie mające wspólnej krawędzi są prostopadłe do podstawy? Odpowiedź uzasadnij.

[binaj]

1. Nie może
rozważmy 3 kolejne liczby naturalne:
\(\displaystyle{ (n-1)(n-1)=n^2-2n+1}\)
\(\displaystyle{ n^2}\)
\(\displaystyle{ (n+1)(n+1)=n^2+2n+1}\)
nasza liczba jest postaci
\(\displaystyle{ (n+1)(n-1)=n^2-1}\), z drugiej strony jest mniejsza od tych 2 liczb naturalnych, czyli musi być równa najmniejszej, ale wtedy n=1, co jest sprzeczne z założeniem zadania

2. wybieramy miejsce na którym stoi 4, i kombinacje bez powtórzeń dla pozostałych 3 miejsc,
1) 4 stoi na 1 miejscu \(\displaystyle{ 1 9 8 7}\)
2) 4 stoi nie na 1 miejscu (mniejsza ilość kombinacji, bo 0 nie może zaczynać liczby)
\(\displaystyle{ 3 8 7 6}\)
Odp:1512

3.Zauważ, ze ten trójkąt jest prostokątny, później łatwo wyliczysz, R=6,5

4. 70-870-870-870-870-870-87

5. 60 stopni (jak chcesz to mogę napisać rozwiązanie)

6. chyba nie, bo wierzchołki tych ścian bocznych, nie należące do podstawy się nie pokryją, bo będą leżeć na prostych równoległych, zatem ostrosłup nie miałby wierzchołka, czyli sprzeczność

[kulak]

binaj, 1wsze zrobiłem tak jak mówisz. W 2gim wyszło mi, że:
jak cyfra tysięcy=7 to jest \(\displaystyle{ 1*9*8*7}\) a w innym wypadku (3 identyczne sytuacje):
\(\displaystyle{ 9*8*6}\) (bo zero nie może wystąpić jako cyfra tysięcy, przy reszcie może). Oświeć mnie, jeśli się mylę

[binaj]

binaj, 1wsze zrobiłem tak jak mówisz. W 2gim wyszło mi, że:
jak cyfra tysięcy=7 to jest \(\displaystyle{ 1*9*8*7}\) a w innym wypadku (3 identyczne sytuacje):
\(\displaystyle{ 9*8*6}\) (bo zero nie może wystąpić jako cyfra tysięcy, przy reszcie może). Oświeć mnie, jeśli się mylę

hmm
a) na pierwszym miejscu może stać 12345689 oznaczmy ją przez m
b) na którymś z pozostałych 3 jest 7
c) na jednym z pozostałych może stać 8 liczb {1-10}-{7}-{m}, niech stoi tu liczba n
d) na ostatnim {1-10}-{7}-{m}-{n} czyli 7 możliwości

razem mamy 3*8*8*7=1344
razem 1848

wcześniej tego,ze 0 już sie może pojawić nie uwzględniłem

[snm]

Zwalilem jak na mnie totalnie ale mam 100 punktow wiec raczej na pewno sie dostane

[szablewskil]

A moglby ktos wstawic zadania z tegorocznego testu?