kaminie318 pisze: ↑23 maja 2023, o 23:48To jest przemnożęnie prawej strony nierówności z założenia indukcyjnego ponieważ dzieląc obustronnie wracamy się do pierwotnej postaci?
Co?!
kaminie318 pisze: ↑23 maja 2023, o 23:48Można traktować to mnożenie po prawej stronie również jako sztuczną jednykę?
Nie wiem, coś Ty się tak uparł na "sztuczną jedynkę". To jakiś dziwny termin - przecież to są zwykłe przekształcenia algebraiczne.
Chcesz udowodnić, że
\(\displaystyle{ \binom{n}{s+1}\le \left(\frac{en}{s+1}\right)^{s+1}}\)
i ten dowód wygląda tak:
\(\displaystyle{ L=\binom{n}{s+1}=\frac{n!}{(s+1)!((n-s-1)!}=\frac{n!(n-s)}{s!(s+1)(n-s)!}=\binom{n}{s}\frac{n-s}{s+1}\,\red{\le}\, \left(\frac{en}{s}\right)^s\frac{n-s}{s+1}\,\blue{\le}\,\left(\frac{en}{s+1}\right)^{s+1} =P.}\)
Pozostaje tylko kwestia uzasadnienia jego poprawności. Pierwsza i trzecia równość to skorzystanie z definicji symbolu Newtona, druga równość to zwykłe przekształcenie algebraiczne, czerwona nierówność to wynik zastosowania założenia indukcyjnego (skoro
\(\displaystyle{ \binom{n}{s}\le \left(\frac{en}{s}\right)^s}\), to
\(\displaystyle{ \binom{n}{s}\frac{n-s}{s+1}\le\left(\frac{en}{s}\right)^s\frac{n-s}{s+1}}\) - pomnożyliśmy obie strony nierówności przez liczbę dodatnią
\(\displaystyle{ \frac{n-s}{s+1}}\)), zaś uzasadnienie niebieskiej nierówności
a4karo napisał osobno:
"A to jest równoważne nierówności
\(\displaystyle{ \left(\frac{s+1}{s}\right)^s\le e\frac{n}{n-s}}\), która jest prawdziwa, bo
\(\displaystyle{ \frac{n}{n-s}\ge 1}\)".
Oczywiście jest to dość skrótowe wyjaśnienie, które wymaga pewnej dodatkowej prostej wiedzy z analizy (o tym, że
\(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{s}\right)^s\le e}\)).
JK