VIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. Franciszka Lei

[enigm32]

Etap rejonowy 10 maja (sobota).

[Bastuś]

Kilka zadań z wartością bezwzględną z którymi mam problem:
1. Udowodnik, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x, y, z}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ |x|+|y|+|z|\leqslant|x+y-z|+|x-y+z|+|-x+y+z|}\)
2. Znajdź wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}\) spełniające dla wszystkich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\) równanie \(\displaystyle{ f(x-|x|)+f(x+|x|)=x}\)

W odpowiedziach pisze tak: "Zauważmy, że zarówno dla \(\displaystyle{ x\geqslant0}\), jak i dla \(\displaystyle{ x}\)

[limes123]

W drugim dowodzisz, że \(\displaystyle{ f(0)=0}\) i z tego wynika, że \(\displaystyle{ f(2x)=x}\) i to w sumie koniec.

[mol_ksiazkowy]

Kilka zadań z wartością bezwzględną z którymi mam problem:
1. Udowodnik, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x, y, z}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ |x|+|y|+|z|\leqslant|x+y-z|+|x-y+z|+|-x+y+z|}\)[/u]

ale wiesz, ze \(\displaystyle{ |a+b| \leq |a| + |b|}\) wiec
\(\displaystyle{ 2|x| \leq |x+y-z|+|x-y+z|}\)
\(\displaystyle{ 2|z| \leq |x-y+z|+|-x+y+z|}\)
\(\displaystyle{ 2|y|\leq |x+y-z|+|-x+y+z|}\)
dodac stronami i po bólu

[Bastuś]

Czułem, że to zadanie może mieć związek z nierównością trójkąta(chyba tak to się nazywa?), ale to wcale nie tak łatwo zauważyć..
Dzięki.

[enigm32]

W zadaniu pierwszym poziom drugi wyszedł taki sześciokąt symetryczny względem obu osi?

Jeśli chodzi o zadanie 1. z poziomu II z tegorocznej edycji, to tak, figura to jest symetryczna względem osi rzędnych, względem osi odciętych oraz względem początku ukladu współrzędnych. Dlatego też, wystarczyło narysować część wykresu znajdującą się w pierwszej ćwiartce (obie współrzęden są dodatnie, co upraszcza nam wyrażenie w przypadku wartości bezwzględnej), a resztę wykresu otrzymać odbijając ten fragmen względem osi i środka.

[ Dodano: 19 Kwietnia 2008, 16:55 ]

Znajdź wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}\) spełniające dla wszystkich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\) równanie \(\displaystyle{ f(x-|x|)+f(x+|x|)=x}\)

W odpowiedziach pisze tak: "Zauważmy, że zarówno dla \(\displaystyle{ x\geqslant0}\), jak i dla \(\displaystyle{ x f(0)=0}\)
Czyli \(\displaystyle{ f(2x)+f(0)=x f(2x)+0=x f(2x)=x \underline{f(x)=\frac{x}{2}}}\)
Teraz należy sprawdzić, czy otrzymana funkcja spełnia równanie funkcyjne z treści:
\(\displaystyle{ f(x-|x|)+f(x+|x|)=\frac{x-|x|}{2} +\frac{x+|x|}{2}=\frac{2x}{2}=x}\) - wszystko się zgadza
Zatem szukana funkcja to \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{2}}\)

Z jakiej książki masz te zadania? Bo wydają się ciekawe.

[Bastuś]

W zadaniu pierwszym poziom drugi wyszedł taki sześciokąt symetryczny względem obu osi?

Jeśli chodzi o zadanie 1. z poziomu II z tegorocznej edycji, to tak, figura to jest symetryczna względem osi rzędnych, względem osi odciętych oraz względem początku ukladu współrzędnych.

Początku układu współrzędnych? Tego nie zauważyłem, jak to dowieźć?
Wynika to może z symetryczności względem osi rzędnych i odciętych?

To zadanie z funkcją to z ZZ Pawłowskiego, poziom rozszerzony, klasy pierwsze.
Dzięki za wytłumaczenie.

[enigm32]

Początku układu współrzędnych? Tego nie zauważyłem, jak to dowieźć?

Tam miałeś równanie: \(\displaystyle{ |y-1|+|y+1|+2|x|=4}\)
Podstawiasz \(\displaystyle{ \begin{cases} x=-x\\y=-y \end{cases}}\) i otrzymujesz:
\(\displaystyle{ |-y-1|+|-y+1|+2|-x|=4 |y+1|+|y-1|+2|x|=4 |y-1|+|y+1|+2|x|=4}\)
(korzystamu cały czas z własności wartości bezwzględenj: \(\displaystyle{ |a|=|-a|}\))
Zatem jak widać, jeśli para liczb \(\displaystyle{ (x;y)}\) spełnia nasze równanie, to również para liczb \(\displaystyle{ (-x;-y)}\) spełnia to równanie. Stąd ta symetria względem punktu \(\displaystyle{ (0;0)}\)

PS
A te dwa pozostałe zadania też są z jakiegoś zbiorku znanego?

[ Dodano: 19 Kwietnia 2008, 22:20 ]

3. Dla jakich liczb \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) równość\(\displaystyle{ ||x|-1|=a|x|+b|x-1|+c|x+1|+d}\) zacodzi dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\)?

Jeśli ma zachodzić dla każdej liczby rzeczywistej, to zachodzi i dla liczb -1 i 1, stąd (podstawiając za x):
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0=a+2c+d\\0=a+2b+d \end{cases} \underline{b=c}}\)
Zatem równanko przybiera postać: \(\displaystyle{ ||x|-1|=a|x|+b(|x-1|+|x+1|)+d}\)
Podstawmy\(\displaystyle{ x=0}\):
\(\displaystyle{ 1=2b+d \underline{d=1-2b}}\)
Równanko wygląda więc tak:
\(\displaystyle{ ||x|-1|=a|x|+b(|x-1|+|x+1|)+1-2b}\)
Podstawmy do tego x=1 (jest ono równoważne do początkowego, zatem również musi spełnione być dla każdej liczby rzeczywistej):
\(\displaystyle{ 0=a+2b+1-2b \underline{a=-1}}\)
Nasze równanie już tylko z parametrem b wygląda tak:
\(\displaystyle{ ||x|-1|=-|x|+b(|x-1|+|x+1|)+1-2b}\)
Podstawmy na przykład x=2:
\(\displaystyle{ 1=-2+4b+1-2b \underline{b=1}}\)
Zatem ostatecznie mamy, że \(\displaystyle{ \begin{cases} a=-1\\b=1\\c=1\\d=-1 \end{cases}}\), a równanie nasze ma postać:
\(\displaystyle{ ||x|-1|=-|x|+|x-1|+|x+1|-1}\)

[Bastuś]

Zadania dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych i trzecich gimnazjum:
1. W trapezie, którego podstawy maja długość \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) \(\displaystyle{ (a>b)}\), suma miar katów wewnętrznych przy podstawie długości \(\displaystyle{ a}\) wynosi \(\displaystyle{ 90^{o}}\). Oblicz długość odcinka łączącego środki podstaw trapezu.
2. Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a, b, c}\)spełniają nierówności: \(\displaystyle{ |a-b|\geqslant |c|}\); \(\displaystyle{ |b-c|\geqslant |a|}\); \(\displaystyle{ |c-a|\geqslant |b|}\), to\(\displaystyle{ (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=0}\).
3. Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ 5+5^{2}+5^{3}+...+5^{299}+5^{300}}\) jest podzielna przez 30.
4. Przedstaw wyrażenie: \(\displaystyle{ 2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}}\) w postaci sumy dwóch liczb niewymiernych.
5. W czworokącie wypukłym ABCD: kąt BAC ma miarę \(\displaystyle{ 20^{o}}\), kąt BCA ma miarę \(\displaystyle{ 35^{o}}\), kąt BDC ma miarę \(\displaystyle{ 40^{o}}\), kąt BDA ma miarę \(\displaystyle{ 70^{o}}\). Znajdź miarę kata między przekątnymi tego czworokąta.
Zadania drugie i trzecie poszły bez większych problemów, w zadaniu czwartym przekombinowałem:
\(\displaystyle{ 2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}} =\sqrt6+\sqrt3}\)
ja za to napisałem, że:
\(\displaystyle{ 2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}=\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}+\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}}\)
Co o tym myślicie?
Czy te składniki są niewymierne?
Czy suma liczb niewymiernej i wymiernej jest niewymierna?
Myślicie, że dwa zadania poprawnie zrobione wystarczą?
Jaki może być próg?
Kiedy i gdzie w internecie dostepne będą wyniki?
Finał siódmego czerwca?
Jakie były zadania dla klas drugich?

[actraz]

yo
Co o tym mysle.... ze w pewnym sensie to i jest jakos logicznie zrobione zadanie, tylko ze nie o to w nim chodzilo i nie masz pewnosci ze jest to liczba nie wymierna, gdybys udowodnil do tego ze jest to liczba nie wymierna to powinno byc 6 pkt:DD

Ja zrobilem tez 2 zadania, wlasnie to o ktorym mowa wyzej i to z podzielnoscia przez 30

Jaki prog? nie wiadomo... ja mialem 13 punktów nie za duzo nie za malo...
wszystko sie okaze ; D

pozdro

[limes123]

Pierwsze na 100% jest w którymś Pawłowskim. Trzeba przez środek krótszej podstawy poprowadzić 2 proste równoległe do ramion i powstanie trójkąt protokątny a od tego momentu jest łatwo.

[Bastuś]

Jaki prog? nie wiadomo... ja mialem 13 punktów nie za duzo nie za malo...
wszystko sie okaze ; D

pozdro

Skąd znasz wyniki?
Skoro masz 13pkt to gdzieś jeszcze dostałeś 1pkt, bo każde zadanie jest chyba za 6 pkt.

Drugie też jest w Pawłowskim.

[enigm32]

Pierwsze na 100% jest w którymś Pawłowskim. Trzeba przez środek krótszej podstawy poprowadzić 2 proste równoległe do ramion i powstanie trójkąt protokątny a od tego momentu jest łatwo.

Pierwsze widziałem również w zbiorze maturalnym Kiełbasy.
O których zbiorach Pawłowskiego mówisz? Wyd. Operon?

[GRZECH]

Co do zadania nr 1 to.
Wystarczy zrobić rysunek, przedłużyć ramiona trapezu i opisać okrąg na mniejszym i większym
trójkącie (oba powstaną poprzez przedłużenie ramion trapezu). Nietrudno zauważyć i nietrudno
dowieść, że środki boków i punkt przecięcia się ramion są współliniowe. A później to już leci .
Odpowiedź: \(\displaystyle{ \frac{a-b}{2}}\)

P.S. Pisałem II poziom. Zadania o wiele łatwiejsze od tych z pierwszego.
Nie chce mi się ich przepisywać teraz.

[kolanko]

JA tez pisalem 2 level zadanie 2,4,5 wg mnie dobrze. 1 poplatalem sie a 3 prawie prawie koniec:) ponad polowa zadania

wiec ponad polowa pkt mysle ze powinna byc na moim koncie ...