Re: Rozłączne figury
: 22 mar 2023, o 11:01
Forum matematyczne: miliony postów, setki tysięcy tematów, dziesiątki tysięcy użytkowników - pomożemy rozwiązać każde zadanie z matematyki
https://matematyka.pl/
Nie trzeba korzystać z aksjomatu wyboru, bo \(\displaystyle{ u_i \in D}\) wybiera się używając funkcji wyboru indukowanej z liczb naturalnych przez injekcję \(\displaystyle{ D \to \NN}\), która istnieje z założenia. Mówiąc wprost (i ciut zmieniając dla uproszczenia zapisu), o przeliczalności \(\displaystyle{ \mathcal{U}}\) świadczy injekcja \(\displaystyle{ f : \mathcal{U} \to \NN}\) dana wzoremszuler pisze: ↑21 mar 2023, o 07:25 Niech \(\langle X,\tau \rangle\) będzie ośrodkową przestrzenią topologiczną, a \(\mathcal{U}=\lbrace U_{i}:i\in I\rbrace \subseteq \mathcal{P}(X)\) rodziną parami rozłącznych zbiorów o niepustych wnętrzach. Niech \(D\) będzie co najwyżej przeliczalnym, gęstym podzbiorem \(X\). Dla każdego \(i\in I\) istnieje \(u_{i}\in D\) takie, że \(u_{i}\in \Int(U_{i})\). Zbiory z rodziny \(\mathcal{U}\) są parami rozłączne, więc ich wnętrza również. Funkcja \(f:\mathcal{U}\rightarrow D\), \(f(U_{i})=u_{i}\) jest różnowartościowa, więc mamy, że \(|\mathcal{U}|\le |D|\le \aleph_{0}\), czyli \(\mathcal{U}\) jest co najwyżej przeliczalna.
Wielki błąd - żeby czytać tego typu książki naprawdę nie trzeba jakoś świetnie umieć mówić po angielsku. Zwięzłość niektórych książek jest na to najlepszym dowodem.Jakub Gurak pisze: ↑15 gru 2022, o 23:48 Poszukuję książki z teorii mnogości, najlepiej po polsku, gdyż u mnie z angielskim jest kiepsko.
Znów, ogromny błąd. Książki naszego rodaka są genialne.Ale nie chcę książki typu: "Kuratowski Mostowski, Teoria Mnogości"
I bardzo dobrze. Dzięki temu można trochę poszerzyć sobie horyzonty, szybko załatwić potrzebne podstawy, i iść dalej.tam, teoria mnogości, to zajmuje na moje oko jedynie jedną piątą książki- reszta to topologie, algebry, wszystko co się da.
Nie ma lepszych książek do samodzielnej nauki niż te, w których twierdzenia "same się dowodzą". Uzupełnianie przejść w takim dowodzie naprawdę rozwija myślenie.I styl książki, może sam styl jest fajny, zwięzły i ścisły, bez przesadnego formalizmu- ale to podejście rachunkowe to mi się nie podoba ( ja, z zachwytu nad żmudnymi wzorami, to już dawno wyrosłem ), a dowody... twierdzenia same się dowodzą...
Czy kulturyści wyglądają tak, jak wyglądają, bo podnoszą po tysiąc razy 5-kilogramowy ciężarek? No oczywiście nie. Trzeba brać się za trudniejsze rzeczy, żeby jakoś się rozwijać.Inną sprawą, jest to, że w tej książce od razu rzucają się na głęboką wodę
Pęknę ze śmiechu. Wszystko na odwrót - im MNIEJ głupich ilustracji, tym LEPIEJ. To samemu trzeba sobie robić ilustracje, jeśli w ogóle są potrzebne.z nastawieniem na rozwijanie wyobraźni matematycznej (im więcej będzie ilustracji w takiej książce, tym lepiej)
777... taka prawda, że aż Bóg na niebie widziDodano po 7 dniach 7 godzinach 7 minutach
Ja, cały czas, jakoś się rozwijam( może nie aż w takim tempie, jak lecą w tej omawianej książce, przyznaję szczerze, sto razy wolniej, ale ciągle do przodu- np. nie tak dawno, trudne do pojęcia dla mnie było, że suma prostoķątów może dawać koło otwarte, i jak zobaczyłem animację Janusza Tracza (trwającą zaledwie pięć sekund), to z trzy minuty się przyglądałem, i ... warto było- teraz, nie mając animacji dla elipsy, mając tylko jedynie rysunek elipsy na kartce, nie jest dla mnie problemem przesuwanie wierzchołków prostokątów po elipsie, i sumowanie tych prostoķątów- a dopiero co, fakt, mówiący, że suma prostoķątów może dawać koło otwarte, był dla mnie szokujący ). Także pomału jakoś się rozwijam. I tak - czasem wystarczy mi zaledwie mały ciężarek, jeśli coś jest (choć odrobinę) kształcące dla mnie, a jest przy tym ciekawe, to mnie to cieszy i lubię to badać.
Ale wydaje mi się, że nie o to chodzi w studiowaniu matematyki, a raczej właśnie o możliwość rozwijania własnego, precyzyjnego sposobu myślenia.
Nawet się czasem przydaje.Jakub Gurak pisze: ↑30 mar 2023, o 15:51 Mamy taki fakt mówiący, że dla funkcji między dwoma zbiorami, dla dwóch podzbiorów przeciwdziedziny tej funkcji, jeśli te dwa zbiory są rozłączne, to ich przeciwobrazy również są rozłączne.
Chyba coś jest nie tak z tym uzasadnieniem. Na moje oko powinno to wyglądać tak.Jakub Gurak pisze: ↑30 mar 2023, o 15:51 UZASADNIENIE TEGO FAKTU:
No bo gdyby te przeciwobrazy miałyby wspólny element, to ta funkcja temu elementowi
przypisywałaby dwa różne elementy z odpowiednio pierwszego i drugiego podzbioru
przeciwdziedziny, co przeczy definicji funkcji, i co kończy dowód tego faktu \(\displaystyle{ .
\square}\)
Czy coś nas powstrzymuje przed trakowaniem \(\langle\langle 1,1 \rangle , 1 \rangle\) i \(\langle 1, \langle 1,1 \rangle\rangle\) jako po prostu trójek jedynek? Może są jakieś sytuacje, gdzie takie rozróżnienie jest istotne? Bo ja nie widzę takiej potrzeby.Strictly speaking, the Cartesian product is not associative (unless one of the involved sets is empty).
\((A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)\)
If for example \(A=\lbrace 1 \rbrace\), then \((A\times A)\times A=\lbrace \langle\langle 1,1 \rangle , 1 \rangle\rbrace\neq \lbrace \langle 1, \langle 1,1 \rangle\rangle\rbrace = A\times (A\times A)\).
Dowolna funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\), to podzbiór \(\displaystyle{ f \subset X \times Y,}\) więc w szczególności funkcja dwóch zmiennych \(\displaystyle{ f: X \times Y \rightarrow Z,}\) to podzbiór \(\displaystyle{ f \subset \left( X \times Y\right) \times Z. }\) Zauważmy, że nie ma sensu traktowanie tej funkcji jako podzbiór \(\displaystyle{ f \subset X \times \left( Y \times Z\right), }\) bo jest to funkcja jednej zmiennej, i to jeszcze taka, której wartościami są pary, ( i to jeszcze \(\displaystyle{ Z \neq Y \times Z,}\) dla \(\displaystyle{ Z \neq \emptyset}\), i \(\displaystyle{ X \times Y \neq X,}\) dla \(\displaystyle{ X \neq \emptyset}\)), więc nie ma to zupełnie sensu. Nie ma co na siłę szukać praw, których nie ma, mnożenie kartezjańskie NIE JEST łączne.
A czy ktoś twierdził, że są równe? Nie chodzi tylko o równoliczność, ale o to, że większość matematyków używa po prostu \(\displaystyle{ X\times Y\times Z}\) bez żadnych nawiasów, traktując to jako zbiór trójek uporządkowanych. A jeżeli jest jakiś istotny powód, by gdzieś dostawić nawiasy, to sobie dostawiają.Jakub Gurak pisze: ↑1 kwie 2023, o 11:04ale te dwa iloczyny kartezjańskie nie są równe, są one jedynie równoliczne, może to gdzieś się przydać.