Czy liczba 0,(9) istnieje?

[AiDi]

Gdzie jest błąd?

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{1-0,(9)} = \frac{1}{10}}\)

Błąd polega na napisaniu, że lewa strona jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\). Poza tym zdaje się, że już to było przerabiane. Warto by było wyciągnąć wnioski, a nie kolejny razy zaczynać od nowa...

[PoweredDragon]

Brombal

Problem w tym, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{1-0,(9)} = \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{1-1} = 0}\)

To co ty robisz, jest przez ciebie mylone z \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1- \sum_{1}^{n} \frac{9}{10^n}}}\), ale to powyżej i to tutaj to dwie zupełnie różne granice...

[Premislav]

Widzę, że nie pojawiła się jeszcze jasna i klarowna odpowiedź na tytułowe pytanie z wątku: liczba \(\displaystyle{ 0,(9)}\) nie istnieje, ponieważ nigdy jej nie widziałem na ulicy. Dziękuję, dobranoc.

[arek1357]

Na ulicy nie widziałeś ale może w kinie lub sklepie np. monopolowym...

[Brombal]

Brombal

Problem w tym, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{1-0,(9)} = \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{1-1} = 0}\)

To co ty robisz, jest przez ciebie mylone z \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1- \sum_{1}^{n} \frac{9}{10^n}}}\), ale to powyżej i to tutaj to dwie zupełnie różne granice...

Tak zapytam, a to jest prawda?
\(\displaystyle{ 0,(9) =\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{9}{10^n}}\)

[PoweredDragon]

A i owszem.

[Brombal]

To dlaczego w miejsce \(\displaystyle{ 0,(9)}\) wstawiasz jakąś jedyneczkę zamiast tego?

[PoweredDragon]

Ponieważ taka równość zachodzi i została tu kilkukrotnie udowodniona.
To nie nasz problem z pojmowaniem definicji granicy/sumy szeregu/innych pojęć elementarnych dla omawianego zagadnienia xD Niezły troll temat

[Brombal]

... \(\displaystyle{ ... \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{1-1} = 0}\)

To co ty robisz, jest przez ciebie mylone z \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1- \sum_{1}^{n} \frac{9}{10^n}}}\), ale to powyżej i to tutaj to dwie zupełnie różne granice...

Cieszę się, że ktoś podziela mój pogląd . Skoro to zupełnie inne granice to:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty n} \frac{9}{10^n}}\) nie jest tożsame z \(\displaystyle{ 1}\) a jest tożame \(\displaystyle{ 0,(9)}\) (Potwierdzone przez samego PoweredDragon). To \(\displaystyle{ 0,(9)}\) nie jest tożsame z \(\displaystyle{ 1}\). Równe jak najbardziej.
Pomimo tego, że jak wielokrotnie udowodniono ...

[PoweredDragon]

Em. Nie? \(\displaystyle{ \frac{1}{10}= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1- \sum_{1}^{n} \frac{9}{10^n}} \neq \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1- \sum_{k=1}^{\infty} \frac{9}{10^k}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1- 0,(9)} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1- 1} = 0}\)
Czy za trollowanie jest jakiś specjalny rodzaj bana moderacjo?

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty n} \frac{9}{10^n}}\) nie jest tożsame z \(\displaystyle{ 1}\) a jest tożame \(\displaystyle{ 0,(9)}\) (Potwierdzone przez samego PoweredDragon).

No to to akurat nie jest tożsame z niczym, bo ten zapis to jakiś bełkot (czymkolwiek jest \(\displaystyle{ \infty n}\), pierwsze słyszę).
Btw. Jak dla Ciebie Brombalu "sam PoweredDragon", tj. jeszcze licealista jest autorytetem w jakiejś dziedzinie (taki bowiem jest ton twojej wypowiedzi) to współczuję xD

[Jan Kraszewski]

Czy za trollowanie jest jakiś specjalny rodzaj bana moderacjo?

Są sankcje. Ale zacznę od zamknięcia tematu, bo to, co wypisuje Brombal nie ma wiele wspólnego z matematyką.

JK