Matematyka.pl

tomwanderer, a skąd taki wzór ?

Podstawiłem odpowiednie wartości do Twojego wzoru na \(\displaystyle{ f}\).

tomwanderer, haha. Ale ja che się dowiedzieć dlaczego ten wzór jest taki a nie inny.

Kupujesz za \(\displaystyle{ T-1}\) WIG20 za cenę \(\displaystyle{ K_1}\). Jednak w tym momencie teoretyczna cena to \(\displaystyle{ F_2}\). (Przyjmijmy \(\displaystyle{ F_2>K_1}\)) Obecna cena WIG20 to \(\displaystyle{ S_2}\).

Ile wart jest kontrakt, który posiadasz? Zobaczmy, jaki zysk daje, gdy zastosujemy strategię arbitrażową:

Pożyczamy WIG20 i sprzedajemy za \(\displaystyle{ S_2}\). Określa się to mianem krótkiej sprzedaży. Chodzi o to, że nie musimy być w jego posiadaniu, żeby móc sprzedać. Mamy kwotę \(\displaystyle{ S_2}\), wpłacamy na lokatę. Dostajemy po czasie \(\displaystyle{ T-1}\) kwotę \(\displaystyle{ S_2e^{r(T-1)}=F_2}\). Kupujemy wywiązując się z kontraktu WIG20 za \(\displaystyle{ K_1}\), zatem \(\displaystyle{ F_2-K_1}\) to nasz przyszły zysk. Natomiast \(\displaystyle{ (F_2-K_1)e^{r(T-1)}}\) to obecna wartość naszego przyszłego zysku. A więc gdyby ktoś dziś nam zaoferował kupno takiego kontraktu, to uczciwą ceną byłaby obecna wartość przyszłego zysku z tego kontraktu, czyli to co wynika ze wzoru.

tomwanderer, teraz rozumiem. Chyba największy problem mam z tym, że jest tutaj masa różnych cen. Cena dostawy \(\displaystyle{ K_1}\), cena teoretyczna w chwili \(\displaystyle{ t=1}\) wynosząca \(\displaystyle{ F_1}\). To samo dla \(\displaystyle{ t=2}\). Dodatkowo dochodzi dyskontowanie wszystkiego na moment zawarcia umowy- cena zwana wartością kontraktu.

Dzięki wielkie za pomoc : )-- 5 mar 2017, o 04:04 --

tomwanderer pisze:Kupujesz za \(\displaystyle{ T-1}\) WIG20 za cenę \(\displaystyle{ K_1}\). Jednak w tym momencie teoretyczna cena to \(\displaystyle{ F_2}\). (Przyjmijmy \(\displaystyle{ F_2>K_1}\)) Obecna cena WIG20 to \(\displaystyle{ S_2}\).

Tu na pewno wszystko napisałeś ok ?

Przy okazji powyższe rozumowanie uzasadnia, dlaczego cena teoretyczna \(\displaystyle{ F}\) to taka cena wykonania, dla której \(\displaystyle{ f=0}\).

Tak, ok. Przyjąłem taką nierówność akurat, bo wtedy istnieje strategia arbitrażowa dla kupującego. W przeciwnym wypadku istnieje dla sprzedającego, a jego zysk to także różnica tych cen.

tomwanderer, super. Kumam wszystko. Ale z tymi strategiami arbitrażowymi nadal coś nie kumam. Przecież ich nie ma być. A się okazuje, że jak tylko cena dostawy będzie odbiegała od teoretycznej, to zawsze, dla jednej ze stron będzie możliwy arbitraż. Czy to nie dziwne?

Nie jest to dziwne, bo cena teoretyczna jest tylko jedna. To tak jak ze wszystkim innym. W teorii każdy przedmiot ma swoją jedną cenę, której jest naprawdę wart. Jednak znajdą się tacy, którzy będą skłonni go kupić za cenę wyższą, a niektórzy nie zechcą za niższą. Rynek tworzą ludzie. Modele matematyczne w finansach są użyteczne np. dla firm ubezpieczeniowych, które narzucają na przykład wysokość składki na ubezpieczenie. To tam się korzysta z tych teoretycznych cen. Ale tam, gdzie cena zależy od popytu/podaży i preferencji/widzimisię ludzi, to oczywiście może być ona różna.

tomwanderer, czyli cena teoretyczna \(\displaystyle{ F_t}\) to u nas wartość kontraktu terminowego w chwili zawierania go. Ten jeden dany kontrakt nie ma już innej ceny teoretycznej w następnych dniach trwania kontraktu, prawda? Pisząc \(\displaystyle{ F_t=S_te^{r(T-t)}}\) mam na myśli, że jest to ceną teoretyczną różnych kontraktów(zawieranych w chwilach \(\displaystyle{ t \le T)}\).

leszczu450 pisze:tomwanderer, czyli cena teoretyczna \(\displaystyle{ F_t}\) to u nas wartość kontraktu terminowego w chwili zawierania go.

Nie. Cena teoretyczna \(\displaystyle{ F_t}\) to cena transakcji, na jaką w teorii powinniśmy się umówić w danym czasie \(\displaystyle{ t}\) i przy danym \(\displaystyle{ S_t}\). Wartość kontraktu terminowego to \(\displaystyle{ f}\), a właściwie powinniśmy pisać \(\displaystyle{ f_t}\) jeżeli chcemy zaznaczyć, że ta wartość zmienia się w czasie (a zmienia się, bo zmienia się \(\displaystyle{ F_t}\)). Jedno co się nie zmienia to cena wykonania \(\displaystyle{ K}\), na jaką się umówiliśmy.

tomwanderer, fakt. A Co do ceny teoretycznej \(\displaystyle{ F_t}\). To w chwili zawierania kontraktu ona wynosi \(\displaystyle{ F_t=S_te^{r(T-t)}}\). A dzień po naszym zawarciu umowy cena teoretyczna wczorajszego kontraktu się zmienia? Czy nadal jest taka sama? A \(\displaystyle{ F_2=S_2e^{r(T-2)}}\) co cena teortyczna nowego kontraktu zawartego w drugim dniu po wypuszczeniu kontraktów na konkretny termin \(\displaystyle{ T}\). Dobrze mówię ?

Po kolei:
Nie piszemy, że w chwili zawierania kontraktu jego cena teoretyczna wynosi \(\displaystyle{ F_t=S_te^{r(T-t)}}\), bo \(\displaystyle{ T}\) jest z definicji czasem, jaki pozostaje do realizacji kontraktu w momencie jego zawarcia, więc w momencie zawarcia kontraktu \(\displaystyle{ t=0}\). Natomiast \(\displaystyle{ F_t=S_te^{r(T-t)}}\) to obecna teoretyczna cena wykonania kontraktu, jaki został zawarty \(\displaystyle{ t}\) jednostek czasu temu, z czasem realizacji równym \(\displaystyle{ T}\). Albo teoretyczna cena kontraktu zawartego dziś, jaka będzie za \(\displaystyle{ t}\) jednostek czasu. Wszystko zależy od tego, który punkt w czasie jest naszym punktem odniesienia.
Dzień później raczej \(\displaystyle{ t=1}\), a nie \(\displaystyle{ t=2}\), tylko że pisząc tak trzeba pamiętać, że wtedy \(\displaystyle{ r}\) jest dzienną stopą procentową.

OK. Ale nadal nie powiedziałeś mi jednego. Każdy zawarty danego dnia kontrakt ma tylko jedną cenę teoretyczną, tak? Nasz zapis \(\displaystyle{ F_t}\) nie mówi o cenie teoretycznej jednego zawartego kontraktu w czasie \(\displaystyle{ t=0,1, \ldots T}\). Indeks dolny \(\displaystyle{ t}\) numeruje jakoby kontrakty zawierane w kolejnych dniach od wypuszczenia ich wszystkich na rynek. Czyli mój kontrakt z Tobą, zawarty np. 15 dni po wypuszczeniu kontraktów na rynek, ma jedną jedyną cenę teoretyczną i wynosi ona \(\displaystyle{ F_{15}=S_{15}e^{r(T-15)}}\).

Dobrze mówię?

Albo jeszcze inaczej. Zapis:

\(\displaystyle{ F_1=S_1e^{r(T-1)}}\) to:

a) cena teoretyczna zawartego w chwili \(\displaystyle{ t=1}\) kontraktu, który wygasa za \(\displaystyle{ T-1}\) dni,
b) cena teoretyczna kontraktu zawartego w chwili \(\displaystyle{ t=0}\) odnosząca się do kolejnego dnia.

tomwanderer pisze:Natomiast \(\displaystyle{ F_t=S_te^{r(T-t)}}\) to obecna teoretyczna cena wykonania kontraktu, jaki został zawarty \(\displaystyle{ t}\) jednostek czasu temu, z czasem realizacji równym \(\displaystyle{ T}\).

Chyba nie. To o czym to mówisz to:

\(\displaystyle{ F_t=S_0e^{r(T-t)}}\).

leszczu450 pisze:

tomwanderer pisze:Natomiast \(\displaystyle{ F_t=S_te^{r(T-t)}}\) to obecna teoretyczna cena wykonania kontraktu, jaki został zawarty \(\displaystyle{ t}\) jednostek czasu temu, z czasem realizacji równym \(\displaystyle{ T}\).

Chyba nie. To o czym to mówisz to:

\(\displaystyle{ F_t=S_0e^{r(T-t)}}\).

Nie. Niech zbiorę myśli, jak Ci to wytłumaczyć.

Ceny kontraktów z a) i b) są takie same. Bo te kontrakty to jeden i ten sam kontrakt. Mamy dziś 6. marca. Kontrakt na WIG20 z terminem wykonania 1. kwietnia to ten sam kontrakt, jakim był wczoraj, tylko zmieniają się jego parametry. Kupując kontrakt dziś a sprzedając jutro, handlujesz tym samym kontraktem, jeżeli tylko moment jego wykonania jest ten sam.

Jeżeli przyjmiemy, że w dniu 6. marca \(\displaystyle{ t=0}\), to \(\displaystyle{ T=25}\) i teoretyczną cenę wykonania kontraktu zapisujemy jako \(\displaystyle{ F_0=S_0e^{rT}}\). Jeżeli przyjmiemy, że w dniu 6. marca \(\displaystyle{ t=6}\), to \(\displaystyle{ T=31}\) i teoretyczną cenę wykonania kontraktu zapisujemy jako \(\displaystyle{ F_6=S_6e^{r(T-6)}}\).

tomwanderer, oj wydaje mi się, że mam rację. To chyba jedyna logiczna droga. Kontrakty zawierane każdego dnia mają jedną jedyną cenę teoretyczną. Cena ta nawet jak mijają kolejne dni jest cały czas taka sama. Kontrakty zawierane w kolejnych dniach po emisji mają istotnie różne ceny teoretyczne, bo zależą one od danego kursu WIG20 danego dnia. No chyba, ze kurs WIG20 by się powtórzył : ) Ceny teoretyczne mają to do siebie, że gdy jesteśmy coraz bliżej dnia wygaśnięcia kontraktu, to ceny te są coraz bliżej ceny samego WIG20.

Tak mi się wydaje : ) Ale jeśli to nieprawda, to proszę, wyprowadź mnie z błędu.-- 6 mar 2017, o 11:46 --tomwanderer, wszystko co mówisz to jedynie notacja. Przesunąłeś wskaźnik indeksowania. Ja mówię o czymś innym. Czy jak ja zawre kontrakt dzisiaj, tj. 6 marca, to niezależnie od tego jak się wyraża jego cena teoretyczna( może to być \(\displaystyle{ F_i=S_ie^{r(T-i)}}\) dla każdego \(\displaystyle{ i, T}\) takich, że \(\displaystyle{ T-i=25}\)). To czy ten kontrakt ma jedną cenę teoretyczną, czy ona się zmienia w czasie?