Obalam teorię mnogości

[Jan Kraszewski]

Jeśli ktoś broni teorii mnogości to niech wytłumaczy mi jedną rzecz. Jak mogą istnieć większe i mniejsze nieskończoności? Przecież to absurd. Z samej analizy pojęcia nieskończoności wynika, że nie mogą być większe bądź mniejsze nieskończoności.

I jak zwykle dochodzimy do różnicy pomiędzy nieskończonością potencjalną a aktualną. Ty po prostu negujesz tę drugą.

Coś co jest nieskończenie-wielkie ma tylko jedną wielkość. Nieskończoną. Coś co jest nieskończenie-liczebne ma tylko jedną ilość elementów. Nieskończoną.

Galileusz myślał dokładnie tak, jak Ty... Problem polega na tym, co to jest "ilość elementów".

JK

[Trylemat Agryppy]

Chyba Ci nikt tego nie wytłumaczy, bo tak sobie przyjeli matematycy. Tzn. "wielkość" zbiorów bazuje na bijekcji według nich.

Opierają się na metodzie Cantora. Nie rozumiem logiki tej metody, tzn. myślę, że jest błędna. Skoro dochodzimy tą metoda do jakiejś nowej liczby \(\displaystyle{ \alpha}\) to czemu nie możemy jej ponumerować? Mógłbym przecież przypisać ją do jedynki, a tą co była przypisana do jedynki mógłbym przepisać do dwójki itd. To tak jakbym mógł zakwaterować gościa do pełnego hotelu Hilberta.

Ty po prostu negujesz tę drugą.

Niekoniecznie i wcale nie mam takiego zamiaru. Neguję jedynie pomysł by istniały większe i mniejsze nieskończoności, i przyglądam się argumentowi który rzekomo ma służyć temu pomysłowi.

[AiDi]

Nie rozumiem logiki tej metody, tzn. myślę, że jest błędna.

Albo nie rozumiesz, albo myślisz, że jest błędna. Nie da się obu na raz.

[Jan Kraszewski]

Nie rozumiem logiki tej metody, tzn. myślę, że jest błędna. Skoro dochodzimy tą metoda do jakiejś nowej liczby \(\displaystyle{ \alpha}\) to czemu nie możemy jej ponumerować?

Obawiam się, że raczej po prostu nie rozumiesz logiki w ogólności. W szczególności nie rozumiesz, na czym polega w tym wypadku dowód nie wprost.

JK

[yorgin]

Nie wiemy taż jak wygląda pierwsza cyfra z prawej dowolnej liczby niewymiernej.

Skoro mowa o liczbie niewymiernej, to cyfr rozwinięcia jest nieskończenie wiele. Nie ma więc czegoś takiego, jak cyfra "pierwsza z prawej". Gdyby natomiast była, są dwa przypadki:

1. Jest to cyfra pojawiająca się na skończonym miejscu. Przeczy to wtedy niewymierności liczby.

2. Jest to cyfra pojawiająca się na nieskończonym miejscu. W takim przypadku rozwinięcie dziesiętne tworzy ciąg liczbowy dobrze uporządkowany o typie porządkowym \(\displaystyle{ \omega+1}\). Przeczy to wtedy idei rozwinięcia dziesiętnego dowolnej liczby, w której każda cyfra ma skończoną liczbę porządkową.

Inaczej, skoro znasz ostatnią cyfrę z prawej, to jaka jest przedostatnia? Jaka jest trzecia od końca? Itp. Wkraczasz w grunt bardzo niebezpieczny i problematyczny.

A mimo to uznajemy liczby niewymierne za liczby.

Owszem, gdyż odpowiednia suma szeregu takiej liczby jest zbieżna do skończonej wartości. Dla liczb "nieskończonych w lewo" szereg jest rozbieżny, więc nie definiuje żadnej liczby rzeczywistej.

Te liczby po prostu nie mają ostatniej cyfry i możemy je porównywać.

Owszem. Podobnie możemy porównywać wypisane przez Ciebie wcześniej "liczby nieskończone w lewo", ale to nie ma żadnego znaczenia.

Myślę, że warto poznać nieco więcej terminologii i idei z teorii mnogości i/lub konstrukcji zbiorów liczbowych. Wiele z Twoich błędnych przemyśleń bierze się prawdopodobnie z braku dostatecznej wiedzy.

[Trylemat Agryppy]

Obawiam się, że raczej po prostu nie rozumiesz logiki w ogólności. W szczególności nie rozumiesz, na czym polega w tym wypadku dowód nie wprost.

Polega na tym, że uznajemy, iż mamy w ciągu wszystkie liczby z przedziału. A potem konstruujemy liczbę której nie możemy znaleźć w tym ciągu. Ma to świadczyć o tym, że nie da się ponumerować liczb z tego przedziału. Ale tak naprawdę to świadczy tylko o tym, że nie da się tego zrobić tą metodą. Nie znaczy to, że jednych liczb jest więcej od drugich.

yorgin,
A nie wydaje Ci się, że skoro nie można skonstruować metodą Cantora takiej "liczby", niech będzie w cudzysłowie, to tak jakby zbiór liczb całkowitych nie był nieskończony?

[Jan Kraszewski]

Obawiam się, że raczej po prostu nie rozumiesz logiki w ogólności. W szczególności nie rozumiesz, na czym polega w tym wypadku dowód nie wprost.

Polega na tym, że uznajemy, iż mamy w ciągu wszystkie liczby z przedziału. A potem konstruujemy liczbę której nie możemy znaleźć w tym ciągu. Ma to świadczyć o tym, że nie da się ponumerować liczb z tego przedziału. Ale tak naprawdę to świadczy tylko o tym, że nie da się tego zrobić tą metodą.

To znaczy, że nie da się tego zrobić żadną metodą - wynika to z dowolności przyjętego ponumerowania. Kwantyfikatory się kłaniają...

Nie znaczy to, że jednych liczb jest więcej od drugich.

To znaczy, że nie ma bijekcji pomiędzy tymi zbiorami. To, że jednych jest "więcej od drugich" wynika z przyjętej definicji "więcej", w która Ty nie wierzysz.

JK

[Trylemat Agryppy]

To znaczy, że nie da się tego zrobić żadną metodą

To znaczy, że założenie o tym, że ciąg zawiera wszystkie liczby z przedziału jest błędne.
Chciałem to pokazać na przykładzie liczb całkowitych. Ale skoro nie uznajecie nieskończonej liczby całkowitej to mogę to pokazać na przykładzie liczb rzeczywistych z tego przedziału. U Cantora numerujemy liczby rzeczywiste z przedziału [0, 1] liczbami naturalnymi. Ale ponumerujmy tą metodą liczby rzeczywiste z przedziału [0, 1] liczbami rzeczywistymi z przedziału [0, 1].

0 \(\displaystyle{ \rightarrow}\) 0, 2 6 7 8 8 8 9 2 8 7 1 7 7 4 3 ...
0,1 \(\displaystyle{ \rightarrow}\) 0, 2 7 1 6 7 3 8 2 0 9 8 3 0 9 8 ...
0,2 \(\displaystyle{ \rightarrow}\) 0, 2 1 9 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ...
...
0,01\(\displaystyle{ \rightarrow}\) 0, 3 4 2 1 1 1 3 3 4 4 2 3 4 2 2 ...
...
0,11\(\displaystyle{ \rightarrow}\) 0, 2 1 3 4 2 1 1 1 3 3 4 4 2 3 4 ...
...
Tu też mamy \(\displaystyle{ \alpha}\) której nie ma w ciągu. Czy otrzymana sprzeczność pokazuje, że zbiory liczb rzeczywistych i rzeczywistych nie są równoliczne? Nie, ona pokazuje jedynie, że założenie o ciągu zawierającym wszystkie liczby rzeczywiste z przedziału jest błędne.

[yorgin]

yorgin,
A nie wydaje Ci się, że skoro nie można skonstruować metodą Cantora takiej "liczby", niech będzie w cudzysłowie, to tak jakby zbiór liczb całkowitych nie był nieskończony?

Nie wydaje mi się. To, że czegoś nie da się zrobić nie oznacza, że inna cecha zachodzi/nie zachodzi (wszak ze stwierdzenia fałszywego można wywnioskować wszystko). W szczególności, co skomentowałem wcześniej, zbiór liczb całkowitych jest nieskończony i żadne niemożliwe konstrukcje "liczb" na to nie wpływają.

[Slup]

Faktycznie obaliłeś teorię mnogości.

Poza tym, że Ci gratuluję, to chciałbym Cię o coś zapytać. Nie uważasz, że to trochę aroganckie i właściwie głupie nie znać podstawowych pojęć matematycznych i zakładać na tym forum temat o takim tytule?

[Jan Kraszewski]

To znaczy, że założenie o tym, że ciąg zawiera wszystkie liczby z przedziału jest błędne.

No i o to właśnie chodzi w dowodzie nie wprost - żeby dojść do sprzeczności.

Ale ponumerujmy tą metodą liczby rzeczywiste z przedziału \(\displaystyle{ [0, 1]}\) liczbami rzeczywistymi z przedziału \(\displaystyle{ [0, 1]}\).
(...)
Tu też mamy \(\displaystyle{ \alpha}\) której nie ma w ciągu.

Znów piszesz o czymś, czego nie rozumiesz. Jak mówisz o "numerowaniu liczbami rzeczywistymi", to nie możesz mówić o "ciągu". Ciąg jest funkcją o dziedzinie \(\displaystyle{ \NN}\). Poza tym nie opisałeś żadnego "numerowania", dalej obracasz się w ramach poglądowego rysunku, który w dodatku w tym kontekście zupełnie nie ma sensu.

JK

[Dasio11]

Polega na tym, że uznajemy, iż mamy w ciągu wszystkie liczby z przedziału. A potem konstruujemy liczbę której nie możemy znaleźć w tym ciągu. Ma to świadczyć o tym, że nie da się ponumerować liczb z tego przedziału. Ale tak naprawdę to świadczy tylko o tym, że nie da się tego zrobić tą metodą. Nie znaczy to, że jednych liczb jest więcej od drugich.

Ponumerowanie wszystkich liczb rzeczywistych liczbami naturalnymi albo istnieje, albo nie istnieje. Matematycy twierdzą, że nie istnieje, i argumentują to tak: bierzemy dowolne numerowanie liczb rzeczywistych i wskazujemy liczbę \(\displaystyle{ \alpha,}\) której w tym numerowaniu nie ma. Ta metoda w każdym numerowaniu skutecznie wskazuje brak pewnej liczby rzeczywistej.

Ale gdyby istniało numerowanie wszystkich liczb rzeczywistych, to z nim takiego tricku jak wyżej nie dałoby się zrobić, prawda?

A da się.

Opierają się na metodzie Cantora. Nie rozumiem logiki tej metody, tzn. myślę, że jest błędna. Skoro dochodzimy tą metoda do jakiejś nowej liczby \(\displaystyle{ \alpha}\) to czemu nie możemy jej ponumerować? Mógłbym przecież przypisać ją do jedynki, a tą co była przypisana do jedynki mógłbym przepisać do dwójki itd. To tak jakbym mógł zakwaterować gościa do pełnego hotelu Hilberta.

To byłoby oszustwo. Wyobraź sobie, że chwalisz się kolegom, że masz w domu trzygłową żyrafę. Nie ufając Ci, koledzy rezolutnie proszą, abyś im ją pokazał. Wobec tego przyprowadzasz pewne stworzenie, lecz koledzy zauważają: to jest kot. Ty na to odpowiadasz: rzeczywiście, i przyprowadzasz inne stworzenie. Koledzy na to, że to pies, a Ty przyprowadzasz wtedy jeszcze inne zwierzę. Zdrowy rozsądek podpowiada, że mijasz się z prawdą.

Bo skoro masz tę żyrafę, to możesz ją pokazać za pierwszym razem, nie?

[Trylemat Agryppy]

Nie uważasz, że to trochę aroganckie i właściwie głupie nie znać podstawowych pojęć matematycznych i zakładać na tym forum temat o takim tytule?

Może.

Ponumerowanie wszystkich liczb rzeczywistych liczbami naturalnymi albo istnieje, albo nie istnieje. Matematycy twierdzą, że nie istnieje, i argumentują to tak: bierzemy dowolne numerowanie liczb rzeczywistych i wskazujemy liczbę \(\displaystyle{ \alpha}\), której w tym numerowaniu nie ma. Ta metoda w każdym numerowaniu skutecznie wskazuje brak pewnej liczby rzeczywistej.

To zależy w którym miejscu numerowania staniesz. Do liczby \(\displaystyle{ \alpha}\) też można tak podejść, że nie da się jej zbudować. Bo w każdym skończonym cyklu trafiamy na inną taką która jest w ciągu.

To byłoby oszustwo. Wyobraź sobie, że chwalisz się kolegom, że masz w domu trzygłową żyrafę. Nie ufając Ci, koledzy rezolutnie proszą, abyś im ją pokazał. Wobec tego przyprowadzasz pewne stworzenie, lecz koledzy zauważają: to jest kot. Ty na to odpowiadasz: rzeczywiście, i przyprowadzasz inne stworzenie. Koledzy na to, że to pies, a Ty przyprowadzasz wtedy jeszcze inne zwierzę. Zdrowy rozsądek podpowiada, że mijasz się z prawdą.

Zdrowy rozsądek to nie matematyczna ścisłość.

Bo skoro masz tę żyrafę, to możesz ją pokazać za pierwszym razem, nie?

Nie mieszaj psychologii z matematyką.

[Jan Kraszewski]

Ta metoda w każdym numerowaniu skutecznie wskazuje brak pewnej liczby rzeczywistej.

Jeśli by tak było, to liczby \(\displaystyle{ \alpha}\) też nie dałoby się zbudować. Bo w każdym skończonym kroku trafiamy na inną taką która jest w ciągu.

Obawiam się, że zrozumienie istoty dowodu nie wprost jest na razie poza Twoim zasięgiem.

Obawiam się też, że nie dojdziemy do porozumienia. Proponuję zatem pozostać przy swoich stanowiskach.

Ty będziesz uznawał, że obaliłeś teorię mnogości, a na tym forum nikt nie potrafi Cię zrozumieć, a my będziemy uważać, że nie rozumiesz rozważań, do których się odnosisz i stąd biorą się Twoje mylne przekonania.

JK

[Trylemat Agryppy]

Obawiam się też, że nie dojdziemy do porozumienia. Proponuję zatem pozostać przy swoich stanowiskach.

Ale ja z biegiem czasu się uczę. Już nie myślę tak samo jak na początku.