Matematyka.pl

C3 jest proste, dalej nie rozwiązuję, bo za dużo geometrii.
\(\displaystyle{ a_2=\sqrt{81-a_1^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}=a_4=\dots=a_{2016}}\)
\(\displaystyle{ a_2^2+a_3^2=81}\), więc znowu \(\displaystyle{ a_3=3}\)
i dalej \(\displaystyle{ a_3=3=a_5=\dots=a_{2017}}\)
Od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 2017}\) mamy \(\displaystyle{ 1009}\) liczb nieparzystych i \(\displaystyle{ 1008}\) liczb parzystych, więc
\(\displaystyle{ a_1+a_2+\dots+a_{2017}=1008 \cdot 6\sqrt{2}+1009\cdot 3=3027+6048\sqrt{2}}\)
To by się nadało na porządną maturę podstawową.

C3 Premislav mnie uprzedził w trakcie pisania

-- 16 paź 2016, o 21:55 --

C4

Ad C3

Premislav pisze:To by się nadało na porządną maturę podstawową.

Może, choć odbiegający od standardowego zapis ciągu pewnie zniechęciłby mniej obytych maturzystów.-- 21 paź 2016, o 17:54 --D1. Ile wynosi największe naturalne \(\displaystyle{ k}\) takie że \(\displaystyle{ 2017!}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3^k}\) ?

D2. Na ile sposobów można ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\right\}}\) wybrać dwa rozłączne i niepuste podzbiory ?

D3. Dla jakich wartości parametru k równanie:
\(\displaystyle{ \cos x+\cos^2 x+ \cos^3 x+....=k^2-3k^3+9k^4-27k^5+......}\)
ma rozwiązanie?

D4. Rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2^x+\sin y+\log z=3 \\ \log z ^{(2^{x+1})}+\cos^2 y=10 \end{cases}}\)

D5. Niech \(\displaystyle{ n,k \in \NN_ + \wedge k \le n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k}\left( \prod_{j=1}^{i} \frac{k-j+1}{n-j+1} \right)= \sum_{i=1}^{k} \frac{ {k \choose i} }{ {n \choose i} }= \frac{k}{n-k+1}}\)
a) Pokaż poprawność powyższej równości dla \(\displaystyle{ k=5}\)
b)* Udowodnij równość:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k} \frac{ {k \choose i} }{ {n \choose i} }= \frac{k}{n-k+1}}\)

D6. Figurę z rysunku przecięto styczną do łuku będącego jej brzegiem. Proszę wyrazić pole odciętego trójkąta prostokątnego jako funkcję jednej zmiennej.
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (0,3)--(0,0)--(3,0);
\draw [dashed][blue](0,3)--(3,3)--(3,0);
\draw (0,3)arc(180:270:3);
\draw (0,1.5)node[left ] {$ 10 $};
\end{tikzpicture}}\)

D7. Dwie krawędzie czworościanu nieposiadające wspólnego wierzchołka mają długość 2a, a pozostałe krawędzie 3a. Ile wynosi promień sfery:
a) opisanej na czworościanie?
b)* wpisanej w czworościan?

D8. Z dwóch wierzchołków kwadratu o boku R zatoczono okręgi o promieniu R. Proszę obliczyć średnią arytmetyczną z pól figur na jakie łuki okręgów podzieliły kwadrat.

D9. Przekątne trapezu dzielą go na cztery trójkąty. Proszę wykazać, że te dwa których krawędziami nie są podstawy trapezu mają równe pola.

D10. Trzy parami styczne zewnętrznie okręgi mają promienie:
a) 3,2,2
b)* 3,2,1
Jakie wymiary ma trójkąt którego boki są stycznymi do dwóch okręgów i nie przecinają trzeciego okręgu.

* - wersja trudniejsza i/lub czasochłonna. Można ją pominąć.

E1. Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Proszę wykazać, że pola trzech z nich tworzą ciąg geometryczny.

E2. Pięć rur o średnicy 2R biegnie w kanale o przekroju prostokątnym. Jakie wymiary na przekrój kanału o najmniejszym polu?

E3. Punkty będące rozwiązaniem równania:
\(\displaystyle{ x^4-4yx+2y^2+1=0}\)
tworzą figurę F. Proszę podać, o ile istnieje/ą, równanie/a osi symetrii figury F.

E4. Proszę udowodnić, że reszta z dzielenia dowolnej liczby całkowitej przez 6, jest taka sama jak reszta z dzielenia przez 6 jej sześcianu.

E5. Na płaszczyźnie X0Y narysuj rozwiązanie nierówności:
\(\displaystyle{ 3x^3+(2y-8)x^2-12y^2x-8y^3+32y^2 \le 0}\)
Czy istnieje/ą obszar/y ograniczony będący rozwiązaniem tej nierówności? Jeśli tak, to ile wynosi jego/ich pole?

E6. Wysokość ostrosłupa o podstawie kwadratowej ma spodek w połowie krawędzi podstawy. Pole przekroju przechodzącego przez krawędź podstawy (równoległej do tej ze spodkiem wysokości) oraz środek wysokości ostrosłupa jest dwukrotnie większe od pola podstawy. Ile wynosi kąt miedzy dwoma najdłuższymi krawędziami ostrosłupa?

E7.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \log_5\log_2x+\log_5\log_2y=0 \\
(\log_4x-1)^2+\log_2 \sqrt[4]{x}+9\log_8y=2 \end{cases}}\)

E8. Proszę wskazać takie różne niewymierne liczby p,q (w każdym podpunkcie mogą być inne) aby
a) ich suma i iloczyn był wymierny
b) \(\displaystyle{ p ^{q}}\) była wymierna
c) \(\displaystyle{ \log_pq}\) był wymierny

E9.
\(\displaystyle{ \sin ^{2017}x+ \cos ^{2017}x=1}\)

E10. Z wierzchołków sześcianu losujemy 4. Jakie jest prawdopodobieństwo wybrania takich 4 punktów, że mogą być wierzchołkami czworościanu .

E8
a) \(\displaystyle{ p=2-\sqrt{2}, q=2+\sqrt{2}}\)
b) \(\displaystyle{ p=\sqrt{2}, q=\log_{\sqrt{2}}3}\)
c) \(\displaystyle{ p=\sqrt{2}, q=2\sqrt{2}}\)

E9
Zauważmy, że ponieważ \(\displaystyle{ |\cos x| \le 1}\) oraz \(\displaystyle{ |\sin x| \le 1}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\), to
\(\displaystyle{ \cos^2 x \ge \cos^{2017}x}\) oraz \(\displaystyle{ \sin^2 x \ge \sin^{2017}x}\), równość w pierwszej nierówności zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \cos x=0 \vee \cos x=1}\), zaś w drugiej nierówności - gdy \(\displaystyle{ \sin x=0 \vee \sin x=1}\).
Stąd
\(\displaystyle{ \sin ^{2017}x+ \cos ^{2017}x\le 1}\) i równość mamy wtedy i tylko wtedy, gdy
\(\displaystyle{ x=2k \pi \vee x= \frac{\pi}{2}+2k\pi, k \in \ZZ}\)

C8 D1 D2 D3 Pewnie błąd za błędem.

D5

b)* \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k} \frac{ {k \choose i} }{ {n \choose i} }= \frac{k}{n-k+1}}\)
Czy ma ktoś interpretację kombinatoryczną lub probabilistyczną? Przez prawie godzinę usiłowałem takową wymyślić, ale nic nie udało mi się sklecić.

Wymyśliłem sobie, że lewa strona to jest inaczej
\(\displaystyle{ \frac{1}{{n \choose k}} \sum_{i=1}^{k}{n-i \choose k-i}}\)
i następnie wyciągnąłem totalnie z pupy równość
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k}{n-i \choose k-i}={n \choose k-1}}\),
która została wykoncypowana "tak żeby wyszło".
A tę ostatnią tożsamość już łatwo można wyprowadzić, patrząc od drugiej strony, gdyż
\(\displaystyle{ {n \choose r}+{n \choose r+1}={n+1 \choose r+1}}\)
Zatem \(\displaystyle{ {n-1 \choose k-1}={n \choose k-1}-{n-1 \choose k-2}, {n-2 \choose k-2}={n-1 \choose k-2}-{n-2 \choose k-3}}\) i tak dalej.
Sumując takie równości \(\displaystyle{ {n-r \choose k-r}={n-r+1 \choose k-r}-{n-r \choose k-r-1}}\)
stronami dla \(\displaystyle{ r=1, \dots r=k-1}\) i dodając ostatni składnik lewej, czyli \(\displaystyle{ {n-k \choose 0}=1}\), otrzymujemy natychmiast tezę.
Jednak to wszystko powinno mieć piękne uzasadnienie kombinatoryczne, które umyka mi z uwagi na zbyt niski potencjał intelektualny.

W D2 treść sobie uprościłem i podałem ilość sposobów na wybranie podzbiorów, ale takich, ze każdy element zbioru zostal wybrany. Trzeba jednak czytać ze zrozumieniem . Odrzucenie w D3 \(\displaystyle{ k = 0}\) to też jakaś paranoja, na samym końcu to dopisałem, bo spojrzałem na warunek zbieżności ciągu z cosinusami, a przypadkiem użyłem tej samej literki. Nie będę poprawiał tego w wyjściowym poście, bo głupio by to wyglądało.

Zmierzę się z trapezami:

D9

E1 E3 E4

F1. Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Dwa z nich mają pola 3 i 4. Ile wynosi pole trapezu?

F2. Pięć krawędzi czworościanu ma długość 4. Jaką długość ma ostatnia krawędź jeżeli objętość czworościanu jest największa.

F3. Znajdź sumę obwodów okręgów stycznych do trzech prostych \(\displaystyle{ l_1: \ y=x \ , \ l_2: \ y=-x \ , \ l_3: \ x=4}\)

F4. W sześcian o krawędzi 2 wpisano sferę, w którą wpisano sześcian w który wpisano sferę itd. Oblicz:
a) Sumę objętości wszystkich sześcianów.
b) Stosunek sumy pól wszystkich sfer do sumy pól sześcianów.

F5. Na ile części płaszczyznę X0Y dzielą rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ y^5-x^5+x^4y^2-x^2y^4+x^3y^2-x^2y^3+x^3y-xy^3=0}\)

F6. Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ f(g(x))=g(f(x))}\)
dla \(\displaystyle{ f(x)=3 ^{x} +2 \ , \ g(x)= 3 ^{x} -1}\)
Jaki znak ma rozwiązanie równania?

F7.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \left| \left| x-2\right|-4 \right|<2 \\ \left( \log _{\cos x}2 \right)^2< \log _{\cos x}(4\cos^3 x)\end{cases}}\)

F8.
\(\displaystyle{ x^4+x^2(y^2-2)+2xyz +2z^2+1=0}\)

F9. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg geometryczny. Ile wynosi jego iloraz?

F10. Ile jest liczb sześciocyfrowych w których żadna cyfra nie powtarza się parzystą ilość razy.

G1. Jaka jest reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ x^{2017}-1}\) przez \(\displaystyle{ (x^2-1)^2}\) ?

G2. Ile osi symetrii ma :
\(\displaystyle{ x^6+y^6-x^4y^4-x^2y^2=0}\)

G3. Ile wynosi największe naturalne \(\displaystyle{ k}\) takie że \(\displaystyle{ 50!}\) dzieli się przez:
a) \(\displaystyle{ 45^k}\)
b) \(\displaystyle{ 63^k}\)

G4. Kąty trójkąta prostokątnego o obwodzie \(\displaystyle{ 9(1+\sqrt{3})}\) tworzą ciąg arytmetyczny.
Która z brył powstałych przez obrót trójkąta wokół jednego z boków jest największa?

G5. Podaj liczbę punktów wspólnych okręgu \(\displaystyle{ (x-2)^2+(y+m)^2=2m^2}\) z osiami układu współrzędnych w zależności od parametru m.

G6. Znajdź zbiór punktów z których odcinek o końcach (0,0) i (2,2) widoczny jest pod katem 30 stopni.

G7. W trójkąt prostokątny wpisano okrąg. Proszę udowodnić że iloczyn odcinków przeciwprostokątnej na jakie podzielił ją punkt styczności jest równy polu trójkąta.

G8. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia 12 oczek przy rzucie sześcioma sześciennymi kostkami?

G9. Dla jakich k równanie:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}\sin \alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +\sqrt{2}\cos \alpha=k}\)
ma rozwiązanie?

G10.
\(\displaystyle{ \sqrt{x+4 \sqrt{x-4} }+ \sqrt{5+x-6 \sqrt{x-4} }=5}\) .

G1.
Zapiszmy tę resztę w postaci wielomianu stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 3}\):
\(\displaystyle{ R(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\)
Najpierw standardowo zapisujemy \(\displaystyle{ x^{2017}-1=(x^2-1)^2 Q(x)+R(x)}\), wstawiamy kolejno \(\displaystyle{ x=1, x=-1}\) i mamy takie dwa równania:
1) \(\displaystyle{ 0=R(1)}\)
2) \(\displaystyle{ -2=R(-1)}\)
Jeżeli teraz określimy \(\displaystyle{ P(x)=(x^2-1)^2 Q(x)}\), to widzimy, że \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\) są podwójnymi pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\). Zatem ze znanego twierdzenia wynika, że \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\) są pierwiastkami (już pojedynczymi, ale to nas nie obchodzi akurat) wielomianu \(\displaystyle{ P'(x)}\). Zapiszmy więc równość
\(\displaystyle{ x^{2017}-1=(x^2-1)^2 Q(x)+R(x)}\) w nieco innej postaci:
\(\displaystyle{ x^{2017}-1-R(x)=Q(x)(x^2-1)^2}\), zróżniczkujmy tę równość stronami i po tej operacji znów wstawmy 1 oraz -1, korzystając z tego, że zerują one pochodną prawej strony.
Dostajemy dwa kolejne równania liniowe:
3) \(\displaystyle{ 2017-R'(1)=0}\)
4) \(\displaystyle{ 2017-R'(-1)=0}\)
Mamy zatem układ czterech równań liniowych z czterema niewiadomymi, którego mi się nie chce rozwiązywać, wrzuciłbym do wolframa. Da się jakoś prościej?
Dodaję link do wolframa, bo idę już spać:



G10.

O, takie zadania to ja mogę robić. Dziedzina:
\(\displaystyle{ x\ge 4}\). Dla takich \(\displaystyle{ x}\) możemy zapisać
\(\displaystyle{ x+4\sqrt{x-4}=x-4+4\sqrt{x-4}+4=(\sqrt{x-4}+2)^2}\)
oraz \(\displaystyle{ 5+x-6\sqrt{x-4}=x-4-6\sqrt{x-4}+9=\left(\sqrt{x-4}-3\right)^2}\)
i zadanie samo się kończy. Wystarczy rozważyć dwa przypadki:
pierwszy \(\displaystyle{ x \in \left\langle 4,13\right\rangle}\), drugi \(\displaystyle{ x>13}\), pamiętając o tym, że
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2}=|a|}\)