Kilka zadanek przed maturą.

[Premislav]

C3 jest proste, dalej nie rozwiązuję, bo za dużo geometrii.
\(\displaystyle{ a_2=\sqrt{81-a_1^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}=a_4=\dots=a_{2016}}\)
\(\displaystyle{ a_2^2+a_3^2=81}\), więc znowu \(\displaystyle{ a_3=3}\)
i dalej \(\displaystyle{ a_3=3=a_5=\dots=a_{2017}}\)
Od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 2017}\) mamy \(\displaystyle{ 1009}\) liczb nieparzystych i \(\displaystyle{ 1008}\) liczb parzystych, więc
\(\displaystyle{ a_1+a_2+\dots+a_{2017}=1008 \cdot 6\sqrt{2}+1009\cdot 3=3027+6048\sqrt{2}}\)
To by się nadało na porządną maturę podstawową.

[Larsonik]

C3

Ukryta treść:    

Licząc kolejne wyrazu ciągu możemy zauważyć pewną prawidłowość. Nieparzyste wyrazy przyjmują wartość \(\displaystyle{ 3}\) a parzyste wartość \(\displaystyle{ 6 \sqrt{2}}\). Można to bardzo prosto udowodnić indukcyjnie. Wówczas suma \(\displaystyle{ 2017}\) początkowych wyrazów okazuje się być prostym rachowaniem: \(\displaystyle{ 1008 \cdot 6 \sqrt{2} + 1009 \cdot 3 = 3027 + 6048 \sqrt{2}}\)

Premislav mnie uprzedził w trakcie pisania

-- 16 paź 2016, o 21:55 --

C4

Ukryta treść:    

Tu były straszne głupoty.

[Kartezjusz]

Ukryta treść:    

korzystając ze wzoru na tangens połówkowy obliczamy tangens 15 stopni i analizujemy trójkąt złożony z boku i promieni okręgu opisanego. Korzystając z obwodu dzielimy go na 12-mamy bok 1m, i przyrost 0,2 m. Korzystając z tangensa połówkowego otrzymujemy wysokości trójkąta wyjściowego i powiększonego. Ich różnica to szpara.

[kerajs]

C2 (uzupełnienie):    

Oczywiście rozwiązanie Kartezjusza jest poprawne. Pominięte pośrednie wyniki to:
Równanie daje punkty \(\displaystyle{ (-6,2) \ (2,-6) \ (4,12) \ (6,6) \ (12,4)}\),
odległości miedzy nimi to \(\displaystyle{ \sqrt{40},\sqrt{40},\sqrt{128},\sqrt{128},\sqrt{160},\sqrt{160},\sqrt{200},\sqrt{200},\sqrt{328},\sqrt{328}}\).
Szukane prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P= \frac{4}{10}}\)

C4 (dokończenie):    

Przyjmijmy oznaczenia wierzchołków \(\displaystyle{ A=(2,7), B=(x_1,y_1), C=(x_2,y_2)}\). Od razu możemy się przekonać, ze dana wysokość nie została poprowadzona z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\). Przyjmijmy również, że wierzchołek \(\displaystyle{ B}\) leży na danej dwusiecznej. Wówczas możemy rozpatrzeć przypadek, kiedy bok \(\displaystyle{ AB}\) jest prostopadły do danej wysokości. Korzystając ze współrzędnych \(\displaystyle{ A}\) oraz warunku prostopadłości otrzymujemy równanie prostej, w której zawiera się bok \(\displaystyle{ AB}\): \(\displaystyle{ y_1 = \frac{3}{2}x + 4}\). Punktem przecięcia tej prostej z dwusieczną jest punkt \(\displaystyle{ B=(-4,-2)}\).

Wyliczona prosta \(\displaystyle{ y_1}\) jest jednym z ramion kąta \(\displaystyle{ B}\). Drugie ramię zawiera się w obrazie \(\displaystyle{ y_1}\) w symetrii osiowej względem danej dwusiecznej. Obrazem punktu A w tej izometrii jest \(\displaystyle{ A'=(5,4)}\). Prosta przechodząca przez A' i B to \(\displaystyle{ y_2=\frac{2}{3}x + \frac{2}{3}}\), a jej przecięcie z daną prostą zawierającą wysokość daje trzeci wierzchołek trójkąta \(\displaystyle{ C=( \frac{5}{2} , \frac{7}{3})}\). Pole trójkąta to: \(\displaystyle{ P=\frac{65}{4}}\).

C5 (wyniki):    

Trochę inaczej:
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw [blue](1,3.732)--(0,0)--(1,-3.732);
\draw [dashed][blue](-3,3.732)--(-3.732,1)--(0,0)--(-3.732,-1)--(-3,-3.732);
\draw [dashed](-4,0)--(0,0);
\draw (-3.732,-1)--(-4,0)--(-3.732,1);
\draw (-3.8,0.6)node[left ] {$ x $};
\draw (-3.8,-0.6)node[left ] {$ x $};
\draw (-1.8,0.8)node[left ] {$ d $};
\draw[orange](-2,0)arc(180:165:2);
\draw[red](-1.5,0)arc(180:195:1.5);
\end{tikzpicture}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{1}{2} 0,2 \ m \ \Rightarrow \ x=0,1 \ m = 10 \ cm}\)
\(\displaystyle{ d=x\ctg 15^o=10 \cdot (2+ \sqrt{3} ) \approx 37,32 \ cm}\)
b) Szerokość szpary nie zależy od początkowego obwodu dwunastokąta więc \(\displaystyle{ d \approx 37,32 \ cm}\)

Ad C3

To by się nadało na porządną maturę podstawową.

Może, choć odbiegający od standardowego zapis ciągu pewnie zniechęciłby mniej obytych maturzystów.-- 21 paź 2016, o 17:54 --D1. Ile wynosi największe naturalne \(\displaystyle{ k}\) takie że \(\displaystyle{ 2017!}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3^k}\) ?

D2. Na ile sposobów można ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\right\}}\) wybrać dwa rozłączne i niepuste podzbiory ?

D3. Dla jakich wartości parametru k równanie:
\(\displaystyle{ \cos x+\cos^2 x+ \cos^3 x+....=k^2-3k^3+9k^4-27k^5+......}\)
ma rozwiązanie?

D4. Rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2^x+\sin y+\log z=3 \\ \log z ^{(2^{x+1})}+\cos^2 y=10 \end{cases}}\)

D5. Niech \(\displaystyle{ n,k \in \NN_ + \wedge k \le n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k}\left( \prod_{j=1}^{i} \frac{k-j+1}{n-j+1} \right)= \sum_{i=1}^{k} \frac{ {k \choose i} }{ {n \choose i} }= \frac{k}{n-k+1}}\)
a) Pokaż poprawność powyższej równości dla \(\displaystyle{ k=5}\)
b)* Udowodnij równość:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k} \frac{ {k \choose i} }{ {n \choose i} }= \frac{k}{n-k+1}}\)

D6. Figurę z rysunku przecięto styczną do łuku będącego jej brzegiem. Proszę wyrazić pole odciętego trójkąta prostokątnego jako funkcję jednej zmiennej.
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (0,3)--(0,0)--(3,0);
\draw [dashed][blue](0,3)--(3,3)--(3,0);
\draw (0,3)arc(180:270:3);
\draw (0,1.5)node[left ] {$ 10 $};
\end{tikzpicture}}\)

D7. Dwie krawędzie czworościanu nieposiadające wspólnego wierzchołka mają długość 2a, a pozostałe krawędzie 3a. Ile wynosi promień sfery:
a) opisanej na czworościanie?
b)* wpisanej w czworościan?

D8. Z dwóch wierzchołków kwadratu o boku R zatoczono okręgi o promieniu R. Proszę obliczyć średnią arytmetyczną z pól figur na jakie łuki okręgów podzieliły kwadrat.

D9. Przekątne trapezu dzielą go na cztery trójkąty. Proszę wykazać, że te dwa których krawędziami nie są podstawy trapezu mają równe pola.

D10. Trzy parami styczne zewnętrznie okręgi mają promienie:
a) 3,2,2
b)* 3,2,1
Jakie wymiary ma trójkąt którego boki są stycznymi do dwóch okręgów i nie przecinają trzeciego okręgu.

* - wersja trudniejsza i/lub czasochłonna. Można ją pominąć.

Matura_dawniej:    

Tematy maturalne w 1928 roku.
Typ klasyczny:
D11.
Suma prostokątni trójkąta prostokątnego wynosi 17 cm, przeciwprostokątnia 13 cm. Ile wynosi każda z prostokątni?
D12.
Promień okręgu opisanego na podstawie foremnej dwunastościennego ostrosłupa prostego wynosi 12 cm, wysokość zaś ściany bocznej równa się średnicy tego koła. Obliczyć objętość ostrosłupa.
Typ humanistyczny:
D13.
Liczby wymiarowe krawędzi prostopadłościanu tworzą postęp geometryczny, objętość tego prostopadłościanu wynosu 1000 m^3, a powierzchnia 700 m^2. Obliczyć krawędzie.
D14.
Suma dwu boków trójkąta wynosi 7 m, powierzchnia 6 m^2, promień koła wpisanego w ten trójkąt 1m. Rozwiązać ten trójkąt.

[kerajs]

E1. Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Proszę wykazać, że pola trzech z nich tworzą ciąg geometryczny.

E2. Pięć rur o średnicy 2R biegnie w kanale o przekroju prostokątnym. Jakie wymiary na przekrój kanału o najmniejszym polu?

E3. Punkty będące rozwiązaniem równania:
\(\displaystyle{ x^4-4yx+2y^2+1=0}\)
tworzą figurę F. Proszę podać, o ile istnieje/ą, równanie/a osi symetrii figury F.

E4. Proszę udowodnić, że reszta z dzielenia dowolnej liczby całkowitej przez 6, jest taka sama jak reszta z dzielenia przez 6 jej sześcianu.

E5. Na płaszczyźnie X0Y narysuj rozwiązanie nierówności:
\(\displaystyle{ 3x^3+(2y-8)x^2-12y^2x-8y^3+32y^2 \le 0}\)
Czy istnieje/ą obszar/y ograniczony będący rozwiązaniem tej nierówności? Jeśli tak, to ile wynosi jego/ich pole?

E6. Wysokość ostrosłupa o podstawie kwadratowej ma spodek w połowie krawędzi podstawy. Pole przekroju przechodzącego przez krawędź podstawy (równoległej do tej ze spodkiem wysokości) oraz środek wysokości ostrosłupa jest dwukrotnie większe od pola podstawy. Ile wynosi kąt miedzy dwoma najdłuższymi krawędziami ostrosłupa?

E7.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \log_5\log_2x+\log_5\log_2y=0 \\
(\log_4x-1)^2+\log_2 \sqrt[4]{x}+9\log_8y=2 \end{cases}}\)

E8. Proszę wskazać takie różne niewymierne liczby p,q (w każdym podpunkcie mogą być inne) aby
a) ich suma i iloczyn był wymierny
b) \(\displaystyle{ p ^{q}}\) była wymierna
c) \(\displaystyle{ \log_pq}\) był wymierny

E9.
\(\displaystyle{ \sin ^{2017}x+ \cos ^{2017}x=1}\)

E10. Z wierzchołków sześcianu losujemy 4. Jakie jest prawdopodobieństwo wybrania takich 4 punktów, że mogą być wierzchołkami czworościanu .

Matura_dawniej::    

1995 woj. wrocławskie, profil matematyczno-fizyczny
Rozwiązywano trzy wybrane zadania z pięciu poniższych. Na ocenę celującą jednym z trzech musiało być
wybrane zadanie z (*)

E11. Dana jest funkcja:
\(\displaystyle{ f(x)=\log_4(x^2-1)-\log_4(x-4)}\)
a) Rozwiąż nierówność:
\(\displaystyle{ f(x)<\log_4(x^2-8x+7)}\)
b) Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{3}{2}}\)
c) Dla jakich wartości parametru a równanie;
\(\displaystyle{ f(x)=\log_4a}\)
ma dwa różne pierwiastki?

E12. Dana jest funkcja
\(\displaystyle{ f(x)=1+ \frac{2\sin 2x+3\sin 3x}{\sin x}}\)
a) Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ \sin x \neq 0}\) to :
\(\displaystyle{ f(x)=2(6\cos^2x+2\cos x-1)}\)
b) Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ f(x)=3}\)
c)Wyznacz zbiór wartości funkcji f.

E13. Dany jest nieskończony zbieżny ciąg geometryczny x,1,....
a) Dla jakich wartości pierwszy, drugi i czwarty wyraz tego ciągu są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego?
b) Dla jakich wartości \(\displaystyle{ x}\) trzeci i czwarty wyraz tego ciągu są sinusem i kosinusem tego samego kata?
c) Naszkicuj wykres funkcji, która każdemu argumentowi \(\displaystyle{ x}\) przyporzadkowuje sumę wszystkich wyrazów danego ciągu.

E14. Dane są punkty \(\displaystyle{ A=(2,1) \ i \ B=(5,2)}\)
a) Znajdź współrzędne takiego punktu C, należącego do prostej o równaniu \(\displaystyle{ 4x-3y+4=0}\), że pole trójkąta ABC jest równe 10,5.
b) Napisz równanie prostej, z której proste o równaniach \(\displaystyle{ y=x}\) i \(\displaystyle{ y=3x-12}\) wycinają odcinek, którego środkiem jest punkt A.
c) Znajdź współrzędne takiego punktu D, należącego do okręgu \(\displaystyle{ x^2+y^2-8x+11=0}\), że \(\displaystyle{ \left| AD\right| =\left| BD\right|}\).

E15.(*) Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny o podstawie \(\displaystyle{ a}\) i kącie \(\displaystyle{ \alpha}\) przy podstawie. Wszystkie krawędzie boczne tworzą z wysokością ostrosłupa kąt \(\displaystyle{ \alpha}\).
a) Znajdź objętość tego ostrosłupa.
b) Oblicz cosinus kata nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy dla \(\displaystyle{ \alpha =60^{\circ}}\).
c) Oblicz promień kuli opisanej na tym ostrosłupie dla \(\displaystyle{ \alpha =60^{\circ}}\).

[Premislav]

E8
a) \(\displaystyle{ p=2-\sqrt{2}, q=2+\sqrt{2}}\)
b) \(\displaystyle{ p=\sqrt{2}, q=\log_{\sqrt{2}}3}\)
c) \(\displaystyle{ p=\sqrt{2}, q=2\sqrt{2}}\)

E9
Zauważmy, że ponieważ \(\displaystyle{ |\cos x| \le 1}\) oraz \(\displaystyle{ |\sin x| \le 1}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\), to
\(\displaystyle{ \cos^2 x \ge \cos^{2017}x}\) oraz \(\displaystyle{ \sin^2 x \ge \sin^{2017}x}\), równość w pierwszej nierówności zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \cos x=0 \vee \cos x=1}\), zaś w drugiej nierówności - gdy \(\displaystyle{ \sin x=0 \vee \sin x=1}\).
Stąd
\(\displaystyle{ \sin ^{2017}x+ \cos ^{2017}x\le 1}\) i równość mamy wtedy i tylko wtedy, gdy
\(\displaystyle{ x=2k \pi \vee x= \frac{\pi}{2}+2k\pi, k \in \ZZ}\)

[Larsonik]

C8

Ukryta treść:    

Oznaczmy dowolny punkt należącej do szukanej krzywej jako \(\displaystyle{ A= \left( x,y \right)}\). Wówczas jego odległość od prostej \(\displaystyle{ x + y = 0}\) wynosi \(\displaystyle{ d_1 = \frac{\left| x + y\right|}{ \sqrt{2}}}\), natomiast odległość od punktu \(\displaystyle{ \left( 3,3 \right)}\) wynosi \(\displaystyle{ d_2 = \sqrt{ \left( 3-x \right) ^2 + \left( 3-y \right) ^2}}\). Z równości \(\displaystyle{ d_1 = 2d_2}\) wyznaczamy równanie krzywej: \(\displaystyle{ 7x^2 + 7y^2 -2xy -48x -48y + 144 = 0}\).

D1

Ukryta treść:    

Łatwo jest sprawdzić, ile jest liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 3, 9, 81, 243, 729}\) wśród kolejnych liczb naturalnych aż do \(\displaystyle{ 2017}\). Jako że \(\displaystyle{ 2017!}\) to iloczyn kolejnych liczb naturalnych, to należy dodać wykładniki trójek z rozkładu tych liczb (liczba podzielna tylko przez \(\displaystyle{ 3}\) da \(\displaystyle{ +1}\), liczba podzielna przez \(\displaystyle{ 9}\) da \(\displaystyle{ +2}\) do ostatecznej wartości \(\displaystyle{ k}\)), pamiętając o tym, żeby nie dodawać ich dwukrotnie. A więc \(\displaystyle{ k = 672 + 224 +74 + 24 + 8 + 2 = 1004}\).

D2

Ukryta treść:    

Wybieramy ze zbioru ośmiu różnych elementów po jednym, po dwóch, po trzech lub po czterech elementach. Wybierać po pięć i więcej elementów nie ma sensu, ponieważ sposób podziału na podzbiory powtórzy się (równie dobrze można np. w przypadku wybieraniu po pięć, wybrać po trzy). Zatem ilość sposobów wynosi: \(\displaystyle{ {8 \choose 1} + {8 \choose 2} + {8 \choose 3} + {8 \choose 4} = 162}\)

D3

Ukryta treść:    

Po obydwu stronach równania mamy sumę wyrazów ciągu geometrycznego. W przypadku lewej strony ciąg ma iloraz \(\displaystyle{ \cos x}\), więc z warunku zbieżności ciągu wynika, ze \(\displaystyle{ x \neq k \pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in C}\). Ciąg geometryczny po prawej stronie równania ma iloraz \(\displaystyle{ -3k}\), więc aby on również był zbieżny, to \(\displaystyle{ k \in \left( - \frac{1}{3} ; \frac{1}{3} \right)}\). Wówczas korzystając z granic ciągów równanie przyjmuje postać \(\displaystyle{ \frac{ \cos x }{1 - \cos x} = \frac{k^2}{1 + 3k}}\). Wyznaczając z tego cosinus sprawdzamy obliczając kilka razy deltę trójmianu kwadratowego i rozwiązując nierówności dla jakich \(\displaystyle{ k}\) wartość cosinusa mieści się w przedziale \(\displaystyle{ \left( -1;1 \right)}\). Okazuje się, że dla \(\displaystyle{ k \in \left( -\frac{1}{3}; \frac{1}{3} \right) \setminus \left\{ 0\right\}}\) równanie ma rozwiązanie. Właściwie, to zastanawiam się, czy wyznaczanie tego cosinusa było potrzebne, miło by było, gdyby ktoś to sprawdził.

Pewnie błąd za błędem.

[kerajs]

E9 inaczej:    

\(\displaystyle{ \sin ^{2017}x+\cos ^{2017}x =1\\
\sin ^{2017}x+\cos ^{2017}x =\sin ^{2}x+\cos ^{2}x\\
\sin ^{2}x(1-\sin ^{2015}x)+\cos ^{2}x(1-\cos ^{2015}x)=0}\)
Każdy z czynników obu sum jest nieujemny więc aby równość zachodziła to
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin ^{2}x=0 \\ \cos ^{2}x=0 \end{cases} \vee \begin{cases} 1-\sin ^{2015}x=0 \\ \cos ^{2}x=0 \end{cases} \vee \begin{cases} \sin ^{2}x=0 \\ 1-\cos ^{2015}x=0 \end{cases} \vee \begin{cases} 1-\sin ^{2015}x=0 \\ 1-\cos ^{2015}x=0 \end{cases}}\)
Pierwszy i ostatni układ jest sprzeczny. Z pozostałych dwóch dostanie się rozwiązanie Premislava: \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2}+k2\pi \vee x=k2\pi}\)

@Larsonik:    

Ad C8
Dobrze rozwiązane. Jednak muszę wszystkich przeprosić, bo planowałem tu coś sensowniejszego, a wyszedł mały koszmarek. Sorry.

Ad D1
OK

Ad D2
To bardziej skomplikowane zadanie. Możesz wybrać:
- dwa podzbiory jednoelementowe na \(\displaystyle{ \frac{ {8 \choose 1} {7 \choose 1} }{2}}\) sposobów

- podzbiór jedno i dwuelementowy na \(\displaystyle{ {8 \choose 1} {7 \choose 2}}\) sposobów
- podzbiór jedno i trzyelementowy
...
- podzbiór jedno i siedmioelementowy

- dwa podzbiory dwuelementowe
- podzbiór dwu i trzyelementowy
...
- podzbiór dwu i sześcioelementowy

...
- dwa podzbiory czteroelementowe

Ad D3
Ok, ale dlaczego odrzucasz \(\displaystyle{ k=0}\) ?

[Premislav]

D5

b)* \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k} \frac{ {k \choose i} }{ {n \choose i} }= \frac{k}{n-k+1}}\)
Czy ma ktoś interpretację kombinatoryczną lub probabilistyczną? Przez prawie godzinę usiłowałem takową wymyślić, ale nic nie udało mi się sklecić.

Wymyśliłem sobie, że lewa strona to jest inaczej
\(\displaystyle{ \frac{1}{{n \choose k}} \sum_{i=1}^{k}{n-i \choose k-i}}\)
i następnie wyciągnąłem totalnie z pupy równość
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k}{n-i \choose k-i}={n \choose k-1}}\),
która została wykoncypowana "tak żeby wyszło".
A tę ostatnią tożsamość już łatwo można wyprowadzić, patrząc od drugiej strony, gdyż
\(\displaystyle{ {n \choose r}+{n \choose r+1}={n+1 \choose r+1}}\)
Zatem \(\displaystyle{ {n-1 \choose k-1}={n \choose k-1}-{n-1 \choose k-2}, {n-2 \choose k-2}={n-1 \choose k-2}-{n-2 \choose k-3}}\) i tak dalej.
Sumując takie równości \(\displaystyle{ {n-r \choose k-r}={n-r+1 \choose k-r}-{n-r \choose k-r-1}}\)
stronami dla \(\displaystyle{ r=1, \dots r=k-1}\) i dodając ostatni składnik lewej, czyli \(\displaystyle{ {n-k \choose 0}=1}\), otrzymujemy natychmiast tezę.
Jednak to wszystko powinno mieć piękne uzasadnienie kombinatoryczne, które umyka mi z uwagi na zbyt niski potencjał intelektualny.

[Larsonik]

W D2 treść sobie uprościłem i podałem ilość sposobów na wybranie podzbiorów, ale takich, ze każdy element zbioru zostal wybrany. Trzeba jednak czytać ze zrozumieniem . Odrzucenie w D3 \(\displaystyle{ k = 0}\) to też jakaś paranoja, na samym końcu to dopisałem, bo spojrzałem na warunek zbieżności ciągu z cosinusami, a przypadkiem użyłem tej samej literki. Nie będę poprawiał tego w wyjściowym poście, bo głupio by to wyglądało.

Zmierzę się z trapezami:

D9

Ukryta treść:    

Wystarczy poprowadzić wysokości trapezu z jego dwóch wierzchołków przy tej samej podstawie i rozważyć trójkąty złożone z przekątnej, ramienia i tej samej podstawy. Ich pola są jednakowe, a pola obydwu trójkątów, o które zostałem poproszony w zadaniu, można uzyskać odejmując od pól przytoczonych trójkątów, pole trójkąta o wierzchołku w punkcie przecięcia się przekątnych trapezu i podstawie będącej podstawą trapezu.

E1

Ukryta treść:    

Oznaczmy dłuższą podstawę trapezu jako \(\displaystyle{ b}\), a krótszą jako \(\displaystyle{ a}\). Wysokość trapezu to będzie \(\displaystyle{ h}\), a wysokość trójkąta o wierzchołku w punkcie przecięcia się przekątnych trapezu i o podstawie będącej dłuższą podstawą trapezu jako \(\displaystyle{ x}\). Oznaczmy pole wcześniej przytoczonego trójkąta jako \(\displaystyle{ P_3}\), pole trójkąta o wierzchołku w punkcie przecięcia się przekątnych trapezu i podstawie będącej ramieniem trapezu jako \(\displaystyle{ P_2}\) i pozostały trójkąt jako \(\displaystyle{ P_1}\) (jego podstawa to krótsza podstawa trapezu). Wówczas: \(\displaystyle{ P_1 = \frac{1}{2}a(h-x) \\ P_3 = \frac{1}{2}bx \\ P_3 = \frac{1}{2}bh - \frac{1}{2}bx = \frac{1}{2}b(h-x)}\)
Dodatkowo z podobieństwa trójkątów mamy \(\displaystyle{ \frac{h-x}{x} = \frac{a}{b}}\), a więc \(\displaystyle{ a = \frac{b(h-x)}{x}}\). Sprawdźmy własność ciągu geometrycznego: \(\displaystyle{ P_2^2 = \frac{1}{4}b^2(h-x)^2}\), a \(\displaystyle{ P_1 P_3 = \frac{1}{4}abx(h-x) = \frac{1}{4}b^2(h-x)^2}\), więc \(\displaystyle{ P_1 P_2 = P_2^2}\), co oznacza, ze pola te tworzą ciąg geometryczny.

E3

Ukryta treść:    

Obliczając deltę dla równania kwadratowego z parametrem \(\displaystyle{ x}\) widzimy, że wynosi ona \(\displaystyle{ \delta = -8(x^2 - 1)^2}\), więc równanie ma rozwiązanie tylko gdy delta wynosi zero, ponieważ \(\displaystyle{ -8(x^2 - 1)^2 \le 0}\). Wówczas punkty spełniające równanie to \(\displaystyle{ (1,1)}\) oraz \(\displaystyle{ (-1,-1)}\). Figura \(\displaystyle{ F}\) to odcinek, zatem jego osie symetrii to \(\displaystyle{ y=x}\) oraz \(\displaystyle{ y=-x}\). Jestem ciekaw, czy nie wypisałem tu jakichś herezji, bo pierwszy raz robię zadanie w tym stylu.

E4

Ukryta treść:    

Możemy zapisać dowolną liczbę całkowitą jako \(\displaystyle{ n = 6k + r}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) to reszta z dzielenia tej liczby przez \(\displaystyle{ 6}\). Wówczas \(\displaystyle{ n^3 = 6(36k^3 + 18k^2r + 3kr^2) + r^3}\).
\(\displaystyle{ r \in \left\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 \right\}}\), więc można zobaczyć przeprowadzając proste obliczenia, ze dla każdej z możliwych wartości \(\displaystyle{ r}\) reszta z dzielenia \(\displaystyle{ r^3}\) przez \(\displaystyle{ 6}\) wynosi \(\displaystyle{ r}\). Zatem widać, że resztą z dzielenia \(\displaystyle{ n^3}\) przez \(\displaystyle{ 6}\) również jest \(\displaystyle{ r}\). Na pewno można tu się powołać na jakieś znane twierdzenia, które nie są mi znane.

[kerajs]

F1. Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Dwa z nich mają pola 3 i 4. Ile wynosi pole trapezu?

F2. Pięć krawędzi czworościanu ma długość 4. Jaką długość ma ostatnia krawędź jeżeli objętość czworościanu jest największa.

F3. Znajdź sumę obwodów okręgów stycznych do trzech prostych \(\displaystyle{ l_1: \ y=x \ , \ l_2: \ y=-x \ , \ l_3: \ x=4}\)

F4. W sześcian o krawędzi 2 wpisano sferę, w którą wpisano sześcian w który wpisano sferę itd. Oblicz:
a) Sumę objętości wszystkich sześcianów.
b) Stosunek sumy pól wszystkich sfer do sumy pól sześcianów.

F5. Na ile części płaszczyznę X0Y dzielą rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ y^5-x^5+x^4y^2-x^2y^4+x^3y^2-x^2y^3+x^3y-xy^3=0}\)

F6. Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ f(g(x))=g(f(x))}\)
dla \(\displaystyle{ f(x)=3 ^{x} +2 \ , \ g(x)= 3 ^{x} -1}\)
Jaki znak ma rozwiązanie równania?

F7.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \left| \left| x-2\right|-4 \right|<2 \\ \left( \log _{\cos x}2 \right)^2< \log _{\cos x}(4\cos^3 x)\end{cases}}\)

F8.
\(\displaystyle{ x^4+x^2(y^2-2)+2xyz +2z^2+1=0}\)

F9. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg geometryczny. Ile wynosi jego iloraz?

F10. Ile jest liczb sześciocyfrowych w których żadna cyfra nie powtarza się parzystą ilość razy.

Matura_dawniej:    

1991 rok - województwo warszawskie, profil mat-fiz

F11. Rozwiąż nierówność:
\(\displaystyle{ \left( \frac{5}{6}+ \frac{13}{36} +...+ \frac{2^n+3^n}{6^n} +...\right) ^{\left| x\right| }<\left( \frac{9}{4} \right) ^{ \frac{x^2-2}{2} }}\)

F12. Zbadaj przebieg zmienności funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x\left| x\ln x-2\right|}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in <1; \infty )}\), i naszkicuj jej wykres. Określ liczbę rozwiązań równania \(\displaystyle{ x\left| x\ln x-2\right|=m \ , \ x \in <1; \infty )}\) w zależności od parametru m.

F13. Wyznacz równanie wszystkich okręgów stycznych wewnętrznie do okręgu \(\displaystyle{ (x-2)^2+y^2=4}\) i do prostej \(\displaystyle{ y=0}\).

F14. W trapezie równoramiennym jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej, a przekątna trapezu dzieli kąt przy dłuższej podstawie na połowy. Oblicz długości boków tego trapezu wiedząc, że jego pole jest równe \(\displaystyle{ 3\sqrt{3}}\).

F15. Z pudełka zawierającego tylko cztery kule białe i dwie czarne losujemy kolejno bez zwracania trzy kule. Następnie rzucamy kostką tyle razy, ile jest kul białych wśród trzech wylosowanych. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej raz sześciu oczek.

[bakala12]

F8:    

\(\displaystyle{ \left(xy+z\right)^{2}+\left(x^{2}-1\right)^{2}+z^{2}=0}\)
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ x = \pm 1, \ y = 0, \ z=0}\)

[kerajs]

G1. Jaka jest reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ x^{2017}-1}\) przez \(\displaystyle{ (x^2-1)^2}\) ?

G2. Ile osi symetrii ma :
\(\displaystyle{ x^6+y^6-x^4y^4-x^2y^2=0}\)

G3. Ile wynosi największe naturalne \(\displaystyle{ k}\) takie że \(\displaystyle{ 50!}\) dzieli się przez:
a) \(\displaystyle{ 45^k}\)
b) \(\displaystyle{ 63^k}\)

G4. Kąty trójkąta prostokątnego o obwodzie \(\displaystyle{ 9(1+\sqrt{3})}\) tworzą ciąg arytmetyczny.
Która z brył powstałych przez obrót trójkąta wokół jednego z boków jest największa?

G5. Podaj liczbę punktów wspólnych okręgu \(\displaystyle{ (x-2)^2+(y+m)^2=2m^2}\) z osiami układu współrzędnych w zależności od parametru m.

G6. Znajdź zbiór punktów z których odcinek o końcach (0,0) i (2,2) widoczny jest pod katem 30 stopni.

G7. W trójkąt prostokątny wpisano okrąg. Proszę udowodnić że iloczyn odcinków przeciwprostokątnej na jakie podzielił ją punkt styczności jest równy polu trójkąta.

G8. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia 12 oczek przy rzucie sześcioma sześciennymi kostkami?

G9. Dla jakich k równanie:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}\sin \alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +\sqrt{2}\cos \alpha=k}\)
ma rozwiązanie?

G10.
\(\displaystyle{ \sqrt{x+4 \sqrt{x-4} }+ \sqrt{5+x-6 \sqrt{x-4} }=5}\) .

Matura_dawniej:    

Matura 1992, woj. konińskie, profil mat-fiz:
(Aby otrzymać ocenę celującą (6) należało rozwiązać zadanie z gwiazdką*)
G11. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba \(\displaystyle{ 11^{n+1}+12^{2n-1}}\) jest podzielna przez 133.
G12. Rozwiąż nierówność:
\(\displaystyle{ \left( \frac{5}{6} + \frac{13}{36}+...+ \frac{2^n+3^n}{6^n} \right) ^{\left| x\right| } < \left( \frac{9}{4}\right) ^{ \frac{x^2-2}{2} }}\)
G13. Oblicz pole figury ograniczonej wykresem funkcji
\(\displaystyle{ f(x)=-x^2+3\left| x\right|+4}\) i prostymi \(\displaystyle{ x=-3, \ x=1, \ y=0}\)
G14. Wyznacz wartości parametrów m i n dla których okrąg o równaniu
\(\displaystyle{ x^2+y^2+mx+ny-8=0}\) jest styczny do prostych o równaniach:
\(\displaystyle{ 4x-3y-18=0 \ \ i \ \ 4x-3y+12=0}\)
G15.* Znaleźć wszystkie pary (x,y) liczb całkowitych spełniające układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=6 \\ 2^x+3^y=25 \end{cases}}\)

[Premislav]

G1.
Zapiszmy tę resztę w postaci wielomianu stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 3}\):
\(\displaystyle{ R(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\)
Najpierw standardowo zapisujemy \(\displaystyle{ x^{2017}-1=(x^2-1)^2 Q(x)+R(x)}\), wstawiamy kolejno \(\displaystyle{ x=1, x=-1}\) i mamy takie dwa równania:
1) \(\displaystyle{ 0=R(1)}\)
2) \(\displaystyle{ -2=R(-1)}\)
Jeżeli teraz określimy \(\displaystyle{ P(x)=(x^2-1)^2 Q(x)}\), to widzimy, że \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\) są podwójnymi pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\). Zatem ze znanego twierdzenia wynika, że \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\) są pierwiastkami (już pojedynczymi, ale to nas nie obchodzi akurat) wielomianu \(\displaystyle{ P'(x)}\). Zapiszmy więc równość
\(\displaystyle{ x^{2017}-1=(x^2-1)^2 Q(x)+R(x)}\) w nieco innej postaci:
\(\displaystyle{ x^{2017}-1-R(x)=Q(x)(x^2-1)^2}\), zróżniczkujmy tę równość stronami i po tej operacji znów wstawmy 1 oraz -1, korzystając z tego, że zerują one pochodną prawej strony.
Dostajemy dwa kolejne równania liniowe:
3) \(\displaystyle{ 2017-R'(1)=0}\)
4) \(\displaystyle{ 2017-R'(-1)=0}\)
Mamy zatem układ czterech równań liniowych z czterema niewiadomymi, którego mi się nie chce rozwiązywać, wrzuciłbym do wolframa. Da się jakoś prościej?
Dodaję link do wolframa, bo idę już spać:



G10.

O, takie zadania to ja mogę robić. Dziedzina:
\(\displaystyle{ x\ge 4}\). Dla takich \(\displaystyle{ x}\) możemy zapisać
\(\displaystyle{ x+4\sqrt{x-4}=x-4+4\sqrt{x-4}+4=(\sqrt{x-4}+2)^2}\)
oraz \(\displaystyle{ 5+x-6\sqrt{x-4}=x-4-6\sqrt{x-4}+9=\left(\sqrt{x-4}-3\right)^2}\)
i zadanie samo się kończy. Wystarczy rozważyć dwa przypadki:
pierwszy \(\displaystyle{ x \in \left\langle 4,13\right\rangle}\), drugi \(\displaystyle{ x>13}\), pamiętając o tym, że
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2}=|a|}\)

[bakala12]

G7:    

Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) długości boków trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) (standardowo) i \(\displaystyle{ c}\) to przeciwprostokątna. Niech \(\displaystyle{ D}\) będzie punktem styczności okręgu wpisanego z bokiem \(\displaystyle{ c}\). Wówczas \(\displaystyle{ AD=b-r}\) oraz \(\displaystyle{ BD=a-r}\). Obliczamy stąd bezpośrednio \(\displaystyle{ r=\frac{a+b-c}{2}}\). Ponadto:
\(\displaystyle{ BD =a-r=\frac{b+c-a}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ AD =b-r= \frac{a+c-b}{2}}\). Po krótkich rachunkach i użyciu twierdzenia Pitagorasa dostajemy: \(\displaystyle{ AD \cdot BD = \frac{b+c-a}{2} \cdot \frac{a+c-b}{2} = \frac{ab+ac-a^{2} +bc +c^{2}-ac -b^{2}-bc +ab}{4} = \frac{ab}{2}}\)
czyli tezę.

G3:    

Niech \(\displaystyle{ v_{p}\left(n\right)}\) oznacza rząd liczby \(\displaystyle{ n}\) modulo liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\). Znany jest wzór:
\(\displaystyle{ v_{p}\left(n!\right) = \sum_{i=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^{i}}\rfloor}\)
Dowód jego nie jest jakiś trudny, wystarczy przemyśleć skąd się bierze suma. Korzystając z niego dostajemy:
\(\displaystyle{ v_{3}\left(50!\right) = 22 \\
v_{5}\left(50!\right) = 12 \\
v_{7}\left(50!\right) = 8}\)
Stąd w podpunkcie a) dostajemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2k \le 22 \\ k \le 12 \end{cases} \Rightarrow k \le 11}\)
zaś w podpunkcie b)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2k \le 22 \\ k \le 8 \end{cases} \Rightarrow k \le 8}\).
Więc odpowiedzi to odpowiednio \(\displaystyle{ 11}\) oraz \(\displaystyle{ 8}\).