Matematyka.pl

pierwsze i drugie prawo Claviusa

No więc teraz moje pytanie - co to jest paradoks Steinhausa-Trybuły (i jesli ktoś by się pokusił o odpowiedź: jaki jest jego związek ze złotym podziałem odcinka)?

scyth napisał:

No więc teraz moje pytanie - co to jest paradoks Steinhausa-Trybuły

, Jak widac wszyscy sie jakby wyłozyli na tym pytaniu, wiec prosimy o mała podpowiedz, wzglednie jego zmiane, etc

No to może najpierw wskazówka, jak się okaże mało pomocna to zmienię pytanie.
\(\displaystyle{ P(A>B)>0,5 \\
P(B>C)>0,5 \\
P(C>A)>0,5}\)

1. Paradoks Steinhausa - Trybuły mówi ze to co napisał scyth może być prawdą.
Jako przykład weźmy:

Niech X, Y, Z będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach
\(\displaystyle{ P(X=2)=P(X=4)=P(X=9)=\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ P(Y=1)=P(Y=6)=P(Y=8)=\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ P(Z=3)=P(Z=5)=P(Z=7)=\frac{1}{3}}\)

Wtedy łatwo widać, że:
\(\displaystyle{ P(X>Y)=\frac{5}{9} \\ P(Y>Z)=\frac{5}{9} \\ P(Z>X)=\frac{5}{9}}\)

2. Dodatkowo jest fakt mówiący, że gdy weźmiemy liczby 1, 2, ..., 3n oraz umieścimy je na trzech n-ściennych kostkach to prawdopodobieństwo, że przynajmniej jedno ze zdarzeń:
- "na kostce A wypadło więcej niz na B"
- "na kostce B wypadło więcej niż na C"
- "na kostce C wypadło więcej niż na A"
ma prawdopodobieństwo mniejsze niż \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{5}-1}{2}}\)

3. Drugi punkt z pierwszym można powiązać w ten sposób że w pierwszym bierzemy trzy kostki na których piszemy odpowiednio
2, 2, 4, 4, 9, 9
1, 1, 6, 6, 8, 8
3, 3, 5, 5, 7, 7
i liczymy prawdopodobienstwa...

Naprawdę ciekawe zagadnienie scyth, dopiero na anglojęzycznych stronach znalazłem odpowiedz na Twoje pytanie. Jeszcze potwierdz czy dokladnie o to Ci chodziło i zamieszczam swoje zadanko ]:->

Brawo Drizzt, przywracasz mi wiarę w ludzi
Tak, według mnie również jest to bardzo ciekawe zagadnienie, natknąłem się na nie szukając jakiegoś ciekawego tematu na sesję studencką - z jednej strony okazało się, że prawie nikt o nim nie wiedział, co było dla mnie bardzo dobre. Z drugiej strony jednak żal, że taka ciekawa i prosta rzecz nie jest przedstawiana na zajęciach - choć troszkę mogłaby uatrakcyjnić nielubiany rachunek prawdopodobieństwa. No ale nieważne, nie będę teraz wylewach swoich żali tutaj. Jeśli mnie pamięć nie myli to chyba później zostało pokazane, że dla zmiennych losowych ciągłych maksymalna wartość prawdopodobieństwa (wspólnego dla trzech zmiennych losowych) nie może przekroczyć \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{5}-1}{2}}\). Jest tam chyba jeszcze jakieś zagadnienie nierozwiązane, ale to już trzeba sprawdzić w źródłach.
No nic, tak czy siak - Drizzt dawaj pytanie.

Należy podać przykład rozkładu prawdopodobieństwa, który nie jest absolutnie ciągły względem miary Lebesgue'a natomiast jego funkcja charakterystyczna zmierza w nieskończoności do zera.
Ot taki sobie jeden [nie]łatwy przykładzik chce...

Coś nikt się dawno nie odzywał.... Moim zdaniem może to być na przykład rozkład jednostajny na lekko zmodyfikowanym zbiorze Cantora, tj. \(\displaystyle{ \Big\{x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\varepsilon_n}{3^n}\,: \,\varepsilon_n\in\{0,1,2\}\,\wedge\,\varepsilon_{2^k}\neq1\mbox{ dla }k=1,2,\dots\Big\}}\)

Cóż,... prostszego przykładu nie znalazłem....

Nooo w końcu ktoś przełamał niemoc użytkowników.


Tutaj nie ma łatwych przykładów.
Ten jest nieco inny niż mi był znany. Mogłem napisac że chce z dowodem zbieżności funkcji charakterystycznej do zera; )
W jakim celu modyfikujesz zbiór Cantora?
Rozumiem że w jakiejś książce to doczytałeś?

Czekamy na Twoje zadanko.

Drizzt pisze:Tutaj nie ma łatwych przykładów.

Oj tak, tak... prawda...

Drizzt pisze:W jakim celu modyfikujesz zbiór Cantora?

Ponieważ funkcja charakterystyczna rozkładu jednostajnego na "klasycznym" zbiorze Cantora, tj. \(\displaystyle{ \Big\{x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\varepsilon_n}{3^n}\,: \,\varepsilon_n\in\{0,2\}\Big\}}\) nie ma granicy w nieskończoności.
Mianowicie \(\displaystyle{ \Big|\varphi\big(3^k\pi)\Big|\,=\, \prod\limits_{n=1}^{+\infty}\cos\Big(\frac{\pi}{3^n}\Big)\,>\,0}\)

++++++++++++++++

A teraz pytanie: podwaliny pod współczesną geometrię (między innymi klasyfikację geometrii nieeuklidesowych, itp.) położył Bernhard Riemann, który jednak zajmował się "na co dzień" analizą (i metodami analitycznymi - patrz Riemanna). Czy ktoś z Szacownych Forumowiczów wie, przy jakiej to było okazji?

Pozdrawiam,

sG

W 1854 roku Gauss, gdy doszło do wyboru przez Radę Naukową uniwersytetu w Getyndze tematu wykładu habilitacyjnego Riemmana złożył mu propozycje by ten przedstawił coś z geometrii. Riemman zaproponował temat: "O hipotezach które leżą u podstaw geometrii". Czy o to chodzi?

vertigo, tak, dokładnie tak.... i pomyśleć, że gdyby Carl Friedrich Gauss nie uczepił się myśli, że każdy matematyk powinien znać się na geometrii, to może nie mielibyśmy wcale współczesnej geometrii (przynajmniej w takiej postaci, jak mamy obecnie).

Tak przy okazji jako ciekawostkę historyczną dodam, że wykład habilitacyjny Georga Friedricha Bernharda Riemanna pt. "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" (bo oto dokładnie chodzi), został wydany drukiem przez Richarda Dedekinda już po śmierci Riemanna w "Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen", vol. 13, w 1867r.

Pozdrawiam... i aha, teraz kolej na vertigo... czekamy na Twoje zadanie...

sG

Jaka jest największa liczba użyta w pracy matematycznej? W jakiej gałęzi matematyki została ona wykorzystana?

myślę, że chodzi o tzw. liczba Grahama, użyta przez niego w pisanej pracy. Praca ta dotyczyła teorii grafów, a ściślej możliwości ich konkretnego kolorowania tak. aby pojawiła siępłaska i monochromatyczna klika (graf pełny).
Mam nadzieję, że o to właśnie chodziło

Brawo dabros

Czekamy na Twoją zagadkę.

Pozdrawiam.

jaką ciekawą własność ma liczba 1729 ?
dla ułatwienia: chodzi o przedstawienie w postaci sumy