Liczby pierwsze - moje odkrycie na temat liczb pierwszych

[virtue]

A propo liczb pierwszych szkoda, że nie ma tu na forum luźnej dyskusji na temat koncepcji udowodnienia różnych właściwości liczb pierwszych

[Leszek9238]

Może warto taką założyć. Wtedy wszystko byłoby w jednym temacie i uświadomiłoby ludziom parę ciekawych rzeczy

[Bird Theory]

Najprostsza teoria liczb pierwszych



Bird`s Theory



Liczby pierwsze od wieków spędzają sen z powiek matematykom. Jedno z ważniejszych ustaleń na dziś co wyróżnia liczby pierwsze od innych, to ich jedyna podzielność przez siebie lub przez liczbę \(\displaystyle{ 1}\). Tutaj dodam swoje spostrzeżenie, każda liczba pierwsza (powyżej \(\displaystyle{ 30}\)) to wielokrotność liczby \(\displaystyle{ 30}\) plus jedna z magicznych ośmiu liczb: \(\displaystyle{ 1,7,11,13,17,19,23,29}\). A dlaczego te liczby są magiczne, bo jak dodacie ich zewnętrzne wartości to zawsze wyjdzie suma \(\displaystyle{ 30}\).

Popatrzcie: \(\displaystyle{ 1+29, 7+23, 11+19, 13+17}\).

Naukowcy ustalili wyjątek: liczba \(\displaystyle{ 1}\) nie jest pierwsza, chociaż nikt temu nie zaprzeczy, że liczba \(\displaystyle{ 1}\) dzieli się przez siebie i przez \(\displaystyle{ 1}\). Teraz nadeszła kolej na moje wyjątki, otóż ja potraktowałem tak, jak naukowcy liczby \(\displaystyle{ 2,3}\) i \(\displaystyle{ 5}\), a przywróciłem \(\displaystyle{ 1}\).

Stworzyłem ciąg arytmetyczny bazujący na magicznych ośmiu liczbach dodając do nich 30ści,

Oto co otrzymałem:

\(\displaystyle{ 1,7,11,13,17,19,23,29, 31(1+30), 37 (7+30), 41(11+30), 43(13+30), \\
47(17+30), 49(19+30), 53(23+30), 59(29+30), 61(1+30 \cdot 2), 67(7+30 \cdot 2),\\
71(11+30 \cdot 2), 73(13+30 \cdot 2), 77(17+30 \cdot 2), 79(19+30 \cdot 2), 83(23+30 \cdot 2), \\
89(29+30 \cdot 2), 91(1+30 \cdot 3), 97, 101, 103, 107, 109, 113, 119, 121, 127, 131, 133, 137, 139, 143,\ldots}\)

Wnioski: dzięki takiemu ciągowi arytmetycznemu trafiam każdą liczbę pierwszą, ale w/w ciąg zawiera wyjątki, które nie są liczbami pierwszymi, np.:

\(\displaystyle{ 49, 77, 91, 119, 121, 143}\), itd.

Po analizie stwierdziłem, iż wyjątki to \(\displaystyle{ 7 \cdot 7=49, 7 \cdot 11=77, 7 \cdot 13=91, 7 \cdot 17= 119, 11 \cdot 11=121, 11 \cdot 13=143}\), itd........,

czyli iloczyn wcześniejszych liczb pierwszych.

Tutaj mamy wyjaśnienie na odwieczne pytanie, dlaczego im dalej w ciągu liczb pierwszych tym większe zdarzają się odstępy.

Na powyższych danych możemy również stwierdzić na przykład, że bliźniacze powstaną tylko przy \(\displaystyle{ 30}\)-krotności \(\displaystyle{ +}\) pary liczb \(\displaystyle{ 11}\) i \(\displaystyle{ 13}\) lub \(\displaystyle{ 17}\) i \(\displaystyle{ 19}\) lub \(\displaystyle{ 29}\) i \(\displaystyle{ 1}\), w żadnym innym przypadku nie wystąpią.

Następnie, na podstawie powyższych ustaleń, zleciłem opracowanie generatora liczb pierwszych w C++, gdzie na podstawie pierwszego ciągu stworzyłem ciąg wykluczeń, takie odwrócone sito (tablica liczb, czyli wymnożenie wszystkich wcześniejszych elementów pierwszego ciągu, oczywiście oprócz liczby \(\displaystyle{ 1}\)) i na podstawie porównania i posortowania program stworzył liczby pierwsze.

Chociaż program powstał w godzinę (można go dopracować), to przez 6 godzin wygenerowałem 500 tys. liczb pierwszych według liczby porządkowej, co jakiś czas sprawdzałem liczby i nie znalazłem żadnych błędów.



Wnioski końcowe.

Na podstawie powyższych danych można stworzyć najprostszy generator liczb pierwszych, który nie bazuje na faktoryzacji, a wynik jest pewny. Z tego co słyszałem, to komputer szybciej mnoży niż dzieli, mając moc obliczeniową GIMPS może i mógłbym się z nimi ścigać w osiągnięciu największej liczby pierwszej, ale po co? Po kilkaset tysięcy dolarów z EFF? Mnie wystarczą opinie internautów.

Pozdrawiam i życzę udanego dnia,

Bird

[kerajs]

Pierwsza opinia internauty:
Bird`s Theory to powszechnie znany fakt, że liczby pierwsze większe od 3 mogą mieć jedynie postać: \(\displaystyle{ p=6n \pm 1}\) dla \(\displaystyle{ n \in \NN_+}\) , czyli nie mogą być liczbami podzielnymi przez \(\displaystyle{ 2}\) lub \(\displaystyle{ 3}\).

Bynajmniej nie deprecjonuję rozważań, a jedynie informuję o ich wtórności. Zachęcam do dalszych zmagań z liczbami pierwszymi.

[Bird Theory]

Dzięki za opinię, trafne to spostrzeżenie, jednakże wydaje mi się, że
\(\displaystyle{ p=30n+a}\),
gdzie \(\displaystyle{ a=(1,7,11,13,17,19,23,29)}\)
jest bardziej optymalnym rozwiązaniem.
Ten ciąg generuje mniej liczb.

[kerajs]

Generują dokładnie taką samą ilość liczb. Ba, podają dokładnie te same liczby prócz pierwszej początkowej. Ty masz jedynkę, ja piątkę, a reszta się dubluje.

[Bird Theory]

Generują dokładnie taką samą ilość liczb. Ba, podają dokładnie te same liczby prócz pierwszej początkowej. Ty masz jedynkę, ja piątkę, a reszta się dubluje.

nie dubluje się \(\displaystyle{ 25,35}\) itp.

-- 22 sie 2018, o 08:55 --

Aha, jeszcze można zapisać, że zawsze \(\displaystyle{ a=p-30n}\).
Oczywiście przy założeniu, że \(\displaystyle{ p>30n}\) i dodatkowe założenie.

[kerajs]

Fakt, jednak to niewiele zmienia.
Twój ciąg to sito odrzucające liczby podzielne przez \(\displaystyle{ 2,3,5}\).

Dodam do niego odrzucanie liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 7}\):
\(\displaystyle{ b_n=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7+t}\) gdzie

\(\displaystyle{ t \in \left\{ 1, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107 \right\} \cup \\ \cup \left\{109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199 \right\}}\)

Ten ciąg generuje mniej liczb niż Bird's Theory.

[Bird Theory]

Dzięki za przyznanie racji, Bird`s Theory miało stanowić najprostszy i najbardziej trafny ciąg.
Piszesz, że niewiele to zmienia, fakt przy małych liczbach niewiele, ale zmienia.
Przy miliardowych liczbach to już dużo zmienia.
Ty stosujesz rozszerzenie tego wzoru, czyli \(\displaystyle{ 210n +}\) większy zbiór liczb.
Zasada ta sama, a sam widzisz, jakie możliwości ograniczania liczb.

[kerajs]

Bird`s Theory miało stanowić najprostszy i najbardziej trafny ciąg.

Dlaczegóż miałby to być najprostszy ciąg?
Dlaczegóż miałby to być najbardziej trafny ciąg?

Piszesz, że niewiele to zmienia, fakt przy małych liczbach niewiele, ale zmienia.
Przy miliardowych liczbach to już dużo zmienia.

A co i w stosunku do czego zmienia?

Ty stosujesz rozszerzenie tego wzoru, czyli 210n + większy zbiór liczb.
Zasada ta sama, a sam widzisz, jakie możliwości ograniczania liczb.

Obaj stosujemy sito Eratostenesa (ograniczone do trzech lub czterech najmniejszych liczb pierwszych), algorytm znany od dwóch tysiącleci.


PS
Zacznij wreszcie używać tagów tex, bo wszystkie posty wylądują w Koszu.
Ponadto przeczytaj poradnik.htm#images/poradnik/1.png

[_Michal]

Bird`s Theory miało stanowić najprostszy i najbardziej trafny ciąg.

Tzn. ta technika (wyznaczanie takiego ciągu) jest używana w algorytmach takich jak Wheel factorization, czy Pritchard's Wheel Sieve. Z tym, że, aby algorytm był optymalny, wheel basis czyli np. w ciągu Bird Theory będzie to \(\displaystyle{ \left( 2,3,5 \right)}\) (oznaczmy iloczyn \(\displaystyle{ k}\) pierwszych liczb pierwszych przez \(\displaystyle{ M_k}\), w tym przypadku wynosi \(\displaystyle{ M_3=30}\)), a w przypadku kerajsa \(\displaystyle{ \left( 2,3,5,7 \right)}\) (czyli \(\displaystyle{ M_4=210}\)) powinna być uzależniona od liczb na wejściu tj. aby znaleźć liczby pierwsze na przedziale \(\displaystyle{ \left[ 1,n \right]}\) powinna być spełniona nierówność \(\displaystyle{ M_k \le \frac {n} {\ln n} < M_{k+1}}\).

Eliminując pozostałe liczby złożone używając nieco innej techniki można uzyskać algorytm (Wheel Sieve) o złożoności \(\displaystyle{ O(n)}\), a nawet \(\displaystyle{ O \left( \frac {n} {\log \log n} \right)}\), czyli nieco lepszej od Sita Eratostenesa \(\displaystyle{ O \left( n \cdot \log \log n \right)}\).

W internecie krąży publikacja Paul Pritchard, Explaining the wheel sieve, Acta Informatica 17 (1982), gdzie można znaleźć więcej informacji na ten temat. Jest też bardzo dobry wpis tłumaczący działanie Pritchard's Wheel Sieve na blogu programmingpraxis.com


Edit:

Fakt, jednak to niewiele zmienia.
Twój ciąg to sito odrzucające liczby podzielne przez \(\displaystyle{ 2,3,5}\).

Dodam do niego odrzucanie liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 7}\):
\(\displaystyle{ b_n=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7+t}\) gdzie

\(\displaystyle{ t \in \left\{ 1, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107 \right\} \cup \\ \cup \left\{109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199 \right\}}\)

Ten ciąg generuje mniej liczb niż Bird's Theory.

Oprócz wymienionych wyżej liczb, \(\displaystyle{ t}\) może należeć do \(\displaystyle{ \{121, 143, 169, 187, 209\}}\) tj. liczb złożonych (mniejszych od \(\displaystyle{ 210}\)) będących iloczynem liczb pierwszych większych niż \(\displaystyle{ 2, 3, 5, 7}\).
Np. \(\displaystyle{ 331 \in P}\), a \(\displaystyle{ 331=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 +121}\)

[jakaz]

Sprawdż sobie hipotezę Riemana - dowiesz się więcej.

[Amamadeusz]

@Cootje i jak z tym ciągiem? Czy udało się odkryć jeszcze coś ciekawego i opublikować wzory?

[Kera]

No cóż, nie chwaląc się mój program wylicza wszystkie liczby pierwsze do \(\displaystyle{ 10 ^{12}}\) w czasie 36 godzin, może i nie jest to powalająco dużo , ale jaka to frajda patrzeć na rezultat własnego pomysłu.
Jeśli ktoś z was szuka liczby pierwszej posiadającej \(\displaystyle{ 10 ^{8}}\) cyfr w zapisie dziesiętnym to służę informacją, że potencjalnych kandydatów na lp tylko w zakresie 1 miliarda i nie mających dzielnika wspólnego do \(\displaystyle{ 10 ^{9}}\) jest tylko\(\displaystyle{ 27403915}\) liczb.

[diskbit]

Po 1-sze matematyka zwariowała na punkcie liczb 1-szych i zachowuje się irracjonalnie .
Pojawiają się wzory na liczbę 1-szą które w założeniu określają iż wzór działa z prawdopodobieństwem np:70 %
Ja chciałby zobaczyć dowód takiego twierdzenia .