XI Podkarpacki Konkurs Matematyczny im F. Lei

[YaSsSkuS]

Poziom 2 ?:) rejonowe to już wojewódzkie ? czy jak to jest robione ? Bo w tamtym roku odrazu do rzeszowa się jechało ...

[krystian8207]

W tym roku jeszcze jest rejon. Dopiero potem Rzeszów. Tak poziom 2. Z tego co mi wiadomo pierwszy tez 19 pkt.

[adri]

Można prosić o zadania z pierwszego poziomu?

[dedeluszz]

Zadania z Poziomu II


Co sądzicie o nich ?
Proszę o rozwiązanie zad.4 (czy można je zrobić wprost, czy łatwiej było z odwrotnej implikacji ?? )

[adri]

podany warunek podnieś obustronnie do kwadratu i następnie podziel przez 3, wstaw to co otrzymasz do nierówności i po przekształceniach, wymnażasz, skracasz... otrzymasz \(\displaystyle{ 2a ^{2}+2b ^{2}+2c ^{2} \ge 2ab+2ac+2bc}\) a od tego momentu chyba wszystko jasne

[Vax]

O wiele prościej zauważyć, że z nierówności między średnią kwadratową a arytmetyczną otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \ge \frac{a+b+c}{3}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \ge \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} /\cdot \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b^2+c^2} \ge 1 \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \ge 1}\)

Pozdrawiam.

[YaSsSkuS]

adri jak Ci poszło ?:) widziałem poprawne rozwiązania w pierwszym poprostu tam gdzie x =1 i x=2 nie pamiętam jak punkty wychodziły.
W drugim 1, 2, 3, 4
W trzecim i czwartym to jak już ktoś chciał w piątym coś duży ułamek ;D 1xx/yy;D

[Thomas111]

witam was.
Tez pisałem dzisiaj ten konkurs, mozecie napisac jak rozwiązaliście 2 i 4?

[adri]

W pierwszym (1,4) i (2,7), drugie to samo a w piątym to \(\displaystyle{ \frac{125}{72} \ pi}\), mam 5/5 zadań, ale zawsze mogą coś uciąć punktów, albo jakiś błąd w rachunkach może się zdarzyć.
Vax, twoje rozwiązanie z pewnością jest zgrabniejsze, ale moje stosuje się do złotej myśli "Byle nie myśleć!"
Thomas111, zadanie 4 masz wyżej, a w drugim podstawiasz b=a+1 c=a+2 d=a+3, po wymnożeniu i zwinięciu otrzymasz (x-1)(trójmian z dodatnią deltą), czyli masz 3 pierwiastki, przynajmniej jeden całkowity, a jak dodasz te wszystkie pierwiastki to łatwo zauważysz, że suma jest największa dla a=1

[Thomas111]

gdzie wyżej?

[YaSsSkuS]

na początku wydały mi się te zadania trudne... i przez to siedziałem jak głupi godzinę i nic nie zrobiłem... a potem nagle wszystkie zacząłem rozwiązywać ... i przez mój pośpiech stracę 2 pkt w 1 bo nie napisałem punktów tylko obliczyłem same x. w drugim stracę 2-3 pkt ponieważ poprostu pomyliłem się w środku gdzieś w obliczeniach takto tok myślenia dobry... 3,4 dobrze a w piątym czasu nie starczyło i obliczyłem tylko jedno koło ... więc stracę z 2-3 pkt. więc mogę się pożegnać z 3 etapem ;d bo 20 pkt to za mało

[adri]

O wiele prościej zauważyć, że z nierówności między średnią kwadratową a arytmetyczną otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \ge \frac{a+b+c}{3}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \ge \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} /\cdot \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b^2+c^2} \ge 1 \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \ge 1}\)

Pozdrawiam.

np. tu
YaSsSkuS czasami oceniają bardzo łagodnie , zresztą to zależy jak napisali inni
Ponawiam prośbę o wrzucenie zadań z pierwszego poziomu.

[Thomas111]

sorry adri 3 zadanie mi chodzilo, mój błąd

[Vax]

3 można było zrobić tak:

\(\displaystyle{ r = \frac{a+b-c}{2}}\) więc nasza nierówność:

\(\displaystyle{ r \le \frac{(a+b)(2-\sqrt{2})}{4}}\)

Jest równoważna:

\(\displaystyle{ 2a+2b-2c \le 2a-\sqrt{2}a+2b-\sqrt{2}b}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ a+b \le \sqrt{2}c}\)

Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ a+b > \sqrt{2}c /^2}\)

\(\displaystyle{ a^2+2ab+b^2 > 2c^2 = 2a^2+2b^2 \Leftrightarrow (a-b)^2 < 0}\) sprzeczność która dowodzi tezy.

Pozdrawiam.

[krystian8207]

Jak sądzicie jaki będzie próg?
Ja mam 23 pkt.
Za 3 dostałem 1 pkt - miałem wszystkie warunki i coś mnie blokowało aby r z trójkąta przyrównać do r z nierówności. Nie mam pojęcia dlaczego ;D
A w 5 4pkt bo przeczytałem, że trzeba obliczyć pola trójkątów narożnych a nie pola kół w nie wpisanych ;D
Ogólnie zadanka były proste... Ale krystian nie był w stanie ich rozwiązać xD