[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

[cyberciq]

Ukryta treść:    

Można zauważyć, że wynik \(\displaystyle{ x}\) nie zależy od tego ile "wrzucimy" 5 pod pierwiastki. Nasze równanie przyjmuje więc formę tradycyjnego równania kwadratowego \(\displaystyle{ x= \sqrt{x+5}}\). Po wyliczeniu delty,itd mamy ostatecznie, że \(\displaystyle{ x= \frac{1+ \sqrt{21} }{2}}\) .

Jak ktoś ma bardziej elementarne rozwiązanie to niech wrzuci.

Pozdrawiam

[Vax]

Rozwiązanie jest prawidłowe, jednak należy pamiętać o wyznaczeniu dziedziny (\(\displaystyle{ x+5 \ge 0 \wedge x\ge 0 \Rightarrow x \ge 0}\) po którym zostaje jedno rozwiązanie, nie uwzględniając dziedziny otrzymalibyśmy 2 rozwiązania Czekamy na kolejne zadanie.

Pozdrawiam.

[cyberciq]

No właśnie i tu mi nie pasowało

Nowe:
Udowodnij, że w kole o promieniu 1 nie można znaleźć więcej niż 5 punktów tak, aby odległość pomiędzy dowolnymi dwoma spośród nich była większa od 1.

[Vax]

Niestety, znam to zadanie, więc chyba nie mogę podawać rozwiązania

Pozdrawiam.

[cyberciq]

Vax, mogłem się tego po Tobie spodziewać . Ale daj innym trochę czasu niech popatrzą, a jak nikt do wieczora nie wrzuci rozwiązania to napiszesz ok?

[laurelandilas]

Ukryta treść:    

Podzielmy koło na cztery cwiercokregi. Z Dirichleta mamy, ze w conajmniej jednym cwiercokregu znajduja sie conajmniej dwa punkty. Wiemy, ze promien kazdego cwierokregu wynosi nie mniej niz 1/4(wynosi tyle jezeli nie pokrywaja sie wzajemnie).Zalozmy, ze mamy 3 cwiercokregi w ktorym jest jeden punkt i jeden w ktorym sa dwa punkty. Wezmy wlasnie ten z dwoma punktami. Otrzymujemy, ze odleglosc tego punktu od kazdego punktu lezacego w tym kole(jak i na okregu) jest mniejsza badz rowna 1, jako, że "w najgorszym przypadku" wynosi, ona 1 i jest rowna 2 srednicom cwiercokregow. Mysle, ze dowod jest kompletny.

Moje:
Punkty P i Q leza odpowiednio na bokach BC i CD kwadratu ABCD, przy czym <)PAQ=45.
Dowiesc, ze BP +DQ=PQ

[badmor]

"w najgorszym przypadku"

Pamiętaj, żeby w rozwiązaniach zadań nie używać zwrotów "najgorszy przypadek", "najlepszy przypadek". Jeżeli w rozwiązaniu nie będzie dowodu, że w każdym innym przypadku będzie lepiej lub odpowiednio gorzej, to na OMG i OM za takie rozwiązania zwykle dają 0 punktów.

[laurelandilas]

Okej, dzieki. Chodzili mi kiedy oba punkty leza na okregu w innych cwiartkach.

To zadanie znalazlem dzisiaj w "Krowie" Pawlowskiego

[Prastaruszek]

Jak dla mnie zadanie z pierwiastkami nadal nie zostało rozwiązane (co to znaczy, że jak "wrzucimy"piątki to nic się nie zmienia? Trzeba to jakoś udowodnić.)

[cyberciq]

\(\displaystyle{ \sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+x}}}}}}=x}\)
Jak obustronnie dodamy 5 i spierwiastkujemy to:
\(\displaystyle{ \sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+x}}}}}}}= \sqrt{x+5}}\)
No i do pierwszego równania za \(\displaystyle{ \sqrt{x +5}}\) wstawiamy \(\displaystyle{ \sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+x}}}}}}},}\)czyli można zauważyć, że się nie zmieni wynik \(\displaystyle{ x}\).

Nie umiem Ci tego bardziej wytłumaczyć.

[tkrass]

Innymi słowy, cyberciq, chcesz napisać, że \(\displaystyle{ \sqrt{x+5}}\) jest pierwiastkiem tego samego równania, którego pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ x}\).

[Adam656]

Moje:
Punkty P i Q leza odpowiednio na bokach BC i CD kwadratu ABCD, przy czym <)PAQ=45.
Dowiesc, ze BP +DQ=PQ

Obowiązuje powyższy problem.
Pozdrawiam
Adam

[cyberciq]

Innymi słowy, cyberciq, chcesz napisać, że \(\displaystyle{ \sqrt{x+5}}\) jest pierwiastkiem tego samego równania, którego pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ x}\).

Dokładnie o to mi chodziło tylko problem miałem, żeby to ładnie opisać, z tą dziedziną co podał Vax. To teraz już raczej wszystko jasne jest co do jego zadania.

[Swistak]

Moje:
Punkty P i Q leza odpowiednio na bokach BC i CD kwadratu ABCD, przy czym <)PAQ=45.
Dowiesc, ze BP +DQ=PQ

Obowiązuje powyższy problem.
Pozdrawiam
Adam

Nie rozśmieszajcie mnie xD. Większego blefa niż rozwiązanie laurelandilas, to bardzo dawno nie widziałem xDD.

[Vax]

Krótkie i elementarne rozwiązanie:    

Na początku rysunek pomocniczy:

AU

2dwcb49.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 925 razy

Teza (k jest przeciwprostokątną trójkąta CPQ):

\(\displaystyle{ 2a-x-y=k}\)

\(\displaystyle{ 2a-x-y=\sqrt{x^2+y^2}/^2}\)

\(\displaystyle{ 4a^2-4ax-4ay+2xy=0}\)

\(\displaystyle{ y(2x-4a)=4ax-4a^2}\)

\(\displaystyle{ y=\frac{2ax-2a^2}{x-2a} = \frac{2a^2-2ax}{2a-x} = \frac{2a(a-x)}{2a-x}}\)

Zauważmy, że pole trójkąta możemy otrzymać odejmując od pola całego kwadratu sumę pól 3 pojedyńczych trójkatów, wiemy również, że pole kwadratu wynosi \(\displaystyle{ a^2}\)

\(\displaystyle{ P_1 = \frac{a^2-ax}{2}}\)

\(\displaystyle{ P_2 = \frac{a^2-ay}{2}}\)

\(\displaystyle{ P_3 = \frac{xy}{2}}\)

\(\displaystyle{ P_t = \frac{2a^2-(a^2-ax+a^2-ay+xy)}{2}}\)

\(\displaystyle{ P_t = \frac{ax+ay-xy}{2}}\)

Wyliczmy teraz długości ramion trójkąta wychodzących z wierzchołka A (oznaczmy je jako d i e):

\(\displaystyle{ d^2=a^2-2ax+x^2+a^2 = 2a^2-2ax+x^2}\)

\(\displaystyle{ d=\sqrt{2a^2-2ax+x^2}}\)

\(\displaystyle{ e^2=2a^2-2ay+y^2}\)

\(\displaystyle{ e=\sqrt{2a^2-2ay+y^2}}\)

Teraz korzystamy ze wzoru na pole trójkąta:

\(\displaystyle{ P = \frac{d\cdot e\cdot \sin \alpha}{2}}\)

\(\displaystyle{ P = \frac{\sqrt{(2a^2-2ax+x^2)(2a^2-2ay+y^2)}\cdot \sqrt{2}}{4}}\)

\(\displaystyle{ P = \frac{\sqrt{2(2a^2-2ax+x^2)(2a^2-2ay+y^2)}}{4}}\)

Teraz porównujemy oba pola (od razu mnożymy obie strony przez 4):

\(\displaystyle{ \sqrt{2(2a^2-2ax+x^2)(2a^2-2ay+y^2)}=2(ax+ay-xy) /^2}\)

Po wymnożeniu i zredukowaniu wyrazów podobnych otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 4a^4-4a^3y-4a^3x-x^2y^2+2ax^2y+2axy^2=0}\)

\(\displaystyle{ (2ax-x^2)y^2+(2ax^2-4a^3)y+4a^4-4a^3x=0}\)

Liczymy deltę, otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = 4a^3-4a^2x+2ax^2}\)

Liczymy pierwiastki:

\(\displaystyle{ y_1 = \frac{2a^2}{x}}\)

To rozwiązanie odpada, ponieważ \(\displaystyle{ x\neq 0}\) a w zadaniu nie jest napisane, że punkty P i Q nie mogą leżeć na wierzchołkach.

\(\displaystyle{ y_2 = \frac{2a(a-x)}{2a-x}}\)

Oczywiście \(\displaystyle{ a>x}\) więc tym bardziej \(\displaystyle{ 2a>x}\)

Ostatecznie:

\(\displaystyle{ y=\frac{2a(a-x)}{2a-x}}\)

cnd.

Nowe (dawno nie było żadnej nierówności )

Udowodnij, że dla nieujemnych a, b, c zachodzi nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{bc(b+c)+ac(a+c)+ab(a+b)}{6} \ge abc}\)

Pozdrawiam.