[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

[Damianito]

17.
Obierzmy taki układ współrzędnych, że AB jest wektorem [0,1]...

Ukryta treść:    

A tak serio:
Niech S - przecięcie AC i BD. Zgodnie ze znanym lematem, S leży na biegunowej P względem okręgu. BD to biegunowa R, zaś AC to biegunowa Q, więc biegunowe R, Q, P przecinają się w jednym punkcie, co oznacza, że bieguny P, Q, R są współliniowe

18. Dany jest trójkąt ABC i okrąg o środku O zawierający A i C przecinający odcinki AB i BC w różnych punktach K i N. Okręgi opisane na trójkątach ABC i KBN mają dokładnie dwa punkty wspólne B i M. Udowodnić, że kąt OMB jest prosty.

[darek20]

Ukryta treść:    

Kąty są sobie równe \(\displaystyle{ BMN = BKN = ACB}\) . Mamy tez \(\displaystyle{ AMB = 180 -ACB}\), więc

\(\displaystyle{ AMN = AMB-BMN = 180- ACB- ACB = 180-2 \cdot ACB}\) Dalej \(\displaystyle{ AON = 2 \cdot ACB}\) więc

\(\displaystyle{ AMN + AON = 180.}\) Stąd \(\displaystyle{ OMN = OAN = 90 - \frac {AON}{2} = 90 - ACB}\). Czyli

\(\displaystyle{ OMB =OMN + NMB = ACB + 90 - ACB = 90}\)

jak ktoś chce harda plani to polecam to zadanie
W czworokącie wypukłym o bokach \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) i przekątnych e i f wykaż nierówność
\(\displaystyle{ a+b+c+d \ge e+f+2x}\)
gdzie x-długość odcinka łączącego środki przekątnych


A to nowe
Niech ABCDEF bedzie wypukłym sześciokatem gdzie AB = BC, CD = DE , EF = FA. Pokaż
\(\displaystyle{ \frac{AB}{AD}+\frac{CD}{CF}+\frac{EF}{EB} \geq \frac 32}\)

[timon92]

Kąty są sobie równe \(\displaystyle{ BMN = BKN}\)

???????

Niech ABCDEF będzie pięciokątem

?????????

[darek20]

[quo-te="timon92"]

Kąty są sobie równe \(\displaystyle{ BMN = BKN}\)

???????
[/quote]

Sory znów coś próbowałem na siłę naciągnąc

[timon92]

nie no chodziło mi o to, że zgubiłeś jedną konfigurację

Twoje rozwiązanie jest ok jeśli punkt M leży na łuku AB niezawierającym C. Jeśli mamy drugą konfigurację (tą z mojego rysunku) to przeprowadzamy analogiczne rachunki lub zamieniamy punkt A na C oraz K na N.

[timon92]

A to nowe
Niech ABCDEF bedzie wypukłym sześciokatem gdzie AB = BC, CD = DE , EF = FA. Pokaż
\(\displaystyle{ \frac{AB}{AD}+\frac{CD}{CF}+\frac{EF}{EB} \geq \frac 32}\)

diss


niech ktoś coś wrzuci, ale tym razem poprawnego

[adamm]

Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), gdzie \(\displaystyle{ AB=AC}\). Punkt \(\displaystyle{ D}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ BC}\). Punkt \(\displaystyle{ E}\) leży poza trójkątem \(\displaystyle{ ABC}\) w ten sposób, że \(\displaystyle{ CE \perp AB}\) oraz \(\displaystyle{ BE=BD}\). Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie środkiem odcinka \(\displaystyle{ BE}\). Punkt \(\displaystyle{ F}\) leży na łuku \(\displaystyle{ AD}\) o mniejszym kącie rozwarcia okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABD}\) w ten sposób, że \(\displaystyle{ MF \perp BE}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ ED \perp FD.}\)

[laurelandilas]

W tym zadaniu z sześciokątem poprawna teza to:
\(\displaystyle{ \frac{BC}{BE} + \frac{DE}{DA} + \frac{FA}{FC} \ge \frac{3}{2}}\)

[timon92]

Niech ABCDEF bedzie wypukłym sześciokatem gdzie AB = BC, CD = DE , EF = FA. Pokaż \(\displaystyle{ \frac{BC}{BE} + \frac{DE}{DA} + \frac{FA}{FC} \ge \frac{3}{2}}\)

z nierówności Ptolemeusza mamy \(\displaystyle{ BC \cdot AE + BA \cdot CE \ge AC \cdot BE \iff \frac{BC}{BE} \ge \frac{AC}{CE+EA}}\) i analogicznie jeszcze dwie takie nierówności i wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ \frac{AC}{CE+EA} + \frac{CE}{EA+AC} + \frac{EA}{AC+CE} \ge \frac{3}{2}}\) a to jest Nesbitt.

Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), gdzie \(\displaystyle{ AB=AC}\). Punkt \(\displaystyle{ D}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ BC}\). Punkt \(\displaystyle{ E}\) leży poza trójkątem \(\displaystyle{ ABC}\) w ten sposób, że \(\displaystyle{ CE \perp AB}\) oraz \(\displaystyle{ BE=BD}\). Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie środkiem odcinka \(\displaystyle{ BE}\). Punkt \(\displaystyle{ F}\) leży na łuku \(\displaystyle{ AD}\) o mniejszym kącie rozwarcia okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABD}\) w ten sposób, że \(\displaystyle{ MF \perp BE}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ ED \perp FD.}\)

proponuję zostawić to zadanie jako proste ćwiczenie z geometrii analitycznej (chyba że ktoś rozwiązał syntetycznie to niech się pochwali rozwiązaniem )


pozwolę sobie wrzucić nowe zadanko, żeby temat nie stał:
W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) punkty \(\displaystyle{ G,O}\) są odpowiednio środkiem ciężkości oraz środkiem okręgu opisanego, przy czym \(\displaystyle{ AG \perp GO}\). Niech \(\displaystyle{ A'}\) będzie drugim punktem wspólnym prostej \(\displaystyle{ AG}\) z okręgiem opisanym na tym trójkącie. Niech \(\displaystyle{ D}\) będzie punktem przecięcia prostych \(\displaystyle{ CA', AB}\), a \(\displaystyle{ E}\) punktem przecięcia prostych \(\displaystyle{ BA', AC}\). Wykaż, że środek okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ADE}\) leży na okręgu opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\).

[Burii]

Niech prosta \(\displaystyle{ AA'}\) przecina \(\displaystyle{ BC}\)w punkcie\(\displaystyle{ T}\) a odcinek \(\displaystyle{ ED}\) w punkcie \(\displaystyle{ S}\). Łatwo sprawdzić, że warunek z zadania implikuje nam równość \(\displaystyle{ GT =TA'}\), a ponieważ \(\displaystyle{ CT=TB}\) więc czworokąt \(\displaystyle{ CGBA'}\) jest równoległobokiem stąd \(\displaystyle{ CG}\) jest równoległe do \(\displaystyle{ BE}\) i \(\displaystyle{ BG}\) jest równoległe do \(\displaystyle{ DC}\) zatem musi być \(\displaystyle{ BC}\)równoległe do \(\displaystyle{ ED}\) czyli trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ ADE}\) sa jednokładne. Z tego że \(\displaystyle{ CT=TB}\) mamy ze \(\displaystyle{ ES=SD}\), jednokładność o środku \(\displaystyle{ A}\) przekształcająca trójką \(\displaystyle{ ABC}\) w \(\displaystyle{ ADE}\) przekształca zatem \(\displaystyle{ G}\) w \(\displaystyle{ A'}\), co oznacza \(\displaystyle{ EB}\) to środkowa w trójkącie \(\displaystyle{ ADE}\) czyli \(\displaystyle{ AB=BD}\). Teraz niech ta jednokładność przekształca punkt \(\displaystyle{ O}\) w \(\displaystyle{ O'}\) wówczas teza jest natychmiastowym wnioskiem z równości \(\displaystyle{ \frac{AO}{AO'} = \frac{AB}{AD} = \frac{1}{2}}\) z której wynika że \(\displaystyle{ AO=OO'}\).

-- 6 maja 2011, o 12:16 --

A oto nowy problem:

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) punkt \(\displaystyle{ I}\) to środek okręgu wpisanego. Niech prosta \(\displaystyle{ k}\) będzie styczna do okręgu wpisanego w \(\displaystyle{ ABC}\) różna od jego boków. Na prostej \(\displaystyle{ k}\) obieramy punkty \(\displaystyle{ X, Y, Z}\) takie że:
\(\displaystyle{ \sphericalangle AIX= \sphericalangle BIY= \sphericalangle CIZ= \frac{ \pi }{2}}\)

Pokaż ,że proste \(\displaystyle{ AX, BY,CZ}\)\(\displaystyle{ }\) przecinają sie w jednym punkcie.-- 12 maja 2011, o 20:11 --Wskazówka do ostatniego zadania:

Ukryta treść:    

Punkty X, Y, Z są współliniowe wtedy i tylko wtedy gdy ich biegunowe względem ustalonego okręgu są współpękowe.

[timon92]

A oto nowy problem:

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) punkt \(\displaystyle{ I}\) to środek okręgu wpisanego. Niech prosta \(\displaystyle{ k}\) będzie styczna do okręgu wpisanego w \(\displaystyle{ ABC}\) różna od jego boków. Na prostej \(\displaystyle{ k}\) obieramy punkty \(\displaystyle{ X, Y, Z}\) takie że:
\(\displaystyle{ \sphericalangle AIX= \sphericalangle BIY= \sphericalangle CIZ= \frac{ \pi }{2}}\)

Pokaż ,że proste \(\displaystyle{ AX, BY,CZ}\)\(\displaystyle{ }\) przecinają sie w jednym punkcie.

Ukryta treść:    

Niech okrąg wpisany będzie styczny do boków \(\displaystyle{ BC, CA, AB}\) w punktach \(\displaystyle{ D,E,F}\). Oznaczmy punkt styczności prostej \(\displaystyle{ k}\) z okręgiem wpisanym przez \(\displaystyle{ G}\). Zrzutujmy punkt \(\displaystyle{ G}\) na proste \(\displaystyle{ EF, FD, DE}\) otrzymując punkty \(\displaystyle{ K,L,M}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ GK \perp EF \perp AI \perp IX}\). Prosta \(\displaystyle{ GK}\) jest więc biegunową punktu \(\displaystyle{ X}\) (bo \(\displaystyle{ GX}\) jest styczną do okręgu). Analogicznie \(\displaystyle{ GL, GM}\) są biegunowymi punktów \(\displaystyle{ Y,Z}\). Ponadto \(\displaystyle{ EF, FD, DE}\) są biegunowymi punktów \(\displaystyle{ A,B,C}\). Stąd punkt \(\displaystyle{ K}\) jako przecięcie biegunowych punktów \(\displaystyle{ A,X}\) jest biegunem prostej \(\displaystyle{ AX}\), tzn. \(\displaystyle{ AX}\) jest biegunową punktu \(\displaystyle{ K}\). Analogicznie \(\displaystyle{ BY}\) jest biegunową punktu \(\displaystyle{ L}\), \(\displaystyle{ CZ}\) jest biegunową punktu \(\displaystyle{ M}\). Teraz zauważmy, że punkty \(\displaystyle{ K,L,M}\) są współliniowe (prosta Simsona), a to oznacza, że biegunowe tych punktów są współpękowe, stąd teza.

nowe: Rozważmy trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Prosta \(\displaystyle{ l}\) przecina proste \(\displaystyle{ BC, CA, AB}\) w punktach \(\displaystyle{ D,F,E}\). \(\displaystyle{ M}\) jest punktem na prostej \(\displaystyle{ BC}\). \(\displaystyle{ G}\) jest punktem przecięcia prostych \(\displaystyle{ MF, DA}\). \(\displaystyle{ N}\) jest punktem przecięcia prostych \(\displaystyle{ BG, l}\). Wykazać, że niezależnie od położenia punktu \(\displaystyle{ M}\) prosta \(\displaystyle{ MN}\) przechodzi przez stały punkt.

[Burii]

Rozwiązanie:

Ukryta treść:    

Udowodnię że wszystkie proste \(\displaystyle{ MN}\) przy zmieniającym się \(\displaystyle{ M}\) przechodzą przez punkt leżący na prostej \(\displaystyle{ FB}\). W tym celu wystarczy pokazać że jeśli \(\displaystyle{ MN}\) przecina \(\displaystyle{ FB}\) w punkcie \(\displaystyle{ S}\) to np. \(\displaystyle{ \frac{BS}{FS}=const}\) (taki stosunek jest wygodny gdyż to przypomina twierdzenie Menelausa).

Zatem z twierdzenia Menelausa dla trójkąta \(\displaystyle{ FGB}\) i prostej \(\displaystyle{ MN}\) mamy:
\(\displaystyle{ \frac{FM}{MG} \cdot \frac{GN}{NB} \cdot \frac{BS}{FS}=1}\) stąd \(\displaystyle{ \frac{BS}{FS}= \frac{GM}{MF} \cdot \frac{BN}{NG}}\). Teraz korzystając z twierdzenia Menelausa dla trójkąta \(\displaystyle{ ADC}\) i prostej \(\displaystyle{ FM}\) mamy:
\(\displaystyle{ \frac{GM}{MF}= \frac{DG}{AD} \cdot \frac{AC}{FC}.}\)

Ponownie korzystając z twierdzenia Menelausa dla trójkąta \(\displaystyle{ ABG}\) i prostej \(\displaystyle{ DN}\) mamy:
\(\displaystyle{ \frac{BN}{NG}= \frac{AD}{DG} \cdot \frac{BE}{AE}}\) stąd \(\displaystyle{ \frac{BS}{FS}= \frac{GM}{MF}\cdot \frac{BN}{NG}= \left( \frac{DG}{AD} \cdot \frac{AC}{FC}\right) \cdot \left( \frac{AD}{DG} \cdot \frac{BE}{AE} \right) = \frac{AC}{FC} \cdot \frac{BE}{AE}= const}\) ponieważ punkty \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ E}\) są ustalone.

-- 13 maja 2011, o 18:09 --Nowe zadanko:

Dany jest trójkąt\(\displaystyle{ ABC}\) i punkt \(\displaystyle{ P}\) leżący wewnątrz trójkąta. Proste \(\displaystyle{ AP}\), \(\displaystyle{ BP}\), \(\displaystyle{ CP}\) przecinają okrąg \(\displaystyle{ w}\) opisany na \(\displaystyle{ ABC}\) w odpowiednio punktach \(\displaystyle{ A _{1}}\), \(\displaystyle{ B _{1}}\), \(\displaystyle{ C _{1}}\). Punkty \(\displaystyle{ A _{2}}\), \(\displaystyle{ B _{2}}\), \(\displaystyle{ C _{2}}\) są obrazami odpowiednio punktów \(\displaystyle{ A _{1}}\), \(\displaystyle{ B _{1}}\), \(\displaystyle{ C _{1}}\) w symetrii względem środków odpowiednio odcinków \(\displaystyle{ BC}\), \(\displaystyle{ CA}\), \(\displaystyle{ AB}\). Pokaż, że ortocentrum trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) leży na okręgu opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ A _{2}B _{2}C _{2}}\).

[timon92]

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ D,E,F}\) będą środkami boków \(\displaystyle{ BC, CA, AB}\). Odbijmy punkty \(\displaystyle{ A_2, B_2, H}\) względem \(\displaystyle{ F}\) otrzymując punkty \(\displaystyle{ A_3, B_3, H'}\). Wystarczy pokazać, że punkty \(\displaystyle{ A_3,B_3,C_1,H'}\) leżą na okręgu. Jest bardzo znane (i proste do pokazania), że \(\displaystyle{ CH'}\) jest średnicą okręgu opisanego na \(\displaystyle{ ABC}\). Zauważmy też, że odcinek \(\displaystyle{ FD}\) jest linią środkową trójkątów \(\displaystyle{ A_1A_2A_3}\) oraz \(\displaystyle{ ABC}\) - wynika stąd, że \(\displaystyle{ A_1A_3 \parallel FD \parallel CA}\), oraz \(\displaystyle{ A_1A_3 = 2FD = AC}\) a stąd \(\displaystyle{ ACA_1A_3}\) jest równoległobokiem. Analogicznie \(\displaystyle{ BCB_1B_3}\) jest równoległobokiem. Niech \(\displaystyle{ X,Y,Z}\) będą środkami odcinków \(\displaystyle{ AA_1, BB_1, CC_1}\) (skoro tam są te równoległoboki, to \(\displaystyle{ X,Y}\) są również środkami odcinków \(\displaystyle{ CA_3, CB_3}\)). Rozważmy jednokładność o środku w punkcie \(\displaystyle{ C}\) i skali \(\displaystyle{ \frac 12}\). Jednokładność ta przekształca punkty \(\displaystyle{ A_3, B_3, C_1, H'}\) na punkty \(\displaystyle{ X,Y,Z,O}\). Wystarczy więc pokazać, że punkty \(\displaystyle{ X,Y,Z,O}\) leżą na okręgu. To zaś jest prawda, gdyż w oczywisty sposób zachodzi \(\displaystyle{ \angle PXO = \angle PYO = \angle PZO}\), więc punkty te leżą na okręgu o średnicy \(\displaystyle{ OP}\).

Czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest wpisany w okrąg. Pewien okrąg, którego środek leży na odcinku \(\displaystyle{ AB}\), jest styczny do odcinków \(\displaystyle{ BC, CD, DA}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ AD+BC=AB}\)

[Burii]

Ukryta treść:    

Niech środek okręgu stycznego do trzech boków trójkąta to będzie \(\displaystyle{ O}\). \(\displaystyle{ \sphericalangle ADC=2 \alpha}\)
i \(\displaystyle{ \sphericalangle DCB= \beta}\). Z twierdzenia sinusów mamy
\(\displaystyle{ \frac{OD}{sin2 \alpha }= \frac{AO}{sin \beta }= \frac{AD}{sin2 \alpha - \beta }}\) stąd \(\displaystyle{ AD-AO=OD \cdot \frac{sin \beta - \alpha }{sin \beta }}\),
podobny wzorek otrzymamy dla wyrażenia \(\displaystyle{ BC-OB}\) łącząc je i pamiętając o tym że \(\displaystyle{ \frac{OD}{sin \alpha} = \frac{OC}{sin \beta }}\) otrzymamy tezę zadania.

26 IMO:D

-- 13 maja 2011, o 19:49 --

Nowe zadanie.

Okręgi \(\displaystyle{ S _{1}}\) i \(\displaystyle{ S _{2}}\) przecinają się w punktach \(\displaystyle{ P}\), \(\displaystyle{ K}\). Prosta \(\displaystyle{ k}\) jest styczna do tych okręgów w punktach \(\displaystyle{ X, Y}\) ( prosta \(\displaystyle{ k}\) jest bliżej punktu \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ X}\) należy do \(\displaystyle{ S _{1}}\), \(\displaystyle{ Y}\) na \(\displaystyle{ S _{2}}\)). Prosta \(\displaystyle{ XP}\) przecina \(\displaystyle{ S _{2}}\) drugi raz w punkcie \(\displaystyle{ C}\) i prosta \(\displaystyle{ YP}\) przecina \(\displaystyle{ S _{1}}\) drugi raz w \(\displaystyle{ B}\). Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie przecięciem prostych \(\displaystyle{ BX}\) i \(\displaystyle{ CY}\). Punkt \(\displaystyle{ Q}\) jest drugim punktem przecięcia okręgów opisanych na \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ AXY}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \sphericalangle QXA= \sphericalangle QKP}\).

[timon92]

Ukryta treść:    

Zauważmy wpierw, że \(\displaystyle{ \angle KBX = \pi - \angle XPK = \angle KPC = \angle KYC}\) oraz \(\displaystyle{ \angle BXK = \angle BPK = \pi - \angle KPY = \angle YCK}\). Mamy więc (kkk) \(\displaystyle{ \Delta KBX \sim \Delta KYC}\). Ponadto \(\displaystyle{ XY}\) jest styczną do tych okręgów, więc \(\displaystyle{ \angle KXY = \angle KBX}\) oraz \(\displaystyle{ \angle XYK = \angle YCK}\), więc także \(\displaystyle{ \Delta KBX \sim \Delta KXY \sim \Delta KYC.}\)

Przeprowadzając podobny rachunek na kątach można dostać podobieństwo \(\displaystyle{ \Delta QXY \sim \Delta QBC.}\)

Niech \(\displaystyle{ PK}\) tnie \(\displaystyle{ XY}\) w punkcie \(\displaystyle{ R}\). Wówczas z potęgi punktu mamy \(\displaystyle{ RX^2=RP\cdot RK = RY^2}\), tzn \(\displaystyle{ RX=RY}\), czyli \(\displaystyle{ R}\) jest środkiem \(\displaystyle{ XY}\). Z wcześniejszych podobieństw wynika więc, że jeśli \(\displaystyle{ S}\) jest środkiem \(\displaystyle{ YC}\), to \(\displaystyle{ \Delta KRS \sim \Delta KXY}\) a stąd \(\displaystyle{ \angle SKR = \angle YKX = \angle XKB = \angle YXA.}\)

Zatem \(\displaystyle{ \angle AXQ = \angle PKQ \iff \angle YXQ = \angle SKQ}\). Żeby to wykazać, wystarczy udowodnić, że jeśli punkt \(\displaystyle{ T}\) jest taki, że \(\displaystyle{ KCTY}\) jest równoległobokiem, to \(\displaystyle{ \Delta QXY \sim \Delta QKT}\).

Tu kończy się ładna część rozwiązania. Przejdziemy teraz do rachunku na liczbach zespolonych.

Małymi literami będziemy oznaczać liczby zespolone odpowiadające odpowiednim punktom. Możemy sobie przyjąć, że \(\displaystyle{ k=0, b=1}\). Z podobieństwa \(\displaystyle{ \Delta KBX \sim \Delta KXY \sim \Delta KYC}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ y=x^2, c=x^3}\). Natomiast z \(\displaystyle{ \Delta QXY \sim \Delta QBC}\) wynika, że \(\displaystyle{ \frac{q-x}{q-y} = \frac{q-b}{q-c} \iff q=\frac{x^2(1+x)}{1+x^2}}\). Jest jasne, że \(\displaystyle{ t=y+c=x^2(1+x)}\).

Mamy oczywiście \(\displaystyle{ \Delta QXY \sim \Delta QKT \iff \frac{y-x}{q-x} = \frac {t-k}{q-k}}\) i łatwo sprawdzić, że po podstawieniu tych wcześniejszych równości to jest prawda.

------------------
\(\displaystyle{ ABC}\) jest trójkątem ostrokątnym, w którym kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ B}\) jest większy niż kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\). Odcinek \(\displaystyle{ AD}\) jest wysokością trójkąta. \(\displaystyle{ E}\) jest rzutem prostokątnym punktu \(\displaystyle{ D}\) na \(\displaystyle{ AC}\). Niech punkt \(\displaystyle{ F}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ DE}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ AF \perp BF \iff EF \cdot DC = BD \cdot DE}\)